जेईई के लिए वेक्टर क्रियाएं पर विस्तृत नोट

1. वेक्टर

• परिभाषा: एक वेक्टर एक गणितीय इकाई है जिसमें मात्रा और दिशा दोनों होती है। इसे एक दिशित रेखा संकेत करके दिशा को दर्शाया जाता है।

• प्रतिष्ठान: एक वेक्टर अक्सर बोल्डफेस संकेतन का प्रयोग करके दर्शाया जाता है, उदा। ए। घटक रूप में, एक वेक्टर संख्यात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है जैसे कि ए = (x, y, z), जहां x, y, और z वेक्टर के घटक हैं, पुनर्नविर्जित अक्षों के लिए।

• मात्रा: एक वेक्टर की मात्रा उसे दर्शाने वाली दिशित रेखा की लंबाई है। इसे प्रतीक | **ए** | या बस || **ए** || द्वारा दर्शाया जाता है।

• दिशा: एक वेक्टर की दिशा इसे दर्शाने वाली दिशित रेखा का विन्यास होता है। आमतौर पर दिशा को एक संदर्भ दिशा के साथ मापे गए कोणों का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है।

• इकाई वेक्टर: एक इकाई वेक्टर वह वेक्टर है जिसकी मात्रा 1 होती है। इसे अन्य वेक्टरों को प्रतिष्ठान देने के लिए उपयोग किया जाता है। इक्स अक्ष, वाई अक्ष और जेड अक्ष के आदर्श इकाई वेक्टरों को संकेतित किया जाता हैं हिंदी में बोलकर: आई, जे, के, क्रमशः।

2. वेक्टर जोड़ने और वेक्टर घटाने

• वेक्टर जोड़ना: दो वेक्टरों ए और बी का वेक्टर सम केवल सी नई वेक्टर होता है, जो ए के खिसकने वाले बाजू स्थान पर बी के सिर स्थान देने के बाद उत्पन्न किया जाता है और ए के खिसकने वाले बाजू से बी के सर होने वाले एक वेक्टर खींच रहा है। वेक्टर जोड़ने का क्रियान्वयन समयसारणी होता है, यानी ए + बी = बी + ए। यह एकीकरणोत्तर है, यानी (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी।)

• वेक्टर घटाना: दो वेक्टरों ए और बी का वेक्टर अंतर नया वेक्टर होता है, जो बी की दिशा को उल्टा करके ए में जोड़ता है। वेक्टर घटाने का ऑपरेशन समयसारणी नहीं होता है, यानी ए - बी ≠ बी - ए। हालांकि, यह एकीकरणोत्तर होता है, यानी (ए - बी) - सी = ए - (बी - सी।)

• वेक्टर जोड़ने और वेक्टर घटाने की गुणवत्ताएं:

  • आपसी प्रमाणी गुणवत्ता: ए + बी = बी + ए
  • एकीकरणोत्तर गुणवत्ता: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)
  • वितरणीय गुणवत्ता: क(ए + बी) = कए + कबी

• वेक्टर जोड़ने का त्रिकोण नियम: यह नियम यह कहता है कि दो वेक्टरों ए और बी का वेक्टर सम उन दोनों वेक्टरों द्वारा बने पैरालेलोग्राम की दिग्गज द्वारा प्रतिष्ठित होता है।

संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11 भौतिकी पाठ्यपुस्तक, अध्याय 4- एक तटस्थ चलन: वेक्टर

• ट्रिकोण नियम के पैरालेलोग्राम नियम: यह नियम त्रिकोण नियम का एक साधारणीकरण है और यह कहता है कि दो वेक्टरों का वेक्टर सम उन दोनों वेक्टरों के द्वारा प्रतिष्ठित पैरालेलोग्राम के दिग्गज द्वारा प्रतिष्ठित होता है जिनके पड़ोसी तिर्यकबाहु मापदंड के समान और प्रतिमानबद्ध होते हैं।

3. स्केलर और वेक्टर उत्पाद

• स्केलर गुणन (डॉट गुण): दो वेक्टर A और B का स्केलर गुणन (या डॉट गुण) एक वास्तविक संख्या है जो उनके मात्राओं का गुणन और उनके बीच के कोण के कोसाइन के रूप में परिभाषित होती है। इसे प्रतीक A • B द्वारा दर्शाया जाता है। स्केलर गुणन समान्तर क्रिया है और वितर्कीय क्रिया है।

• वेक्टर गुणन (क्रॉस गुण): दो वेक्टर A और B का वेक्टर गुणन (या क्रॉस गुण) एक नया वेक्टर है जो दोनों A और B के लिए लंबे होता है। इसे प्रतीक A × B द्वारा दर्शाया जाता है। वेक्टर गुणन संवर्ती है, यानी A × B = -B × A, और वेक्टर जोड़ने पर वितर्की है।

• स्केलर और वेक्टर गुणों की गुणाधारिता:.

  • डॉट गुण की समानांतर गुणाधारिता: A • B = B • A
  • डॉट गुण की वितर्की गुणाधारिता: A • (B + C) = A • B + A • C
  • क्रॉस गुण की संवर्ती गुणाधारिता: A × B = -B × A
  • क्रॉस गुण की वितर्की गुणाधारिता: A × (B + C) = A × B + A × C

• भौतिक व्याख्यान:

  • डॉट गुण: दो वेक्टरों का डॉट गुण एक वेक्टर के समाकार को प्रतिष्ठित करता है। यह दो वेक्टरों के साथ समांतरता या विपरीतता का माप है।
  • क्रॉस गुण: दो वेक्टरों के क्रॉस गुण द्वारा दो वेक्टर द्वारा गठित पैरलेलोग्राम का क्षेत्रफल दर्शाता है। यह तीन वेक्टरों के अपरता का माप है।

संदर्भ: NCERT कक्षा 12 भौतिकी पाठ्यपुस्तक, अध्याय 4 - चलते धाराएं और चुंबकता: अनुभाग 4.3

4. स्केलर त्रिपल गुणन

• तीन वेक्टरों A, B और C का स्केलर त्रिपल गुणन तीन वेक्टरों के घटकों द्वारा बनाई गई पदार्थक का निर्धारण होने वाली एक वास्तविक संख्या है: ​ (A** • B) C - (A • C) B। इसे प्रतीक [A B C] द्वारा दर्शाया जाता है।

• स्केलर त्रिपल गुणन की गुणाधारिता:

• चक्रवाकीय गुणाधारिता: [A B C] + [B C A] + [C A B] = 0।

• अन्ति-संवर्ती गुणाधारिता: [A B C] = -[B A C]।

• भौतिक व्याख्यान: स्केलर त्रिपल गुणन तीन वेक्टरों द्वारा गठित पैरलेपाइपेड का आयतन दर्शाता है। यह तीन वेक्टरों के गैर-समतलता का माप है।

5. वेक्टर त्रिपल गुणन

• तीन वेक्टरों A, B और C का वेक्टर त्रिपल गुणन एक नया वेक्टर है जो A और B के क्रॉस गुण का क्रॉस गुण है: A × (B × C)। इसे प्रतीक [A B C] द्वारा दर्शाया जाता है।

• वेक्टर त्रिपल गुणन की गुणाधारिता:

  • चक्रवाकीय गुणाधारिता: [A B C] + [B C A] + [C A B] = 0।
  • अन्ति-संवर्ती गुणाधारिता: [A B C] = -[B A C]।
  • वितर्की गुणाधारिता: A × (B + C) = A × B + A × C।

• भौतिक व्याख्यान: वेक्टर त्रिपल गुणन एक वेक्टर को दर्शाता है जो तीन वेक्टरों को समायोजित करने वाले समतल में लंबा होता है। यह तीन वेक्टरों के गैर-समतलता का माप है।

संदर्भ: NCERT कक्षा 12 भौतिकी पाठ्यपुस्तक, अध्याय 4- चलते हुए आवेश और चुंबकत्व: अनुभाग 4.4

6. भौतिकी में वेक्टरों के अनुप्रयोग

• किनेमैटिक्स और गतिविज्ञान: वेक्टर गतिविधि, वेग और त्वरण को वर्णन करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। वे गतिविधि में बल और गतिशीलता को वर्णन करने के लिए भी प्रयोग किए जाते हैं।

• वैद्युतिकी: वेक्टर बिजलीय और चुंबकीय क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं, साथ ही इनके द्वारा चार्जित कणों पर उनका प्रभाव वर्णन किया जाता है।

• द्रव्यमानिकी: वेक्टर तत्वों का प्रयोग द्रव्यों की वेग और त्वरण का वर्णन करने के लिए होता है, साथ ही वे वस्तुओं पर उनका प्रभाव वर्णन करने के लिए भी प्रयोग किए जाते हैं।

• तापमानविज्ञान: वेक्टर तत्वों का प्रयोग तापमान, दबाव, और अध्यायवृद्धि का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

7. अभियांत्रिकी में वेक्टरों के अनुप्रयोग

• संरचनात्मक यांत्रिकी: वेक्टर संरचनाओं, जैसे कि इमारतें, पुल, और मशीनों में बल और तनाव का विश्लेषण करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं।

• द्रव्यमानिकी: वेक्टर संरचनाओं का विश्लेषण पाइप और चानलों में द्रव्यों की प्रवाह का विश्लेषण करने और वस्तुओं पर उनका प्रभाव वर्णन करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं।

• तापमानविज्ञान: वेक्टर संरचनाओं का निर्माण और विश्लेषण करने के लिए प्रयोग किया जाता है, जैसे कि इंजन और हीट पंप।

• विद्युत अभियांत्रिकी: वेक्टर संरचनाओं का विश्लेषण करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं विद्युत सर्किट और विद्युतचुंबकीय उपकरणों, जैसे कि मोटर और जेनरेटर.

8. वेक्टर समीकरण

• रेखाओं और त्रिज्याओं के वेक्टर समीकरण: त्रिआयमी में रेखाएं और त्रिज्याएं प्रतिष्ठित करने के लिए वेक्टर समीकरण का प्रयोग किया जा सकता है। एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का वेक्टर समीकरण P(x₁, y₁, z₁) के साथ दिशा वेक्टर d = (d_x, d_y, d_z) द्वारा दिया जाता है: r = P + td, जहां t एक वास्तविक पैरामीटर है।

• गोलों, सिलेंडरों, और कोनों के वेक्टर समीकरण: त्रिआयमी में गोलों, सिलेंडरों, और कोनों का प्रतिष्ठित करने के लिए वेक्टर समीकरण का प्रयोग भी किया जा सकता है:

  • गोला:

  (x - x<sub>c</sub>)^2 + (y - y<sub>c</sub>)^2 + (z - z<sub>c</sub>)^2 = R^2
  

  • सिलेंडर:

    (x - x<sub>c</sub>)^2 + (y - y<sub>c</sub>)^2 = R