टॉपर्स से नोट्स

अंकगणित, द्युतिक और साम्रैतिक प्रगतियों

1. द्युतिक प्रगतियाँ (द्यु)

  • परिभाषा: एक द्युतिक प्रगति (द्यु) एक अनुक्रम है जिसमें किसी भी दो संयुक्त शब्दों के बीच का अंतर स्थायी होता है। इसका स्थायी अंतर प्रगति कहलाता है।

  • nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: Tn=a+(n1)d जहाँ,

  • aपहला शब्द है

  • d सामान्य अंतर है, और

  • n शब्द की संख्या है

  • द्युतिक प्रगतियों की गुणधर्म:

  • द्युतिक प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का योग सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के योग जैसा होता है।

  • द्युतिक प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sn=n2[2a+(n1)d]

2. साम्प्रदायिक प्रगतियाँ (साम्प्रदायिक)

  • परिभाषा: साम्प्रदायिक प्रगति (साम्प्रदायिक) एक अनुक्रम है जिसमें किसी भी दो संयुक्त शब्दों के अनुपात को एक स्थायी मान कहते हैं। यह स्थायी मान साम्प्रदायिक अनुपात कहलाता है।

  • nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: Tn=arn1 जहाँ,

  • a पहला शब्द है

  • r सामान्य अनुपात है, और

  • n शब्द की संख्या है

  • साम्प्रदायिक प्रगतियों की गुणधर्म:

  • साम्प्रदायिक प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का गुणनफल सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के गुणनफल जैसा होता है।

  • साम्प्रदायिक प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sn=a(1rn)1r जहाँ r ≠ 1 है, और r साम्प्रदायिक अनुपात है।

  • r < 1 वाले अनंत साम्प्रदायिक श्रृंखला के लिए, योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: S=a1r

3. साम्यांतर प्रगतियों (सुंधि)

  • परिभाषा: साम्यांतर प्रगति (सुंधि) एक अनुक्रम है जिसमें शब्दों के प्रतिष्ठानिकों के सादृश्य के सामान्यांतर के उपयोग से एक अनुक्रम बनाया जाता है।

  • nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: Tn=1a+(n1)d जहाँ,

  • a पहला शब्द है

  • d शब्दों के प्रतिष्ठानिकों के साम्यांतर का सामान्य अंतर है, और

  • n शब्द की संख्या है

  • साम्यांतर प्रगतियों की गुणधर्म:

  • साम्यांतर प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का योग सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के योग जैसा होता है।

  • साम्यांतर प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sn=n2[a+1n]

4. प्रगतियों के अनुप्रयोग:

  • वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग, जैसे:

  • ब्याज गणना

  • जनसंख्या वृद्धि

  • क्षायाभिक्ष्य अपघटन

  • एक सीमित या अनंत श्रृंखला के योग का पता लगाने वाली समस्याएं।

  • nवें शब्द की प्राथमिक या सामान्य शब्द का पता लगाने वाली समस्याएं।

  • एक श्रृंखला के एक निर्दिष्ट सटीकता तक का योग का पता लगाने वाली समस्याएं।