अध्याय 2

इलेक्ट्रोस्टेटिक संभाव्यता और कैपेसिटेंस

MCQ I

~~ 2.1 एक $4 \mu F$ कैपेसिटर बैटरी की प्रस्तुति में ज्योड़ीदार की गई है जैसा कि सर्किट में दिखाया गया है (संदर्भ चित्र 2.1)। बैटरी का आंतरिक विरोध $0.5 \Omega$ है। कैपेसिटर प्लेट पर चार्ज की मात्रा होगी

(क) 0

(ख) $4 \mu C$

(ग) $16 \mu C$

(घ) $8 \mu C$

संदर्भ चित्र 2.1

~~ 2.2 एक सकारात्मक चार्जित कक्ष को विमीरित विद्युत क्षेत्र में शान्ति स्थिति से छोड़ा जाता है। चार्ज की विद्युत संभावना क्षेत्र

(क) समान रहती है क्योंकि विद्युत क्षेत्र समान होता है।

(ख) बढ़ती है क्योंकि चार्ज विद्युत क्षेत्र के साथ चलता है।

(ग) घटती है क्योंकि चार्ज विद्युत क्षेत्र के विपरीत चलता है।

(घ) घटती है क्योंकि चार्ज विद्युत क्षेत्र के विपरीत चलता है।

~~ 2.3 चित्र 2.2 में कुछ समानसंभाव्यता रेखाएं बिखरी हुई हैं। एक चार्जित वस्तु को बिन्दु $A$ से बिन्दु $B$ पर लाए जाता है।

(ई)

(घ)

संदर्भ चित्र 2.2

(ङ)

(क) चित्र (ई) में की गई कार्रवाई सबसे अधिक है।

(ख) चित्र (घ) में की गई कार्रवाई सबसे कम है।

(ग) चित्र (ई), चित्र (घ) और चित्र (ङ) में कार्रवाई एक समान है।

(घ) चित्र (ङ) में की गई कार्रवाई चित्र (घ) से अधिक है, लेकिन चित्र (ई) के समान है।

~~ 2.4 एक चार्जित संचालनशील गोलक की पृष्ठ में इलेक्ट्रोस्टेटिक संभावना $100 V$ है। इस संबंध में दो बयान किये गए हैं:

$S_1$ : गोलक के किसी भी बिंदु पर, विद्युत प्रेरणा शून्य है।

$S_2$ : गोलक के किसी भी बिंदु पर, इलेक्ट्रोस्टेटिक संभावना $100 V$ है।

निम्न में से कौन सा सही बयान है?

(क) $S_1$ सही है, लेकिन $S_2$ गलत है।

(ख) $S_1 & S_2$ दोनों गलत हैं।

(ग) $S_1$ सही है, $S_2$ भी सही है और बयानों का कारण $S_1$ है।

(घ) $S_1$ सही है, $S_2$ भी सही हैं, लेकिन बयान अनियंत्रित हैं।

~~ 2.5 जो चार्जों का सम्षोधन नहीं होता है, उनके पास से दूर वाली समानसंभाव्यता

(क) गोले होती हैं।

(ख) समतल होती हैं।

(ग) तिरमिश्र त्रुटि होती हैं।

(घ) अंडाकारहों की होती हैं।

~~ 2.6 एक समान-वत्त-कैपेसिटर श्रृंग में बनाया गया है। पृष्ठमें से एक श्रृंग $d_1$ वत्त और वास्तविक धरात्मक $k_1$ वत्त होती है और

चित्र 2.3

यहाँ प्रश्न की उत्तरों को हिंदी में दिखाया जाएगा कमीज: मात्रा $d_2$ और विद्युतचुंबकीय स्थानक $k_2$ का आयाम $d_1+d_2$ है और चित्र 2.3 में दिखाई गई है। इस व्यवस्था को एक विद्युतचुंबकीय पट्टी के रूप में सोचा जा सकता है जिसकी मोटाई $d(=d_1+d_2)$ है और प्रभावी विद्युतचुंबकीय स्थानक $k$ है। $k$ है

(अ) $\frac{k_1 d_1+k_2 d_2}{d_1+d_2}$

(ब) $\frac{k_1 d_1+k_2 d_2}{k_1+k_2}$

(ग) $\frac{k_1 k_2(d_1+d_2)}{(k_1 d_1+k_2 d_2)}$

(द) $\frac{2 k_1 k_2}{k_1+k_2}$

MCQ II

~~ 2.7 $\hat{\mathbf{z}}$ दिशा में एक समानतम विद्युत क्षेत्र को मानघटीय के रूप में लिया जाता है। क्षमता स्थिर है

(अ) सभी अंतरिक्ष में।

(ब) किसी भी $x$ के लिए एक दिए गए $z$ के लिए।

(ग) किसी भी $y$ के लिए एक दिए गए $z$ के लिए।

(द) एक दिए गए $z$ के लिए $x$ - $y$ तस्वीर पर।

~~ 2.8 समतायुक्त सतहें

(अ) बड़े विद्युत क्षेत्रों के क्षेत्रों की तुलना में कम नजदीक होंगी।

(ब) एक चालक के तेजों के किनारे के पास अधिक भीड़ होगी।

(ग) विद्युतचुंबक घनत्व के पास अधिक भीड़ होगी।

(द) हमेशा बराबर अंतराल के होंगे।

~~ 2.9 समतायुक्त से आगे खींचने के लिए किया गया काम

(अ) $-\int_A^{B} \mathbf{E} . d \mathbf{1}$ के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है

(ब) $-\int_A^{B} \mathbf{E} \cdot \boldsymbol{{}d} \mathbf{1}$ के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए

(ग) सुनिश्चित है।

(द) एक गैर-शून्य मूल्य हो सकती है।

~~ 2.10 निरंतर समतायुक्त क्षेत्र में

(अ) विद्युत क्षेत्र होमोगेन होता है

(ब) विद्युत क्षेत्र शून्य होता है

(ग) क्षेत्र के भीतर कोई चार्ज नहीं हो सकता।

(द) यदि एक चार्ज क्षेत्र के बाहर रखा जाता है तो विद्युत क्षेत्र अनिवार्य रूप से बदल जाएगा।

~~ 2.11 चित्र 2.4 में दिखाए गए सर्किट में। पहले ताले $K_1$ बंद किया जाता है और ताले $K_2$ खुला होता है। फिर $K_1$ खोल दिया जाता है और $K_2$ बंद होता है (क्रम महत्वपूर्ण है)। [$C_1$ और $C_2$ पर चार्ज के रूप में $Q_1{ }^{\prime}$ और $Q_2{ }^{\prime}$ और वोल्टेज के रूप में $V_1$ और $V_2$ लिया जाता है।]

तो

चित्र 2.4

(अ) $C_1$ पर चार्ज फिरसे वितरित होती है ताकि $V_1=V_2$

(ब) $C_1$ पर चार्ज फिरसे वितरित होती है ताकि $Q_1{ }^{\prime}=Q_2{ }^{\prime}$

(ग) $C_1$ पर चार्ज फिरसे वितरित होती है ताकि $C_1 V_1+C_2 V_2=C_1 E$

(द) $C_1$ पर चार्ज फिरसे वितरित होती है ताकि $Q_1{ }^{\prime}+Q_2{ }^{\prime}=Q$

~~ 2.12 यदि एक चालक के पास वी अलग से संभवतः 0 है और कहीं भी और कोई चार्ज नहीं है, तो

(अ) उसकी सतह या उसके अंदर चार्ज होना चाहिए।

(ब) चालक के शरीर के भीतर कोई चार्ज नहीं हो सकती है।

(ग) केवल सतह पर ही चार्ज होना चाहिए।

(द) सतह के अंदर चार्ज होना चाहिए।

~~ 2.13 पैरालेल प्लेट कैपेसिटर एक बैटरी से कनेक्ट किया जाता है जैसा कि चित्र 2.5 में दिखाया गया है। दो स्थितियों का विचार करें:

ए: कुंजी $K$ को बंद रखा गया है और इन्सुलेशन हैंडल का उपयोग करके प्लेट को अलग किया जाता है।

बी: कुंजी $K$ खोला गया है और इन्सुलेशन हैंडल का उपयोग करके प्लेट को अलग किया जाता है।

सही विकल्प चुनें।

(अ) ए: $Q$ रहता है लेकिन $C$ बदल जाता है।

(ब) बी: $V$ रहता है लेकिन $C$ बदल जाता है।

(ग) ए: $V$ रहता है और इसलिए $Q$ बदल जाता है।

कंटेंट का हाई संस्करण क्या है: चित्र 2.5

(डी) बी में: $Q$ पहले की तरह ही बना रहता है और इसलिए $V$ बदल जाता है। छोटे गोला बड़े से अधिक या कम है।

VSA

~~ 2.14 चार गुणाकारी गोलाओं को विचार करें, जिनके त्रिज्या R1 और R2 हैं, जहां R1 > R2 है। यदि दोनों ही समान क्षमता पर हैं, तो बड़े गोले में छोटे गोले से अधिक चार्ज होता है। स्तड्ट खंडन बड़े गोले के छोटे से कम या अधिक है?

~~ 2.15 क्या स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन उच्च परावर्तन या कम अविभाज्य क्षेत्रों में यात्रा करते हैं?

~~ 2.16 क्या एक से अधिकांश बिजली चालकों के बीच परावर्तन का संभाव्यता हो सकता है जो एक ही चार्ज धारित कर रहे हों?

~~ 2.17 क्या स्वतंत्र स्थान पर पोथबो चुनौती हो सकती है?

~~ 2.18 एक परीक्षा विद्युत धारित Q की आदेशी क्षैतिजश्रेणी के खंड में एक बिंदु चार्ज Q के विद्युत क्षेत्र में चलते हैं (चित्र 2.6)। पहली पथ में विद्युत क्षेत्र की लाइनों के अनुरूप और लपक के पथ होते हैं। दूसरा पथ पहली परिश्रेणी के क्षेत्र के समान क्षेत्र संख्या वाला एक आयताकार लूप होता है। दोनों मामलों में काम किस प्रकार होता है?

चित्र 2.6

SA

~~ 2.19 साक्ष्य संज्ञान में एक बंधित समताधारी सतह ऐसी कोई चार्ज नहीं जिसके भीतर वह अनुकंपणीय मात्रा में बंधा नहीं है, उसे एक समताधारी आयतन से घेरना चाहिए।

~~ 2.20 एक कैपेसिटर के प्लेटों के बीच कुछ अविजेंट अवधि होती है, और कैपेसिटर को एक डीसी स्रोत से जोड़ा गया है। बैटरी अब निकाल दी गई है और उसके बाद अविजेंट निकल दिया जाता है। क्या कैपेसिटन्स, इसमें संग्रहित ऊर्जा, विद्युत क्षेत्र, भरे गए चार्ज और वोल्टेज बढ़ेंगे, कम होंगे या स्थिर रहेंगे?

~~ 2.21 सिद्ध करें कि अकेन में स्थिरित, बिना चार्जित, कंडक्‍टर को एक चार्जित कंडक्‍टर के पास रखा जाता है और यहां और कोई अन्य कंडक्‍टर मौजूद नहीं होता है, तो अचार के बीच माध्यमिक गुणस्तर होना चाहिए जो चार्जित अचारित और अनंत शक्ति के बीच होता है।

~~ 2.22 निकटस्थ ब्याज केंद्राधिकारी के केंद्र से थोड़ा सा पहले संख्यातक $-q$ की बिन्दु दम की गणना करें, शक्ति $+Q$ के आदर्श दायरे $R$ पर संघटित होने के कारण। ओर से ध्यान दें ग्राफ पर, क्या आप देख सकते हैं कि क्या होगा अगर $-q$ थोड़ा अवयव के केंद्र से प्रावृत्त हो जाता है (केंद्र पर)?

~~ 2.23 एक दायरे के आदर्श के दायरे के लिए केंद्र पर प्राक्कण के कारण एक रेखा पर क्षेत्रीय उर्जा की गणना करें।

LA

~~ 2.24 एक अनंत वृत्त के लिए समताधारी की समीकरण ढूंढें जिसका त्रिज्या $r_0$ है, एक पंक्तिमय घनत्व के चार्ज ले रहा है।

~~ 2.25 दो बिंदु चार्जों की मात्रा $+q$ और $-q$ दिए गए हैं, यहां $(-d / 2,0,0)$ और $(d / 2,0,0)$ हैं। वहां समताधारी सतह का समीकरण ढूंढें जहां विद्युत्क्षेत्र शून्य है।

~~

The hi version of the content is:

2.26 एक समानांतर प्लेट कैपेसिटर में एक ऐसा दिएलेक्ट्रिक भरा जाता है जिसकी सापेक्ष परमानु क्षेत्रीयता आवेदित वोल्टेज [$(U)$] के साथ अविकलनीय होती है $\varepsilon=\alpha U$ जहां $\alpha=2 V^{-1}$ होता है। कोई दिएलेक्ट्रिक नहीं भरे गए एक समानांतर कैपेसिटर को $U_0=78 V$ इस्‍तेमाल की जाती है। फिर उसे दिएलेक्ट्रिक से भरी हुए कैपेसिटर के साथ जोड़ दिया जाता है। कैपेसिटरों पर अंतिम वोल्टेज क्या होगी।

2.27 एक कैपेसिटर दोनों वर्तुळयुक्त प्लेटों से बना होता है जिनका त्रिज्या $R$ होता है, जो दूरी [$d«R$] से अलग किया जाता है। कैपेसिटर स्थिर वोल्टेज से जुड़ा होता है। तना चाक जिसका त्रिज्या $r«R$ और मोटाई $t«r$ होती है, वह नीचे की मध्य स्थिति में रखी जाती है। यदि तना का भार $m$ है, तो तना को उठाने के लिए न्यूनतम वोल्टेज क्या होगी।

~~ 2.28 (क) पारमाणुकों के त्रिकोण मॉडल में, इकट्ठे न्यूट्रॉन का आपत्तिक मांगिक ऊर्जा किसी एक up उप-विशेष [चार्ज (2/3) ई] और दो down उप-विशेष [चार्जेस $-(1/3)$ ई] से बना होता है। मान लीजिए कि इनकी एक समांतर माला है जिसका पक्षी त्रिज्या $10^{-15} m$ के आदेश में होती है। न्यूट्रॉन की विधुतीय संभावनात्मक ऊर्जा की गणना करें और इसे उसकी भार 939 $MeV$ के साथ तुलना करें।

(ख) ऊपरी कसमें ऊर्जा गणना को पुनरावृत्त करें जो कि एक up और एक down कुआर्क से बना होता है।

~~ 2.29 दो धातु गोलाक, एका का त्रिज्या $R$ है और दूसरे का त्रिज्या $2R$ है, उनकी सामान्य सतही चार्ज घनत्व $\sigma$ होती है। वे मिलाए जाते हैं और अलग किए जाते हैं। इस पर नई सतही चार्ज घनत्व क्या होगी।

~~ 2.30 फिगर 2.7 में दिए गए सर्किट में, पहले $K_1$ बंद होता है और $K_2$ खुला होता है। प्रत्येक कैपेसिटर पर क्‍या धारा होती है।

फिर $K_1$ खुल दिया जाता है और $K_2$ बंद होता है (क्रम महत्वपूर्ण है), तो प्रत्येक कैपेसिटर पर धारा क्या होगी। [$C=1 \mu F$]

फिगर 2.7

~~ 2.31 एक वृत्तकार पर अक्ष के विधुतीय संभावना की गणना करें जो कपाल के सतह पर समान्यतः वितरित चार्ज $Q$ के कारण होती है।

~~ 2.32 दो चार्जों $q_1$ और $q_2$ को $(0, 0, d)$ और $(0, 0, -d)$ पर रखा जाता है उसके चारों ओरौं के बिंदुओं की धारणा का लक्ष्य जांचें जहां संभावनात्मक केंद्रीय होती है.

~~ 2.33 दोअवतरण्ड चार्जों $-q$ हैं जो एकत्रित दूरी $2d$ से अलग होते हैं। तीसरी चार्ज $+q$ बीची ठीक मध्य बिंदु $O$ पर रखती है। $+q$ चार्ज की संभावनात्मक ऊर्जा को छोटी दूरी $x$ के कारण $-q$ चार्जों के कारणिक ऊर्जा के रूप में फंचें। $x$ के लिए पी.ई. बनाओ और अपनों को समझाओ कि चार्ज $O$ अस्थायी संतुलन में होती है।

अध्याय 2

~~ 2.1 (ड)

~~ 2.2 (ख)

~~ 2.3 (ख)

~~ 2.4 (ख)

~~ 2.5 (अ)

~~ 2.6 (ख)

~~ 2.7 (ब), (ख), (द)

~~ 2.8 (अ), (ख), (ख)

~~ 2.9 (ख), (ख)

~~ 2.10 (ख), (ख)

~~ 2.11 (अ), (ड)

~~ 2.12 (अ), (ब)

~~ 2.13 (ख) और (ख)

~~ 2.14 अधिक।

~~ 2.15 उच्चतर संभावनात्मक।

~~ 2.16 हां, यदि आकार में अंतर हो।

~~ 2.17 नहीं।

~~ 2.18 विद्युतीय क्षेत्र संरेखीय होता है, दोनों मामलों में किया गया कार्य शून्य होगा।

~~

2.19 यदि यह सत्य नहीं होता। सतह के अंदरी ओर के रूप में बिना कोई विभाजन के संभावित हो जाना। इससे सतह पर से अलग प्रतिस्पर्धिक विभाजित होने का परिणाम होगा। इसका अर्थ है कि सतह से अंदरी ओर या बाहरी ओर में फील्ड लाइन हो रही हैं। ये लाइनें फिर से सतह पर नहीं हो सकती हैं, क्योंकि सतह पर समानधारित्री होती है। इसलिए, इसका संभव है कि लाइनों का दूसरा अंतर्गर्भीय भाग एंथरिंग रेभी भागों में हैं, जो प्रेमिस के खंडन करने की बात कर रहें हैं। इसलिए, समान विभावन वाले पूरे भीतरी आयतन का समान विभावन होना चाहिए।

~~ 2.20 C कम होगा ऊर्जा संग्रहित $ =\frac{1}{2} C V^{2}$ और इसलिए बढ़ेगी। इलेक्ट्रिक फ़ील्ड बढ़ेगी।

संग्रहित चार्ज वही रहेगी।

$V$ बढ़ेगी।

~~ 2.21 चार्जयुक्त चंद्रकारक से इशारों तक किसी भी पथ का विचार करें। इस पथ के अनुसार बिभाजन निरंतर कम होगा। अविशिष्ट चंद्रकारक से अनंतता तक एक दूसरा पथ दोबारा विचारणीय स्थिति में बिभाजन और निरंतर कम करेगा। इसलिए यह परिणाम।

~~ 2.22

$U=\frac{-q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R \sqrt{1+z^{2} / R^{2}}}$

$z$ के साथ विभावन ऊर्जा की प्रतिज्ञाता चित्रित की गई है।

विस्थापित चार्ज -q स्थानांतरित करेगा। हम केवल चार्ट को देखकर कुछ नहीं निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

~~ 2.23 $ \quad V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}$

~~ 2.24 रेखा से दूरी $r$ पर विभावन ढ़ूंढ़ने के लिए विद्युतचुम्बकीय क्षेत्र का अध्ययन करें। हम ध्यान देते हैं कि विमित्तता से चित्रित करने पर चुंबकीय रेखा अक्षम होनी चाहिए। एक गोलकार गौसीय सतह बनाएं जिसका त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ हो। तब

$\oint \mathbf{E} . d \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0} \lambda 1$

या $E_r 2 \pi rl=\frac{1}{\varepsilon_0} \lambda l$

$\Rightarrow E_r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$

इसलिए, अगर $r_0$ त्रिज्या है,

$ V(r)-V(r_ 0)= - \int_{r_0^r}^{r} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=\frac{\lambda} {2 \pi \varepsilon_ 0} \ln \frac{r _0}{r}$

दिए गए $V$ के लिए,

$\ln \frac{r}{r_0}=-\frac{2 \pi \varepsilon_0}{\lambda}[V(r)-V(r_0)]$

$\Rightarrow r=r_0 e^{-2 \pi \varepsilon_0 V r_0 / \lambda} \cdot e^{+2 \pi \varepsilon_0 V(r) / \lambda}$

विभावन सतहें त्रिज्याओं की हैं

$r=r_0 e^{-2 \pi \varepsilon_0[V(r)-V(r_0)] / \lambda}$

~~ 2.25 यदि तत्व मूल से दूरी $x$ पर रखी जाए तो बिना किसी प्रमाण के पड़ जाएगा। बिंदु $पी$ पर विभावन

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{[(x+d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{[(x-d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}$

यदि यह शून्य होने चाहिए।

$\frac{1}{[(x+d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}=\frac{1}{[(x-d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}$

या, $(x-d / 2)^{2}+h^{2}=(x+d / 2)^{2}+h^{2}$

कन्टेंट का हिंदी संस्करण है: $\Rightarrow x^{2}-d x+d^{2} / 4=x^{2}+d x+d^{2} / 4$

या, $2 d x=0$

$\Rightarrow x=0$

समीकरण एक समतल $x=0$ का है।

~~ 2.26 अंतिम वोल्टेज $U$ हो : यदि $C$ कैपेसिटर की कैपेसिटन्स है बिना डाइइलेक्ट्रिक के, तो कैपेसिटर पर चार्ज है

$Q_1=C U$

डाइइलेक्ट्रिक के साथ कैपेसिटर की कैपेसिटन्स $\varepsilon C$ है। इसलिए कैपेसिटर पर चार्ज होता है

$Q_2=\varepsilon U=\alpha C U^{2}$

चार्ज किए गए कैपेसिटर पर प्रारंभिक चार्ज है

$Q_0=CU_0$

चार्जों के संरक्षण से,

$B_0=Q_1+Q_2$

या, $CU_0=CU+\alpha CU^{2}$

$\Rightarrow \alpha U^{2}+U-u_0=0$

$\therefore U=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \alpha U_0}}{2 \alpha}$

$ \begin{aligned} & =\frac{-1 \pm \sqrt{1+624}}{4} \\ & =\frac{-1 \pm \sqrt{625}}{4} \text{ वॉल्ट्स } \end{aligned} $

क्योंकि $U$ धनात्मक है

$ U=\frac{\sqrt{625}-1}{4}=\frac{24}{4}=6 V $

~~ 2.27 जब डिस्क नीचे की प्लेट के साथ संपर्क में होता है, पूरी प्लेट एक समतोल होती है। डिस्क पर विद्युत फील्ड होता है

$=\frac{V}{d}$

इसलिए, डिस्क पर चार्ज होता है

$=\frac{-\varepsilon_0 V}{d} \pi r^{2}$

डिस्क पर कार्यरत बल होता है

$ -\frac{V}{d} \times =\varepsilon_0 \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2} $

यदि डिस्क को उठाया जाना है, तो

$ \begin{aligned} & \varepsilon_0 \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2}=m g \\ & \Rightarrow V=\sqrt{\frac{m g d^{2}}{\pi \varepsilon_0 r^{2}}} \end{aligned} $

~~ 2.28 $ U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}$ $\begin{Bmatrix} \frac{q_d q_d}{r} - \frac{q_u q_d}{r} - \frac{q_u q_d} {r} \end{Bmatrix}$

$=\frac{9 \times 10^{9}}{10^{-15}}(1.6 \times 10^{-19})^{2}{(1 / 3)^{2}-(2 / 3)(1 / 3)-(2 / 3)(1 / 3)}$

$=2.304 \times 10^{-13}{\frac{1}{9}-\frac{4}{9}}=-7.68 \times 10^{-14} J$

$ =4.8 \times 10^{5} eV=0.48 MeV=5.11 \times 10^{-4}(m_n c^{2}) $

संपर्क से पहले

$Q_1=\sigma .4 \pi R^{2}$

$Q_2=\sigma .4 \pi(2 R^{2})=4(\sigma .4 \pi R^{2})=4 Q_1$

संपर्क के बाद :

$ \begin{aligned} Q_1^{\prime}+Q_2^{\prime} & =Q_1+Q_2=5 Q_1 \\ & =5(\sigma .4 \pi R^{2}) \end{aligned} $

वे समान संभाव्य में होंगे:

$\frac{Q_1{ }^{\prime}}{R}=\frac{Q_2{ }^{\prime}}{2 R}$

$\therefore Q_2{ }^{\prime}=2 Q^{\prime}$.

$\therefore 3 Q_1{ }^{\prime}=5(\sigma .4 \pi R^{2})$

$\therefore Q_1{ }^{\prime}=\frac{5}{3}(\sigma .4 \pi R^{2})$ और $Q_2{\ }^{\prime}=\frac{10}{3}(\sigma \cdot 4 \pi R^{2})$

$\therefore \sigma_1=5 / 3 \sigma$ और $\therefore \sigma_2=\frac{5}{6} \sigma$.

~~ 2.30 प्रारंभ में : $V \propto \frac{1}{C}$ और $V_1+V_2=E$

$\Rightarrow V_1=3 V$ और $V_2=6 V$

$\therefore Q_1=C_1 V_1=6 C \times 3=18 \mu C$

$Q_2=9 \mu C$ और $Q_3=0$

बाद में : $Q_2=Q_2^{\prime}+Q_3$

जहां $C_2 V+C_3 V=Q_2 \quad \Rightarrow V=\frac{Q_2}{C_2+C_3}=(3 / 2) V$

$Q_2{ }^{\prime}=(9 / 2) \mu C$ और $Q_3{ }^{\prime}=(9 / 2) \mu C$

~~ 2.31 $ \quad \sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}$

विषय: $d U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 2 \pi r d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}$

$\therefore U=\frac{\pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{2 r d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}} $

~~ 2.32 $ \begin{aligned} & \quad=\frac{2 \pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}[\sqrt{r^{2}+z^{2}}]_0^{R}=\frac{2 \pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}[\sqrt{R^{2}+z^{2}}-z] \\ & =\frac{2 Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^{2}}[\sqrt{R^{2}+z^{2}}-z] \\ & \frac{q_1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}+\frac{q_2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}=0 \\ & \therefore \frac{q_1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}=\frac{-q_2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}} \end{aligned} $

इस प्रकार, कुल बिजलीय प्राणस्थान को शून्य होने के लिए, $q_1$ और $q_2$ का विपरीत चिन्ह होना चाहिए। इसे वर्गण करके सरल करने पर हमें यह मिलता है।

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+[\frac{(q_1 / q_2)^{2}+1}{(q_1 / q_2)^{2}-1}](2 z d)+d^{2}=0$

यह एक गोला का समीकरण है जिसका केंद्र $(0,0,-2 d[\frac{q_1{ }^{2}+q_1{ }^{2}}{q_1^{2}-q_1^{2}}])$ पर है।

नोट : अगर $q_1=-q_2 \Rightarrow$ तब $z=0$, जो कि मध्य-बिंदु में एक समतल है।

~~ 2.33 $U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}{\frac{-q^{2}}{(d-x)}+\frac{-q^{2}}{(d-x)}}$

$U=\frac{-q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 d}{(d^{2}-x^{2})}$

$\frac{dU}{dx}=\frac{-q^{2} \cdot 2 d}{4 \pi \in_0} \cdot \frac{2 x}{(d^{2}-x^{2})^{2}}$

$ \begin{aligned} & U_0=\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d} \quad \frac{dU}{dx}=0 \text{ at } x=0 \\ & x=0 \text{ एक संतुलन बिंदु है। } \\ & \frac{d^{2} U}{dx^{2}}=(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \in_0})[\frac{2}{(d^{2}-x^{2})^{2}}-\frac{8 x^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{3}}] \end{aligned} $

$ =(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \in_0}) \frac{1}{(d^{2}-x^{2})^{3}}[2(d^{2}-x^{2})^{2}-8 x^{2}] $

$x=0$ पर

$\frac{d^{2} U}{dx^{2}}=(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \epsilon_0})(\frac{1}{d^{6}})(2 d^{2})$, जो $<0$ होता है।

इसलिए, अस्थिर संतुलन।