सीमाएं - JEE टॉपर्स के नोट्स

1. सीमा की परिभाषा और गुण

• परिभाषा: एक फ़ंक्शन $f(x)$ की सीमा $x$ को $a$ के पास पहुंचने पर, $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ के रूप में चिह्नित होती है, जहां किसी भी दिए गए $\epsilon > 0$ के लिए, ऐसा कोई $\delta > 0$ मौजूद होता है जिससे $$|x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$$

• गुण:

  • सीमा के नियम: इनमें योग, वियोग, उत्पाद, भाग और सीमाओं के लिए नियम शामिल होते हैं, साथ ही स्थिर गुणकों और संयोजनों के लिए नियम भी होते हैं।
  • सींचफाड़नी का सिद्धांत: यदि $f(x) \le g(x) \le h(x)$ हर $x$ के लिए एक खुली सीमा वाले अंतराल में $a$ को छोड़कर है, केवल $a$ पर शायद नहीं, और यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = L$ है, तो $\lim\limits_{x \to a} g(x) = L$ होती है।

2. अनंत में सीमाएं

• परिभाषा:
• अनंत में सीमा: $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$, अगर किसी भी $\epsilon > 0$ के लिए, कोई ऐसा $M > 0$ मौजूद होता है जिसके लिए सभी $x > M$ के लिए हमें $|f(x) - L| < \epsilon$ मिलता है।
• नकारात्मक अनंत में सीमा: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L$, अगर किसी भी $\epsilon > 0$ के लिए, कोई ऐसा $N < 0$ मौजूद होता है जिसके लिए सभी $x < N$ के लिए हमें $|f(x) - L| < \epsilon$ मिलता है।

3. एक-तरफ़ा सीमाएं

• परिभाषा:
• दायां-हाथ सीमा: $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$, अगर हर $\epsilon > 0$ के लिए, कोई ऐसा $\delta > 0$ मौजूद होता है जिसके लिए हमेशा $0 < x - a < \delta$ होने पर हमें $|f(x) - L| < \epsilon$ मिलता है।
• बाएँ-हाथ सीमा: $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$, अगर हर $\epsilon > 0$ के लिए, कोई ऐसा $\delta > 0$ मौजूद होता है जिसके लिए हमेशा $a - \delta < x < a$ होने पर हमें $|f(x) - L| < \epsilon$ मिलता है।

4. निरंतरता

• परिभाषा: एक फ़ंक्शन $f(x)$ कोई बिंदु $c$ पर निरंतर कहलाती है यदि
• (f(c)) परिभाषित होता है
• (\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c))

5. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के साथ सीमाएं

• प्रणालियाँ: त्रिकोणमितीय व्यक्तियों को त्रिकोणमितीय आदिकारियों का उपयोग करके बीजगणितीय व्यक्तियों में परिवर्तित करें, सम योग-गुणन सूत्रों का उपयोग करके व्यक्तियों को सरल बनाएं और अव्यक्त सूत्रों को हटाने के लिए कार्यगणित करें।

6. लघुगणक फ़ंक्शनों के साथ सीमाएं

• प्रणालियाँ: लघुगणक गुणों का उपयोग करके लघुगणक गणितीय व्यक्तियों का उपयोग करें, जैसे उत्पाद-से-योग और घात-से-उत्पाद परिवर्तन, साथ ही अव्यस्त सूत्रों को हैंडिल करने के लिए प्राकृतिक लघुगणक व्यक्तियों का अनुप्रयोग करें।

7. गणितीय फ़ंक्शनों के साथ सीमाएं

• प्रणालियाँ: घात गुणों का उपयोग करके घातीय व्यक्तियों को साधारित करें ताकि अव्यस्त सूत्रों को हटा सकें।

8. लोपीटाल का नियम

• परिभाषा: यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$ है या दोनों अभिगम करते हैं $\pm \infty$, तो $$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$ यहां दाहिनी ओर की सीमा मौजूद है या असीम है।

9. स्क्वीज थियोरेम और संबंधित थियोरेम

• स्क्वीज थियोरेम: यदि $f(x) \le g(x) \le h(x)$ हर $x$ के लिए एक खुली सीमा वाले अंतराल में है, और $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = L$ है, तो $\lim\limits_{x \to a} g(x) = L$ होती है।

हामसंद्विच सिद्धांत: यदि सभी $x$ के लिए खोले हुए अंतराल में $f(x) \le g(x) \le h(x)$ होता है और यदि $\lim\limits_ {x \to a} f(x) = \lim\limits_ {x \to a} h(x) = L$ होता है, तो $\lim\limits_ {x \to a} g(x) = L$ होता है।

10. सीमाओं के अनुप्रयोग

• सीमाओं का पता लगाना अंकगणकीय, ऐकमिक, ग्राफिक, असिम्प्टोटिक व्यवहार का अध्ययन करने, श्रंखला की संघटना या विघटना का निर्धारण करने और अस्पष्टता या अनिर्धारित व्यवहार की बिंदुओं की पहचान करने में मदद कर सकता है।

संदर्भित एनसीईआरटी पुस्तकें:

• “NCERT Mathematics,” कक्षा 11, द्वारा आर.डी. शर्मा
• “NCERT Mathematics,” कक्षा 12, द्वारा अमित एम. अग्रवाल