प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य - विस्तृत नोट्स

1. मुख्य मान और साधारित समाधान:

• मुख्य मान:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य का मुख्य मान मुख्य सीमा में एकमात्र मान है।
• प्रतिलोम साइन (sin^-1 x) के लिए मुख्य सीमा = [-π/2, π/2]।
• प्रतिलोम कोसाइन (cos^-1 x) के लिए मुख्य सीमा = [0, π]।
• प्रतिलोम टैंजेंट (tan^-1 x) के लिए मुख्य सीमा = (-π/2, π/2)।
• साधारित समाधान:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य का साधारित समाधान मुख्य मूल्य में 2π के गुणक या पूरक (साइन और कोसाइन के लिए) या π के गुणक (टैंजेंट के लिए) जोड़कर या घटाकर प्राप्त होने वाले सभी संभव समाधानों को शामिल करता है।

2. गुण और पहचान:

• डोमेन और दायरा:

• डोमेन: sin^-1 x के लिए, [-1, 1]; cos^-1 x के लिए, [-1, 1]; tan^-1 x के लिए, R (सभी वास्तविक संख्याएँ)।

• दायरा: sin^-1 x के लिए, [-π/2, π/2]; cos^-1 x के लिए, [0, π]; tan^-1 x के लिए, (-π/2, π/2)।

• विलोम/विषमफलक कार्य:

• sin^-1 x और tan^-1 x विलोम कार्य हैं।

• cos^-1 x विषमफलक कार्य है।

• अवधि:

• sin^-1 x और tan^-1 x की अवधि 2π है।

• cos^-1 x की अवधि 2π है।

3. ग्राफ:

• sin^-1 x और tan^-1 x की ग्राफ:

• दोनों ग्राफ Origin से से गुजरते हैं।

• sin^-1 x एक बढ़ती फ़ंक्शन है और x कम -1 से 1 बढ़ते हैं तो -π/2 से π/2 जाता है।

• tan^-1 x भी एक बढ़ती फ़ंक्शन है और x कम -∞ से ∞ बढ़ते हैं तो -π/2 से π/2 जाता है।

• cos^-1 x की ग्राफ:

• cos^-1 x की ग्राफ अंतराल [0, π] में पाई जाती है।

• x -1 से 1 बढ़ता है, ग्राफ π से शुरू होता है और 0 तक कम होता है।

4. फ़ंक्शनों का समान्यीकरण:

• पहचान:

• sin(cos^-1 x) = sqrt(1 - x^2) -1 ≤ x ≤ 1 के लिए

• cos(sin^-1 x) = sqrt(1 - x^2) -1 ≤ x ≤ 1 के लिए

• tan(cos^-1 x) = sqrt(1 - x^2) / x 0 ≤ x ≤ 1, x ≠ 0 के लिए

• फ़ंक्शनों का समान्यीकरण:

• त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के साथ समान्यीकरण सरल अभिव्यक्तियों या पहचानों को दे सकती है।

5. समीकरणों का हल करना:

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
• उदाहरण के लिए, समीकरण sin x = 0.5 को हल करने के लिए, हम प्रतिलोम साइन फ़ंक्शन का उपयोग करके x की मान ढूंढ सकते हैं: x = sin^-1 (0.5) = π/6.

6. अनुप्रयोग:

• कोण ढूंढना:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग वास्तविक जीवन में माप करने और सर्वेक्षण में उच्चार के कोण ढूंढने में किया जाता है।
• विकृत त्रिभुज:
• प्रतिलोम त्रिकुटीय कार्यों का उपयोग विकृत त्रिभुज से संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जहां सभी कोण सही कोण नहीं होते हैं।
• आवृत्ति विधि का आवर्तन करना:
• योगीय आवृत्ति जैसे साइनसॉइडल गति और दिखलावी व्यवहार जैसे आवृत्ति कार्यों के मॉडेलिंग में उपयोग किया जाता है।

7. संयोजन और अंतर:

• संयोजन:

• ∫ sin^-1 x dx = x sin^-1 x + sqrt(1 - x^2) + C

• ∫ cos^-1 x dx = x cos^-1 x - sqrt(1 - x^2) + C

• ∫ tan^-1 x dx = x tan^-1 x - ½ ln | sec x + tan x | + C

• अंतरण:

• d/dx sin^-1 x = 1/sqrt(1 - x^2)

• d/dx cos^-1 x = -1/sqrt(1 - x^2)

• d/dx tan^-1 x = 1/(1 + x^2)

8. मापीय समीकरण और वक्र:

• मापीय समीकरण:
• प्रतिज्ञात्मक समीकरणों को परिभाषित करने के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग किया जा सकता है, जो इनकी गति या विमान का प्रतिष्ठान दर्शाते हैं।

9. प्रतिलोम गुणात्मक फलनें:

• परिभाषा और गुण:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलनामय हैं, लेकिन इनमें हाइपरबोलिक फलनें शामिल होती हैं।
• इनके गुण प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समान होते हैं।

10. त्रिकोणमितीय समीकरण और असमिकाएं:

• गहराई से समीकरण और असमिकाओं को हल करना:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करके जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण और असमिकाओं को हल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि एकाधिक कोणों या समाधानों वाले समीकरण।

संदर्भ:

• एनसीईआरटी गणित पाठ्यपुस्तक कक्षा 11, अध्याय 3: त्रिकोणमितीय फलनें
• एनसीईआरटी गणित पाठ्यपुस्तक कक्षा 12, अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनें