प्रश्न:

दिखाएं कि a.(b×c) तीन वेक्टर, a, b और c पर बने पैराललोपिपेड के आयतन के समान मात्रा में है।

उत्तर:

चरण 1: डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा को याद करें: a.b = |a||b|cosθ, यहां θ a और b के बीच का कोण है।

चरण 2: क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा को याद करें: b×c = |b||c|sinθ, यहां θ b और c के बीच का कोण है।

चरण 3: डॉट प्रोडक्ट और क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषाओं को में a.(b×c) समीकरण में प्रविष्ट करें: a.(b×c) = |a||b||c|cosθsinθ।

चरण 4: पैराललोपिपेड के आयतन के लिए सूत्र को याद करें: V = |a||b||c|sinθ, यहां θ a और b के बीच का कोण है।

चरण 5: पैराललोपिपेड के आयतन के सूत्र को समीकरण a.(b×c) = |a||b||c|cosθsinθ में प्रविष्ट करें: a.(b×c) = V।

इसलिए, a.(b×c) तीन वेक्टर, a, b और c पर बने पैराललोपिपेड के आयतन के समान मात्रा में है।

प्रश्न:

एक कार का वजन 1800 किलोग्राम है। इसके सामने और पीछे के एक्सल्स के बीच की दूरी 1.8 मीटर है। इसका केंद्रीय तार किसी भी सतह पर प्रत्येक सामने के पहियों और प्रत्येक पीछे के पहियों पर बल का पता लगाएं।

उत्तर:

1. कार का वजन (1800 किलोग्राम) की गणना करें।

2. सामने और पीछे के एक्सल्स के बीच की दूरी (1.8 मीटर) की गणना करें।

3. तार का केंद्रीय तार गणना करें (1.05 मीटर सामने के एक्सल के पीछे)।

4. प्रत्येक सामने के पहियों पर सतहों द्वारा प्रयोग किए जाने वाले बल की गणना करें: F = (1800 किलोग्राम x 9.8 मीटर/सेकंड²) x (1.05 मीटर / 1.8 मीटर) = 1023.33 N

5. प्रत्येक पीछे के पहियों पर सतहों द्वारा प्रयोग किए जाने वाले बल की गणना करें: F = (1800 किलोग्राम x 9.8 मीटर/सेकंड²) x (0.75 मीटर / 1.8 मीटर) = 759 N

प्रश्न:

एक गोलाकार के व्यास 2 मीटर है और यह 100 किलोग्राम का वजन है। यह एक समतल फर्श पर घुमकर अपनी केंद्रीय मान की गति 20 सेमी/सेकंड है। इसे रोकने के लिए कितना काम किया जाना चाहिए?

उत्तर:

1. गोलाकार की संवर्धना की गणना करें: I = mr² = 100 x (2)² = 400 किलोग्राम मीटर²

2. गोलाकार की किनेटिक ऊर्जा की गणना करें: KE = ½Iω² = 0.5 x 400 x (20/100)² = 0.8 J

3. गोलाकार को रोकने के लिए काम की गणना करें: W = KE = 0.8 J

प्रश्न:

उत्तर: चरण 1: याद रखें कि एक त्रिभुज का क्षेत्र आधे हिस्से बेस गुणा ऊँचाई के बराबर होता है।

चरण 2: चरवाहे a और b के बीच में होने वाले त्रिभुज के क्षेत्र को a×b के आपूर्ति का आधा मान लें।

चरण 3: दोनों चरवाहों के आपूर्ति के आकार की गणना के लिए आपूर्ति के सूत्र का उपयोग करें।

चरण 4: चरवाहे a और b के बीच में होने वाले त्रिभुज की ऊचाई की गणना करें।

चरण 5: बेस को ऊचाई से गुणा करें और परिणाम को दो से विभाजित करें ताकि क्षेत्र प्राप्त करें।

सवाल: (a) जब हम दो अलग-अलग झुकती तलियों पर एक सदृश ऊँचाइयों से एक कठोर गोला झूलते हैं, क्या गोला दोनों मामलों में एक ही गति के साथ नीचे पहुँचेगा? (b) क्या यह एक प्लेन से दूसरे प्लेन से नीचे जाने में अधिक समय लेगा? (c) यदि हाँ, तो कौन सा और क्यों?

उत्तर:

a) नहीं, यह दोनों मामलों में गोला नीचे एक ही गति के साथ नहीं पहुँचेगा।

b) हाँ, यह एक प्लेन से दूसरे प्लेन से नीचे जाने में अधिक समय लेगा।

c) शायद जो प्लेन अधिक झुकाव का होगा, वह दूसरे प्लेन से नीचे जाने में और समय लेगा। क्योंकि अधिक झुकाव के कारण उस पर ग्रेविटी का अधिक बल प्रभावित होगा, जिसके कारण गोला को नीचे जाना मुश्किल होगा।

अंग्रेजी अनुवाद को हिंदी भाषा में देखें

1. Consider a rolling body, such as a ring, disc, cylinder, or sphere, at the top of an inclined plane of height h. The body starts from rest at the top.

2. As the body rolls down the inclined plane, it experiences two types of motion - translational motion and rotational motion.

3. Let v be the velocity of translation of the body at the bottom of the inclined plane.

4. The translational motion of the body can be described by Newton’s second law, which states that the net force acting on an object is equal to its mass multiplied by its acceleration.

5. The net force acting on the rolling body is the gravitational force component parallel to the inclined plane, which is given by mg*sin(theta), where m is the mass of the body and theta is the angle of inclination.

6. The acceleration of the body is equal to the rate of change of its velocity, which is v^2/2gh, where g is the acceleration due to gravity.

7. Equating the net force to the product of mass and acceleration, we have mgsin(theta) = mv^2/2gh.

8. Canceling the mass m, we get v^2 = 2gh*sin(theta).

9. The radius of gyration k is defined as the root mean square distance of the mass elements from the axis of rotation. Therefore, k^2 = I/m, where I is the moment of inertia of the body about its symmetry axis.

10. The moment of inertia I for a ring, disc, cylinder, or sphere rotating about its symmetry axis can be calculated using the formula I = (1/2) * m * R^2, where R is the radius of the body.

11. Substituting the value of k^2 = I/m, we get k^2 = (1/2) * R^2.

12. Substituting the value of sin(theta) = h/sqrt(h^2 + R^2), we have v^2 = 2gh/(1 + (k^2/R^2)).

13. Therefore, the velocity v of translation of a rolling body at the bottom of an inclined plane of height h is given by v^2 = 2gh/(1 + (k^2/R^2)), where k is the radius of gyration of the body about its symmetry axis, and R is the radius of the body.

14. ढाल पर एक ठोस सिलेंडर चढ़ता है जिसका ढाल के खोंड पर तिल्ला 30° है। ढाल के नीचे ही सिलेंडर का केंद्रीय समांतर पूर्णांक की गति 5मी/सेक होती है। (ए) सिलेंडर ढाल पर कितनी दूर जाएगा? (ब) वह लौटने में कितना समय लगेगा?

उत्तर:

(a) भापट पर चढ़ने वाले सिलिंडर की दूरी की गणना करने के लिए, हमें समीकरण d = vtcos(theta) का उपयोग करना चाहिए, जहां d दूरी है, v वेग है, t समय है, और theta प्रवृत्ति का कोण है। क्योंकि हमें वेग और प्रवृत्ति का कोण पता है, हम समय के लिए समीकरण को व्यवस्थित करके समाधान कर सकते हैं t = d/(v*cos(theta))। फिर हम वेग और प्रवृत्ति के मानों को भर सकते हैं और ढलकी हुई तल से सिलिंडर को शीर्ष तक पहुंचने में लगने वाला समय निकाल सकते हैं।

(b) ढलकी हुई तल से फिर से पहुंचने में लगने वाला समय निकालने के लिए, हमें समीकरण t = d/(v*sin(theta)) का उपयोग कर सकते हैं, जहां d दूरी है, v वेग है, t समय है, और theta प्रवृत्ति का कोण है। फिर हम वेग और प्रवृत्ति के मानों को भर सकते हैं और ढलकी हुई तल से सिलिंडर को फिर से तल तक पहुंचने में लगने वाला समय निकाल सकते हैं।

प्रश्न:

एक आदमी एक घुमते हुए मंच पर खड़ा है, अपनी हाथों को फैलाए हुए हर तरफ माला रखते हैंआवाजाही प्रति मिनट है। फिर आदमी अपने हाथों को अपने शरीर के पास ले आता है और मंच से प्रतिदन्दी के रूप में 90 सेमी से 20 सेमी बदल जाता है। मानव तथा लगभग 7.6 किलोग्राम मीटर के मानव की घुमते हुए मंच का संगठन क्षणिक और समान रखा जा सकता है। (a) उसकी नई कोणीय गति क्या है? (घर्षण को नज़रअंदाज़ करें।) (b) क्या इस प्रक्रिया में किनेटिक ऊर्जा संरक्षित है? अगर नहीं, तो यह परिवर्तन कहाँ से होता है?

उत्तर:

अ) मानव और मंच की नई कोणीय गति कोणीय मोमेंट के संरक्षण के समीकरण का उपयोग करके गणित कर सकते हैं।

कोणीय मोमेंट = Iω

यहां I कोणीय पलटन और ω कोणीय गति है।

अत:,

I1ω1 = I2ω2

जहां I1 और ω1 मौजूदा कोणीय पलटन और कोणीय गति हैं, और I2 और ω2 संतुलन के अंतिम कोणीय पलटन और कोणीय गति हैं।

I1 = 7.6 किलोग्राम मीटर क्व मैटर

ω1 = 30 बार प्रति मिनट

I2 = 7.6 किलोग्राम मीटर क्व मैटर (क्योंकि कोणीय पलटन स्थिर है)

ω2 =?

समीकरण में मानों को स्थानांतरित करके,

7.6 किलोग्राम मीटर क्व मैटर (30 बार प्रति मिनट) = 7.6 किलोग्राम मीटर क्व मैटर ω2

ω2 = 30 बार प्रति मिनट

इसलिए, मानव और मंच की नई कोणीय गति 30 बार प्रति मिनट है।

ब) नहीं, प्रक्रिया में किनेटिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है। किनेटिक ऊर्जा के परिवर्तन का कारण गति के साथ भारी का दूरी में परिवर्तन होता है। जब भारी का दूरी शरीर की प्रवृत्ति के अच्छाई से 90 सेमी से 20 सेमी कम होती है, तो किनेटिक ऊर्जा कम हो जाती है।

प्रश्न:

(ए) लंबवत धाराओं के सिद्धांत का सिद्धांत दिखाएं। (संकेत: एक बिनार द्वारा (x, y) योजना में एक बिंदु की दूरी का वर्ग (x^2 + y^2) है।) (बी) समानता के सिद्धांत को सिद्ध करें। (संकेत: यदि केंद्रीय द्रव्यमान को मूलक माना जाए तो ∑ mi * ri = 0)।

उत्तर:

(ए) लंबवत धाराओं के सिद्धांत का सिद्धांत:

प्रमाणित करें कि दो लंबवत और अनुप्रवृत्ति धाराओं के संबंध में अनुप्रवृणता धाराओं के मोमेंट के समीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

संकेत: लंबवत और अनुप्रवृत्ति धाराओं के मोमेंट के संगठन के अंतर्गत लंबवत और अनुप्रवृत्ति धाराओं के वक्तव्य का उपयोग करें।

(बी) समानता का सिद्धांत सिद्ध करें:

प्रमाणित करें कि यदि केंद्रीय भार को मूल माना जाए, तो समस्त घटकों के जीवनी जोड़ने पर शून्य होगा।

संकेत: केंद्र भार को मूल मानक के रूप में विभाजित करते हुए,

∑ mi * ri = 0 का उपयोग करें।

हटो , इसीखड़े रेखा को प्रारंभिक गति दी जाती है, गुंजाइश -ए-समांतर किर कि प्रमाणित करो:

1. भ्रमणीयतः चक्र का तायापन का गुणांक मिलाइए चक्र का नामकारणक ब्रह्मज्ञान का- मूल रूप से एकक है। इसका समानांतरवेंद्र को प्राथमिकता एकत्रित करने के लिए अच्छी तरह से वेतन का उपयोग करके ज़्यादा आवश्यकता को घटाने की प्रक्रिया को तय करना होगा।

2. जांच करें क के बीच। दोनों में से कौन पहले चलना शुरू करेगा चक्र शुरू करेगा, अब यह ढीले वाहन का प्रतीक्षा करने की चाहत ज्यादा मोमेन्ट में लाने की तुलना में एक समती का उत्तर मिलेगा। इसका अर्थ है कि चक्र को स्थानिक घर्षण को पार करने के लिए कम टॉर्क की आवश्यकता होगी और यह चलना शुरू करेगा।

प्रश्न:

एक ठोस चक्र और एक अंगूठी, दोनों के तीर्थ रेडियस 10 सेंटीमीटर हैं, एकांत्रिक ताले पर एक साथ रखे जाते हैं, प्रारंभिक कोणीय गति 10π रेडियन प्रति सेकंड के बराबर है। दोनों में से कौन सही शुरू करेगा? गतिक घर्षण आधारीय μk = 0.2 है।

उत्तर:

1. चक्र और अंगूठी का चक्रांशी गति निर्धारित करें। चक्र और अंगूठी का चक्रांशी गति 10π रेडियन प्रति सेकंड है।

2. चक्र और अंगूठी का कोणीय त्वरण की गणना करें। चक्र और अंगूठी का कोणीय त्वरण 0 है, क्योंकि इसके प्रारंभिक कोणीय गति 10π रेडियन प्रति सेकंड है।

3. स्थाई और गतिविधिरुधी ट्रिक गणक निर्धारित करें। स्थाई घर्षण संकेतक μs = 0.2 है और गतिविधिरुधी घर्षण निर्धारित करें।

4. दखितियों में से कौन सही शुरू करेगा निर्धारित करें। चक्र पहले चलना शुरू करेगा,इसका मतलब है कि चक्र में एक उल्लंघन करने के लिए आवश्यकता होगी और यह चलना शुरू करेगा. इसका मतलब है कि चक्र को स्थानिक घर्षण को पार करने के लिए कम टॉर्क की आवश्यकता होगी और यह चलना शुरू करेगा।

प्रश्न:

संपूर्ण चक्र को 30 डिग्री की झुकी हुई तल लेते हुए गठीबद्ध मैदानिक चऽंद्र एक सेकंड में कितनी दूर जाएगी? 2. वोह पूर्णतया हाट करने में कितना समय लगाएगा?

उत्तर:

1. झुकी हुई में चक्र द्वारा यात्रा की जाने वाली दूरी की गणना की जा सकती है: दूरी = (प्रारंभिक वेग) x (समय)। चक्र की प्रारंभिक वेग 5m/s है।

समान द्वार्पण रेडियस (R) के एक यूनिफॉर्म डिस्क से, एक ऊर्ध्वाधर छेद रेडियस R/2 के बाहर किया जाता है। छेद का केंद्र प्रारंभिक डिस्क के केंद्र से R/2 की दूरी पर होता है। परिणामी समतल शरीर के केंद्र भार का स्थान निर्धारित करें।

1. असली डिस्क के केंद्र को मूल्यांकन स्थान मानें।

2. डिस्क के दो क्षेत्रों, वृत्ताकार होल और डिस्क के शेष भाग, का विचार करें।

3. वृत्ताकार होल का क्षेत्र गणित करें। एक वृत्त का क्षेत्र द्वारा दिया जाता है A = πr2, जहां r वृत्त का त्रिज्या है। इस प्रकार, वृत्ताकार होल का क्षेत्र A = π(R/2)2 = πR2/4 है।

4. डिस्क के शेष भाग का क्षेत्र गणित करें। एक वृत्त का क्षेत्र द्वारा दिया जाता है A = πr2, जहां r वृत्त का त्रिज्या है। इस प्रकार, डिस्क के शेष भाग का क्षेत्र A = πR2 है।

5. वृत्ताकार होल के केंद्रबिन्दु से मूल्यांकन स्थान तक की दूरी गणित करें। एक वृत्त का मूल्यांकन केंद्र उसके केंद्र पर स्थित होता है, जो मूल्यांकन स्थान से R/2 की दूरी पर है।

6. डिस्क के शेष भाग के मूल्यांकन स्थान से मूल्यांकन स्थान तक की दूरी गणित करें। एक वृत्त का मूल्यांकन केंद्र उसके केंद्र पर स्थित होता है, जो मूल्यांकन स्थान से R की दूरी पर है।

7. डिस्क का कुल क्षेत्र गणित करें। डिस्क का कुल क्षेत्र वृत्ताकार होल के क्षेत्र और डिस्क के शेष भाग के क्षेत्र का योग होता है। इस प्रकार, डिस्क का कुल क्षेत्र A = πR2 + πR2/4 = 5πR2/4 है।

8. डिस्क के मूल्यांकन स्थान से मूल्यांकन स्थान तक की दूरी गणित करें। एक शरीर का मूल्यांकन केंद्र इस प्रकार होता है x = (A1x1 + A2x2 + … + Anxn)/(A1 + A2 + … + An), जहां A1, A2, …, An शरीर के विभिन्न भागों के क्षेत्र होते हैं, और x1, x2, …, xn विभिन्न भागों के मूल्यांकन स्थानों की दूरी होती है। इस प्रकार, डिस्क के मूल्यांकन स्थान से मूल्यांकन स्थान तक की दूरी x = (πR2/4 x R/2 + πR2 x R)/(5πR2/4) = 4R/5 है।

9. परिणामस्वरूपी समतल शरीर का मूल्यांकन स्थान मूल्यांकन स्थान से 4R/5 की दूरी पर स्थित होता है।

प्रश्न:

एक मीटर छड़ी को अपने केंद्र पर एक चाकू की किनारे पर संतुलित किया जाता है। जब दो सिक्के, प्रत्येक का भार 5 ग्राम होता है, एक-दूसरे पर बड़ी चाकू दोनों मिलाकर 12.0 सेमी मार्क पर रखे जाते हैं, तो छड़ी का कितना भार होगा?

उत्तर:

चरण 1: सिक्कों और छड़ी के केंद्र के बीच की दूरी गणित करें।

दूरी = 12.0 सेमी - 45.0 सेमी = 33.0 सेमी

चरण 2: सिक्कों का कुल भार गणित करें।

सिक्कों का भार = 5 ग्राम x 2 = 10 ग्राम

चरण 3: छड़ी का भार गणित करें।

छड़ी का भार = 10 ग्राम x (33.0 सेमी/45.0 सेमी) = 7.3 ग्राम

प्रश्न:

एचसीएल अणु में, दो अणुओं के नातेदारी के बीच का अंतर लगभग 1.27 एंग्सट्रॉम (1 एंग्सट्रॉम = 10−10 मीटर) होता है। मौजूदा के लगभग 35.5 बार ज्यादा भारी होता है और लगभग सभी अणुओं का भार इसके नाभिक पर संकुचित होता है। अणु के केंद्रमें क़रीबी स्थान का अनुमान लगाएं।

उत्तर:

चरण 1: हाइड्रोजन अणु का भार (mH) और क्लोरीन अणु का भार (mCl) गणित करें।

mH = 1.0079 g/mol mCl = 35.5 x mH = 35.45 g/mol

चरण 2: हाइड्रोजन नाभिक के केंद्र से क्लोरीन नाभिक के केंद्र तक की दूरी (d) गणित करें।

d = 1.27 एंग्सट्रॉम = 1.27 x 10-10 मीटर

स्टेप 3: हाइड्रोजन न्यूक्लियस (mHN) और क्लोरीन न्यूक्लियस (mClN) की मास की गणना करें।

mHN = 1.0078 ग्राम/मोल mClN = 35.45 ग्राम/मोल

स्टेप 4: HCl मोलेक्यूल की कुल मास की गणना करें (mT)।

mT = mHN + mClN = 36.46 ग्राम/मोल

स्टेप 5: मोलेक्यूल के संकेन के स्थान (rCM) की गणना करें।

rCM = (mHN x d) / mT rCM = (1.0078 x 1.27 x 10-10) / 36.46 rCM = 3.48 x 10-12 मीटर

सवाल:

10 ग्राम की रामबाण जो कि 500 मीटर/सेकंड की गति से द्वार में छिद्रित होती है जो कि द्वार के बीच केंद्र में बिल्कुल सही ढंग से एक्सप्लोड करती है। द्वार 1.0 मीटर चौड़ा है और इसका वजन 12 किलोग्राम है। यह एक तटस्थ धरती के लिए एक्सिस पर हिंज है और तंत्रिका के परिपट्य के बिना घुमता है। द्वार में गोली व्यमिश्रित होने के तुरंत बाद के घुमावीत गति ढंग की खोजें।

उत्तर:

1. द्वार का संधि क्षेत्र का पलटने का क्षेत्र निर्धारित करें: I = (1/3)m x L2 = (1/3) (12 किलोग्राम) (1.0 मीटर)2 = 4 किलोग्राम-मीटर2

2. गोली की कक्षीय चलनी राशि की गणना करें: L = m x v x r = (10 ग्राम) (500 मीटर/सेकंड) (0.5 मीटर) = 2500 किलोग्राम-मीटर/सेकंड

3. द्वार की कक्षीय गति की गणना करें: ω = L/I = (2500 किलोग्राम-मीटर/सेकंड) / (4 किलोग्राम-मीटर2) = 625 रैडियन/सेकंड

सवाल:

10 किलोग्राम की सिलिंडर और 15 सेमी के त्रिज्या के साथ एक सत्यितक के समतल पर मुड़ती है जिसका मान 30 डिग्री होता है। स्थिर परिग्रह μs​=0.25। (a) सिलिंडर पर फ्रिक्शन की अभिक्रिया कितनी होती है? (b) रोलिंग के दौरान विरोध के खिलाफ तय यौन क्षमता? (c) यदि तलहटी ढाल बढ़ जाए, तो सिलिंडर पर्याप्त रूप से नहीं घूमता है, वहां θ के कितने मान पर सिंडर ढीला होना शुरू कर देता है, और सही ढंग से नहीं चलता है?

उत्तर:

(a) सिलिंडर पर फ्रिक्शन की अभिक्रिया समीकरण F = μsmg द्वारा दी जाती है, जहां μs स्थिर घूर्णन का संकेत है, m सिलिंडर की भार और g गुरुत्वाकर्षण का बल है। इसलिए, सिलिंडर पर फ्रिक्शन की अभिक्रिया F = 0.2510*9.81 = 24.525 न्यूटन है।

(b) रोलिंग के दौरान विरोध के खिलाफ तय यौन क्षमता समीकरण W = Fd द्वारा दी जाती है, जहां F फ्रिक्शन का बल है और d परिग्रहित दूरी है। सिलिंडर सही ढंग से घूमती है, इसलिए दूरी 2πr है, जहां r सिलिंडर का त्रिज्या है। इसलिए, रोलिंग के दौरान विरोध की हुई यौन क्षमता W = 24.5252π*0.15 = 37.7 जूल है।

(c) स्थिर घूर्णन का संकेत सदिशी घूर्णन बल है जो कि एक वस्तु में अप्लाइ किया जा सकता है जब यह सही ढंग से घूमती नहीं है। इसलिए, सिलिंडर ढाल कम होने पर, और सही ढंग से घूमने की बजाय, सिलिंडर ढीला होना शुरू कर देता है जब तलहटी का कोण घूर्णन के संकेत के मान से अधिक हो जाता है, जो इस मामले में 0.25 है। इसलिए, सिलिंडर ढाल कम होने पर, और सही ढंग से घूमने की बजाय, तलहटी का कोण 0.25 से अधिक होने पर सिलिंडर ढीला होना शुरू कर देता है।