टॉपर्स से विस्तृत नोट्स: वेक्टर्स का परिचय

1. वेक्टर की परिभाषा

• परिभाषा: वेक्टर एक ज्यामितिक वस्तु है जिसमें स्थानांतरण (या लंबाई) और दिशा दोनों होती है। इसे एक तीर के माध्यम से प्रदर्शित किया जाता है, जहां तीर की लंबाई वेक्टर की मात्रा को और तीर की दिशा वेक्टर की दिशा को प्रदर्शित करती है।

• NCERT से उदाहरण:

  • स्थानांतरण: एक बिंदु से दूसरे बिंदु की स्थिति में परिवर्तन
  • वेग: समय के साथ स्थानांतरण के परिवर्तन की दर।
  • त्वरण: समय के साथ वेग के परिवर्तन की दर।
  • बल: एक पदार्थ के गति को बदल सकने वाला संवेदी होना।

2. वेक्टर बीजगणित

• वेक्टर जोड़ना: दो वेक्टरों का योग एक वेक्टर है जिसकी दिशा पहले वेक्टर की दिशा के समान होती है और मात्रा दो वेक्टरों की मात्राओं का योग होती है।

• वेक्टर घटाना: दो वेक्टरों के बीच का अंतर एक वेक्टर है जिसकी दिशा पहले वेक्टर की दिशा के समान होती है और मात्रा दो वेक्टरों की मात्राओं का अंतर होती है।

• स्केलर गुणा: एक स्केलर और एक वेक्टर का गुणा एक वेक्टर होता है जिसकी दिशा वेक्टर के समान होती है और मात्रा स्केलर की गुणा होती है और वेक्टर की मात्रा की होती है।

• वेक्टर गुणन: दो वेक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक ऐसा वेक्टर है जो दोनों वेक्टरों के लिए समानरेखीय होता है और इन दोनों वेक्टरों की मात्राओं के गुणन के औरमंद का उम्मीदार होता है। दो वेक्टरों के बीच के कोण के साइन का उम्मीदार होता है। दो वेक्टरों का डॉट उत्पाद एक स्केलर मात्रा होता है जो इन दोनों वेक्टरों की मात्राओं के गुणन के औरमंद का उम्मीदार होता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • वेक्टरों का जोड़ और घटाव : एक अगणित वेग के साथ चल रहे एक बिंदु का स्थानांतरण।
  • वेक्टर की स्केलर गुणा: एक निरंतर बल द्वारा बिंदु पर किया गया काम।
  • वेक्टर (क्रॉस) गुणन: कोणीय वेग, कोणीय प्रस्तुति, यथार्थ।
  • वेक्टर (डॉट) गुणन: एक वेक्टर के एक बाहरी परिवर्तन की सर्वदिक धावना।

3. वेक्टरों की गुणताएँ

• आपसदृश्यता: वेक्टर जोड़ने का क्रम मायने नहीं रखता है, अर्थात् a + b = b + a।

• समक्रमता: एक समूह में वेक्टरों का समूहीकरण मायने नहीं रखता है, अर्थात् (a + b) + c = a + (b + c)।

• वितरणता: एक वेक्टर के एक स्केलर द्वारा गुणन को वेक्टर जोड़ने पर वितरित किया जा सकता है, अर्थात् k(a + b) = ka + kb।

• मात्रा और दिशा: एक वेक्टर की मात्रा एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, और एक वेक्टर की दिशा एक यूनिट वेक्टर है जो वेक्टर की दिशा के समान दिशा में होता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • यूनिट वेक्टरों की मात्रा हमेशा 2 से कम या बराबर होगी।
  • दो लंबक यूनिट वेक्टरों का योग एक यूनिट वेक्टर होता है।
  • दो सामरेखीय वेक्टरों के वेक्टर गुणांक की मात्रा शून्य होती है।

4. यूनिट वेक्टर

• परिभाषा: एक यूनिट वेक्टर एक वेक्टर है जिसकी मात्रा 1 होती है।

• एक इकाई वेक्टर खोजें: एक दिए गए वेक्टर के बराबर इकाई वेक्टर खोजने के लिए, उसे उसके मात्रानुसार वेक्टर से विभाजित करें।

• NCERT से उदाहरण:

  • X-अक्ष के लिए एक इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना है $$ \hat{i} = \frac {\vec{A}}{| \vec{A}|} $$ जहां $$\vec{A} $$ कोई भी शून्य बहुवक्तरीय वेक्टर है, x-अक्ष के साथ।

5. स्थान वेक्टर

• परिभाषा: स्थान वेक्टर वह एक वेक्टर है जो स्थिति को एक निश्चित मूल के साथ तुलनात्मक रूप से प्रतिष्ठित करता है।

• स्थान वेक्टर पर आपरेशन: स्थान वेक्टरों को जोड़ा, घटाया, और स्केलर से गुणा करके अन्य स्थानों की प्राप्ति करने के लिए।

• NCERT से उदाहरण:

  • बिंदु P का स्थान वेक्टर मूल O के संबंध में है, जबकि $$\overrightarrow{OP}=x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$$ है, जहां x, y और z P के संदर्भ में निर्देशांक हैं।

6. संरेखित और समस्त प्लेनर वेक्टर

• संरेखित वेक्टर: दो वेक्टर संरेख कहलाते हैं अगर वे एक ही रेखा पर स्थित होते हैं या यदि एक वेक्टर दूसरे वेक्टर का एक बहुलक है।

• समस्त प्लेनर वेक्टर: तीन या अधिक वेक्टर समस्त प्लेनर कहलाते हैं अगर वे एक ही प्लेन में स्थित होते हैं या यदि उन्हें जोड़कर या घटाकर कर समस्त प्लेनर बनाया जा सकता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • अगर वेक्टर a, b और c समानल हो तो a X ( b X c) = 0 होता है।
  • अगर वेक्टर a, b और c समस्त प्लेनर होते हैं तो $$ a.( b X c) = 0 $$ होता है।

7. वेक्टरों के अनुप्रयोग

• भौतिकी: वेक्टर भौतिकी में बल, वेग, त्वरण, पदात्मकी, और ऊर्जा जैसे अवधारणाओं का वर्णन करने के लिए प्रयोग होते हैं।

• इंजीनियरिंग: इंजीनियरिंग में वेक्टर संरचनाओं, मशीनों, और प्रणालियों के निर्माण और विश्लेषण के लिए प्रयोग होते हैं।

• कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स में त्रिविंशीय मॉडल, एनिमेशन, और वर्चुअल रियलिटी परिवेशों को बनाने के लिए प्रयोग होते हैं।

• NCERT से उदाहरण:

  • चालक गति।
  • वृत्तीय गति।
  • शांत रशियों में बल का समाधान।
  • एक बल द्वारा किया गया कार्य।

8. स्केलर और वेक्टर मात्राएं

• स्केलर मात्राएं: स्केलर मात्राएं ऐसी मात्राएं हैं जिनका केवल मात्रा होता है, जैसे मास, तापमान, और समय।

• वेक्टर मात्राएं: वेक्टर मात्राएं ऐसी मात्राएं होती हैं जिनका मात्रा और दिशा दोनों होते हैं, जैसे वेग, त्वरण, और बल।

• NCERT से उदाहरण:

  • गति, मास और तापमान स्केलर मात्राएं हैं।
  • वेग, स्थानांतरण और बल वेक्टर मात्राएं हैं।

9. वेक्टरों की विभाजन

• परिभाषा: एक वेक्टर की विभाजन एक निश्चित अक्ष के सेट के साथ उस वेक्टर के घटकों का खोज करने की प्रक्रिया है।

• परिणामी वेक्टर खोजें: एक सेट के वेक्टरों का परिणामी वेक्टर, जो वेक्टरों के योग के बराबर होता है, की खोज।

• NCERT से उदाहरण:

  • एक बल की विभाजन।
  • एक स्थानांतरण की विभाजन।

10. भौतिकी में अनुप्रयोग

• बल: बल एक वेक्टर मात्रा है जो किसी वस्तु की गति को बदल सकती है। बल की मात्रा वह बल है जो लगाया जा रहा है, और बल की दिशा वह दिशा है जिस दिशा में बल लगाया जा रहा है।

• वेग: वेग एक वेगमान राशि है जो एक वस्तु की गति की दर को वर्णित करती है। वेग का मात्रा वस्तु की गति होती है, और वेग की दिशा वह दिशा है जिसमें वस्तु की गति हो रही है।

• त्वरण: त्वरण एक त्वरणमान राशि है जो वस्तु की वेग में परिवर्तन की दर को वर्णित करती है। त्वरण का मात्रा वस्तु की वेग के प्रति इकाई समय में परिवर्तन होने की मात्रा होती है, और त्वरण की दिशा वह दिशा है जिसमें वस्तु की वेग में परिवर्तन हो रहा है।

• गति: गति एक गति-मान राशि है जो किसी वस्तु की गतिविधि की मात्रा को वर्णित करती है। गति का माग्निट्यूड वस्तु के भार और वेग का उत्पाद होता है, और गति की दिशा वही होती है जो वस्तु के वेग की दिशा है।

• उदाहरण NCERT से:

  • सीधी रेखा में गति।
  • यायामी गति।
  • वृत्ताकार गति।

11. ज्यामिति में आवेदन

• रेखाएं: एक रेखा को एक ऐसे वेगमान द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो रेखा के समानांतर होता है और जिसका माग्निट्यूड रेखा की लंबाई के बराबर होता है।

• तलों: एक तल को एक ऐसे वेगमान द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो तलाक्षीय होता है और जिसका माग्निट्यूड मूल से तल तक की दूरी के बराबर होता है।

• कोण: दो वेगमानों के बीच का कोण वेगमानों के डॉट उत्पाद का उपयोग करके ढूंढा जा सकता है।

• उदाहरण NCERT से:

  • सीधी रेखा का वेगमान समीकरण।
  • एक तल का वेगमान समीकरण।
  • दो वेगमानों के बीच का कोण।