परमाणु (Paramāṇu)

अध्याय 12

परमाणु

MCQ I

~~ 12.1 बोह्र त्रिज्या को $a_0=53 pm$ मानते हुए, बोह्र के मॉडल के आधार पर $Li^{++}$ आयन का तत्व तत्व चक्रीय रूप में, लगभग होगा

(a) $53 \ pm$

(b) $27 \ pm$

(d) $13 \ pm$

~~ 12.2 एक बाइंडिंग ऊर्जा का $H$-एटम, जो एक निश्चित केंद्रवर्ती नक्षत्र (प्रोटॉन) के चारों ओर एक इलेक्ट्रॉन के चलने को मानता है, है $B=-\frac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}} \cdot(m=$ इलेक्ट्रॉन की मास).

यदि कोई यह निर्णय करता है कि उस रेफरेंस तंत्र में काम करना होगा जहां इलेक्ट्रॉन शांत होता है, तो प्रोटॉन उसके चारों ओर घुम रहा होगा। समान तर्कों द्वारा, बाइंडिंग ऊर्जा होगी

$ B=-\frac{M e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}}(M=\text{ प्रोटॉन की मास }) $

यह अंतिम अभिव्यक्ति सही नहीं है क्योंकि

(a) $n$ को पूर्णांकीय नहीं होगा।

(b) बोह्र-क्वांटिसेशन केवल इलेक्ट्रॉन के लिए लागू होती है

(d) प्रोटॉन की गति उसे घूमाने के लिए केवल बैणर्ल ओर्बिटलें नहीं है।

~~ 12.3 सरल बोह्र मॉडल बहुत सारे इलेक्ट्रॉनों के साथ एक परमाणु के ऊर्जा स्तरों की गणना करने के लिए सीधे लागू नहीं की जा सकती है। इसका कारण है

(a) इलेक्ट्रॉनों को केंद्रीय बलों के प्रभाव के अभाव

(b) इलेक्ट्रॉनों के बीच टक्कर होना

(d) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच का बल अब कूलोम्ब का नियम नहीं देगा।

~~ 12.4 ग्राउंड स्थिति के लिए, $H$-एटम में इलेक्ट्रॉन का कोणीय पल अंगुली$=\hbar$ होता है, सरल बोह्र मॉडल के अनुसार। कोणीय पल एक वेक्टर होता है और इसलिए विभिन्न संभावित दिशाओं में वेक्टर को दिखाता होगा। वास्तव में, यह सच नहीं है,

(a) क्योंकि बोह्र मॉडल को कोणीय पल के गलत मान देता है।

(b) क्योंकि इनमें से केवल एक को न्यूनतम ऊर्जा होगी।

(d) क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल समतल चक्रवातों में घूमते हैं।

~~ 12.5 $O_2$ मोलेक्यूल दो ऑक्सीजन परमाणुओं से बनी होती है। मोलेक्यूल में, दो परमाणुओं के केंद्रों के बीच नियुक्ति बल

(a) महत्वपूर्ण नहीं होती क्योंकि नाभिक बाल संक्षेप में होते हैं।

(b) दो परमाणुओं को बाँधने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक बांधने के तरंगी तरंगी है।

(d) महत्वपूर्ण नहीं होती क्योंकि ऑक्सीजन नाभिक में समान संख्या के न्यूट्रॉन्स और प्रोटॉन होते हैं।

~~ 12.6 ग्राउंड स्थिति में दो $H$ एटम अनारम संक्षेपित रूप से टकराते हैं। उनकी संयुक्त किनेटिक ऊर्जा कम होने की अधिकतम मात्रा है

(a) $10.20 eV$

(b) $20.40 eV$

(d) $27.2 eV$

~~ 12.7 एक उत्तेजित स्थिति में एक तत्व समूह विकसित होता है।

(a) सामान्य रूप में किसी भी निम्न स्थिति में।

(b) केवल एक निम्न स्थिति में जब एक बाह्य विद्युत क्षेत्र द्वारा उत्तेजित होती है।

(d) जब वे टकराते हैं, तो केवल फोटोन उत्पन्न करते हैं।

MCQ II

~~ 12.8 इयोनाइज्ड $H$-मोलेक्यूल एक इलेक्ट्रॉन और दो प्रोटॉनों से बना होता है। प्रोटॉन अंग्स्ट्राम के आदान परिधि के आदानक द्वारा अलग हो जाते हैं। ग्राउंड स्थिति में

(a) इलेक्ट्रॉन सर्कुलर बाह्य में नहीं घूमेगा।

(b) ऊर्जा (2) ${ }^{4}$ गुना होगी जोकि $H$-एटम की होगी।

(d) मोलेक्यूल जल्द ही एक प्रोटॉन और एक $H$-एटम में टुट जाएगी।

~~ 12.9 नि: शुल्क इलेक्ट्रॉन के एक बीम को नि: शुल्क प्रोटॉन के प्रति लक्ष्यित करने का विचार करें। जब वे टकराएंगे, तो एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन मिलकर एक $H$-एटम नहीं बना सकते हैं,

(a) ऊर्जा संरक्षण के कारण।

(b) साथ ही-साथ विकिरण के रूप में उर्जा विष्वसनीय नहीं हो रही है।

(d) कोणीय मोमेंटम संरक्षण के कारण।

~~ 12.10 इकाई के रूप में $H$-एटम के स्पैक्ट्रा के लिए बोर मॉडल

(a) मोलक्यूलर रूप में हाइड्रोजन के लिए लागू नहीं होगा।

(b) ही-एटम के लिए है क्योंकि यह नहीं है।

(d) निरंतर और अछूत स्पेक्ट्रल रेखाएं पूर्वानुमान करता है।

~~ 12.11 $H$-एटम के लिए बाल्मर श्रंखला देखी जा सकती है

(a) यदि हम ग्राउंड स्थिति में एक उत्तेजित एटम गिरने पर उत्पन्न प्रकाश की आवृत्तियों का मापण करें।

(b) यदि हम उत्तेजित स्थिति और पहली उत्तेजित स्थिति के बीच संक्रमणों के कारण उत्पन्न प्रकाश की आवृत्तियों का मापण करें।

(d) उच्चतम आवृत्तियों के एक क्रम के साथ एक आवृत्ति के रूप में।

~~ 12.12 $E_n=\frac{-1}{8 \varepsilon_0^{2}} \frac{m e^{4}}{n^{2} h^{2}}$ $H$-एटम के $n$ वें स्तर की ऊर्जा है। अगर सभी $H$-एटम ग्राउंड स्थिति में हों और $(E_2-E_1) / h$ आवृत्ति की विकिरण इस पर गिरती है,

(a) यह पूर्णतः कभी भी अवशोषित नहीं होगा। (b) कुछ अणु पहली उत्तेजित स्थिति में चलेंगे।

(d) कोई अणु $n=3$ स्थिति में संक्रमण नहीं करेगा।

~~ 12.13 एक साधारण बोह्र मॉडल $He^{4}$ एटम के लिए लागू नहीं होता क्योंकि

(a) $He^{4}$ एक अचुंभित गैस है।

(b) नीट्रॉन्स नीचे के नतीजे में होते हैं।

(d) इलेक्ट्रॉन केंद्रीय बल के अधीन नहीं होते हैं।

VSA

~~ 12.14 $H$-एटम का मास एक प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के मासों के योग की प्रमाणिति से कम होता है। इसका कारण क्या है?

~~ 12.15 $He^{4}$ और $He^{3}$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने का कल्पना करें। उनकी ऊर्जा स्तर, बोह्र मॉडल के आधार पर निकाली गई होंगी, ये बहुत करीबी होंगे। कारण बताएं।

~~ 12.16 एक ऊच्चतर ऊर्जा से निम्नतर ऊर्जा स्तर में गिरने पर ऊर्जा के अंतर को विद्युतचुम्बकीय विकिरण के रूप में दिखाई देता है। वह अन्य प्रकार की ऊर्जा के रूप में क्यों नहीं उत्पन्न हो सकता?

~~ 12.17 क्या $H$-एटम के लिए बोह्र सूत्र अछूत प्रोटॉन को चार्ज $(+4 / 3) e$ और इलेक्ट्रॉन को चार्ज $(-3 / 4) e$ के साथ बरकरार रहेगा, जहां $e=1.6 \times 10^{-19} C$ है। अपने उत्तर के लिए कारण बताएँ।

~~ 12.18 दो अलग भारीयों एटम का विचार करें। प्रत्येक अणु में उत्तेजित स्थिति में इलेक्ट्रॉन होता है। क्या ये संभव है कि इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा अलग हो सकती है लेकिन बोहर मॉडल के अनुसार समान आँचलिक कुण्डली का अंतर हो सकता है?

12.19 पॉजिट्रोनियम केवल एक $H$-एटम की तरह है जिसमें प्रोटॉन को इलेक्ट्रॉन के विपरीत आरध्यांत प्रतिभारी (पावक कहलाता है जो इलेक्ट्रॉन के समान रसायनी है) द्वारा बदल दिया गया है। पॉजिट्रोनियम का ग्राउंड स्थिति ऊर्जा क्या होगी?

~~ 12.20 मान लें कि एक एटम में इलेक्ट्रॉन्स के बीच कोई संघ्रामवादी बल नहीं है लेकिन सकारात्मक और नकारात्मक आर्धिकों के बीच बल कुलोंब का नियम के अनुसार होता है। इस प्रकार की परिस्थितियों में, हेलियम एटम की ग्राउंड स्थिति ऊर्जा की गणना करें।

~~ 12.21 बोह्र मोडल का उपयोग करके, क्या ग्राउंड स्थिति में होने पर $H$-एटम द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न विद्युतधारा की गणना करें।

~~ 12.22 दिखाएं कि जब इलेक्ट्रॉन ऊँची स्तरों से नवीनतम स्तर में गिरने पर उत्पन्न प्रकाश की पहले कुछ आवृत्तियाँ, अनुमानित सुरमरी (यानी अनुपात $1:2:3 \ldots$) होती हैं जब $n»1$ होता है।

~~ 12.23 एक $H$-एटम में ऐसी ग्राउंड स्थिति में जहां $H_{\gamma}$ वाले शृंगार श्रृंगारों को भोजन सकार्य कर सकता है के लिए कम से कम ऊर्जा क्या होगी। यदि कोणीय संवहनमान संरक्षित होता है तो ऐसे $H_{\gamma}$ फोटन का कोणीय संज्ञानांतर क्या होगा?

~~ 12.24 $H$-एटम की लायमन श्रृंगारी में पहली चार किरणें $\lambda=1218 \AA, 1028 \AA, 974.3 \AA$ और 951.4A होती हैं। इन किरणों की जगह हाइड्रोजन की बजाय ड्यूटेरियम को माना जाता है, तो इन किरणों की आवृत्ति में कितना बदलाव होगा।

~~ 12.25 1932 में हैरोल्ड यूरी द्वारा ड्यूट्रियम की खोज की गई, संक्रियों में एक विशेष विकर्ण की क्षेत्र में छोटे बदलाव को नापकर। यह इसलिए क्योंकि, संक्रियों की आवृत्ति कुछ हद तक परमाणु मास पर निर्भर करती है। यदि नाभिकीय गति को ध्यान में रखा जाए, तो इलेक्ट्रॉन और नाभिक को उनके सामान्य संकेंद्र पे घूमते हुए माना जा सकता है। ऐसा एक प्रणाली एक क्षेत्रिय जलक के बराबर दूरी पर में घूम रहे एक सिंगल कण है जिसकी कम कम व्यासीय भार $\mu$ है। यहां $\mu= m_e M/(m_e+M)$ है जहां $M$ परमाणु मास है और $m_e$ इलेक्ट्रॉनिक मास है। क्यूँचियों संख्या के लिए 1 लाईमन श्रृंगारी के लिए ${ }^{1} H$ और ${ }^{2} H$ में वेबे में प्रतिशत अंतर लगभग कितना होगा। (${ }^{1} H$ नाभिक का मास $1.6725 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है, ${ }^{2} H$ नाभिक का मास $3.3374 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है, इलेक्ट्रॉन का मास $9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$ है।)

~~ 12.26 अगर एक प्रोटॉन का ऊँचाई $R$ होती है और चार्ज संघटित रूप से वितरित होती है, तो बोह्र सिद्धांत का उपयोग करके, एक $H$-एटम की ग्राउंड स्थिति ऊर्जा की गणना करें जब (i) $R=0.1 \AA$, और (ii) $R=10 \AA$ हो।

~~ 12.27 ऍगर प्रक्रिया में एक एकटशरें बिना किरण उत्पन्न किए किरण के स्तर पर जाता है। अतिरिक्त ऊर्जा परमाणुओं को संग्रहीत की जाती है जो परमाणु द्वारा उत्पन्न किरण को पकड़ सकते हैं। (यह एक ऍगर इलेक्ट्रॉन के रूप में कहलाता है)। एक संकरी लेनु मानते हुए क्रोमियम द्वारा उत्पन्न किसी b=4 ऍगर इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय ऊर्जा का किनेटिक शक्ति की गणना करें जब यह ऊर्जा एक n=2 से n=1 पर संक्रिया में संग्रहीत की गई हो।

12.28 इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में प्रतिवर्ती वर्ग समानता $|\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{(4 \pi \varepsilon_0) \cdot r^{2}}$ है, जो इलेक्ट्रन और प्रोटॉन के बीच बल के लिए है।

$|\mathbf{F}|$ का $(\frac{1}{r})$ आवेदन क्वांटम सिद्धांत में प्रकाश के ‘कण’ (फोटन) की बात करने के कारण है क्योंकि वे भारहीन हैं। अगर फोटनों की भार $m_p$ होती, तो बल संशोधित होगा

$|\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{(4 \pi \varepsilon_0) r^{2}}[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}] . \exp (-\lambda r)$ यहाँ $\lambda=m_p c / \hbar$ है और $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$।

एक $H$-ऐटम की भूमिका में बदलाव की आंदोलन स्थिति मानक कीटो की तुलना में अगर $m_p$ एक इलेक्ट्रॉन के मास के $10^{-6}$ गुणा होती।

~~ 12.29 H-ऐटम के लिए बोअर मॉडल का आश्रय करता है इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की कूलॉंब का नियम। कुलॉंब का नियम सीमाओं के बहुत संक्षिप्त दूरियों के लिए सीधी तौर पर सत्यापित नहीं हुआ है। मान लें कि कुलॉंब का नियम दो प्रतिपूर्ण चार्ज़ $+q_1,-q_2$ के बीच के लिए संशोधित हो गया है

$ \begin{aligned} & |\mathbf{F}|=\frac{q_1 q_2}{(4 \pi \varepsilon_0)} \frac{1}{r^{2}}, \quad r \geq R_0 \\ & =\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{R_0^{2}}(\frac{R_0}{r})^{\varepsilon}, r \leq R_0 \end{aligned} $

इसके आधार पर, इस प्रकार जब $R_0=1 \AA$ है और $\varepsilon=0.1$ है, तो एक H-ऐटम की आधार की स्थिति की ऊर्जा की गणना करें।

अध्याय 12

~~ 12.1 (क)

~~ 12.2 (क)

~~ 12.3 (अ)

~~ 12.4 (अ)

~~ 12.5 (अ)

~~ 12.6 (अ)

~~ 12.7 (अ)

~~ 12.8 (अ), (क)

~~ 12.9 (अ), (ब)

~~ 12.10 (अ), (ब)

~~ 12.11 (ब), (ड)

~~ 12.12 (ब), (ड)

~~ 12.13 (क), (ड)

~~ 12.14 आइंस्टीन का मास-ऊर्जा समानता $E=m c^{2}$ दे तो है $H$-ऐटम का मास $m_p+m_e-\frac{B}{c^{2}}$ होता है यहाँ $B \approx 13.6 eV$ बाइंडिंग ऊर्जा है।

~~ 12.15 क्योंकि दोनों नाभिक संघनन के मुकाबले इलेक्ट्रॉन का मास बहुत भारी है।

~~ 12.16 क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रूप से प्रभावित होते हैं।

~~ 12.17 हां, क्योंकि बोअर के सूत्र में केवल चार्ज के गुणांक का उपयोग होता है।

~~ 12.18 नहीं, क्‍योंकि बोअर मॉडल के अनुसार, $E_n=-\frac{13.6}{n^{2}}$,

और विभिन्न ऊर्जावाले इलेक्ट्रॉनों की अलग अलग ऊर्जा वाली विभिन्न स्तरों में होते हैं जिनके मान $n$ के विभिन्न मान होते हैं। इसलिए, उनकी क्षैतिज चल किसी अलग होगी, जैसे $m v r=\frac{n h}{2 \pi}$।

~~ 12.19 बोअर के सूत्र $E_n=-\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_0 n^{2} h^{2}}$ में वे ’ $m$ ’ जो होता है वह कम मास होती है। H-ऐटम के लिए $m \approx m_e$ होती है। पॉज़ित्रोनियम के लिए $m \approx m_e / 2$ होती है। इसलिए पॉज़ित्रोनियम के लिए $E_1 \approx-6.8 eV$ होता है।

~~ 12.20 एक नाभिक जो मांग वाले चार्ज़ $2 e$ और चार्ज़ $-e$ वाले इलेक्ट्रॉन्स के लिए स्तर $E_n=-\frac{4 m e^{4}}{8 \varepsilon_0{ }^{2} n^{2} h^{2}}$ होते हैं। भूमिका स्थिति में, दो इलेक्ट्रॉन्स की ऊर्जा होती है $E$, और कुल भूमिका स्थिति की ऊर्जा होगी $-(4 \times 13.6) eV$।

~~ 12.21 वेग $v$ हो

$a _0=\quad$ बोअर आकार।

तो इकाई समय पर संचालनों की संख्या $=\frac{2 \pi a_0}{v}$

तो धारा $=\frac{2 \pi a_0}{v} e$।

~~ 12.22

$v _{mn}=c R Z^{2}[\frac{1}{(n+p)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}]$।

जहाँ $m=n+p,(p=1,2,3, \ldots)$ और $R$ राइडबर्ग स्थिर है।

$p«n$ के लिए।

$ \begin{aligned} & v _{m n}=c R Z^{2}[\frac{1}{n^{2}}(1+\frac{p}{n})^{-2}-\frac{1}{n^{2}}] \\ & v _{m n}=c R Z^{2}[\frac{1}{n^{2}}-\frac{2 p}{n^{3}}-\frac{1}{n^{2}}] \\ & v _{m n}=c R Z^{2} \frac{2 p}{n^{3}} \simeq(\frac{2 c R Z^{2}}{n^{3}}) p \end{aligned} $

इस प्रकार, $v _{mn}$ लगभग क्रमशः $1,2,3 \ldots \ldots \ldots$ होते हैं।

~~ 12.23 बाल्मेर श्रृंखला में $12.23$ $H _{\gamma}$ को $n=5$ से $n=2$ पर स्थानांतरित होने का उत्पन्न होता है। इसलिए आवश्यक ऊर्जा $=E_1-E_5=13.6-0.54=13.06 eV$ होती है।

अंगुलीय संवेदनशीलता संरक्षित होती है, फोटन की आँगुलीय संवेदनशीलता $=$ इलेक्ट्रॉन की आँगुलीय संवेदनशीलता में परिवर्तन $=L_5-L_2=5 \hbar-2 \hbar=3 \hbar=3 \times 1.06 \times 10^{-34}$

$=3.18 \times 10^{-34} kg m^{2} / s$।

~~ 12.24 $H=\mu_H=m_e(1-\frac{m_e}{M})$ को ध्यान में रखते हुए यदि Hydrogen/Deuterium के लिए तरंगदैर्घ्य $\lambda_H / \lambda_D$ है

$\frac{\lambda_D}{\lambda_H}=\frac{\mu_H}{\mu_D} \simeq(1+\frac{m_e}{2 M})^{-1} \simeq(1-\frac{1}{2 \times 1840})$

$\lambda_D=\lambda_H \times(0.99973)$

इस प्रकार, रेखाएँ $1217.7 \AA$ A 1027.7 Å, $974.04 \AA$ A, 951.143 A होती हैं।

~~ 12.25 परमाणु गति के अंतर्गत स्थिर अवस्थाएं,

ऊर्जा आंकड़ा होगा, $E_n=-\frac{\mu Z^{2} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}}(\frac{1}{n^{2}})$. हाइड्रोजन की ज्यामिति की वेग का आंकड़ा होगा $h v_H=\frac{\mu_H e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}}(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4} \frac{\mu_H e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}}$। इस प्रकार श्रृंखला की लंबवत्ता होगी $\lambda_H=\frac{3}{4} \frac{\mu_H e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{3} c}$। समान रेखा की लंबवत्ता द्विकेंद्रीय के लिए होगी $\lambda_D=\frac{3}{4} \frac{\mu_D e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{3} c}$।

$ \therefore \Delta \lambda=\lambda_D-\lambda_H $

इस प्रकार प्रतिशत अंतर होगा

$ \begin{aligned} & 100 \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda_H}=\frac{\lambda_D-\lambda_H}{\lambda_H} \times 100=\frac{\mu_D-\mu_H}{\mu_H} \times 100 \\ & =\frac{\frac{m_e M_D}{(m_e+M_D)}-\frac{m_e M_H}{(m_e+M_H)}}{m_e M_H /(m_e+M_H)} \times 100 \\ & =[(\frac{m_e+M_H}{m_e+M_D}) \frac{M_D}{M_H}-1] \times 100 \end{aligned} $

क्योंकि $m_e«M_H<M_D$

$ \begin{aligned} \frac{\Delta \lambda}{\lambda_H} \times 100=[\frac{M_H}{M_D} \times \frac{M_D}{M_H}(\frac{1+m_e / M_H}{1+m_e / M_D})-1] \times 100 \\ \quad=[(1+m_e / M_H)(1+m_e / M_D)^{-1}-1] \times 100 \\ \simeq[(1+\frac{m_e}{M_H}-\frac{m_e}{M_D}-1] \times 100. \\ \quad \approx m_e[\frac{1}{M_H}-\frac{1}{M_D}] \times 100 \\

यहाँ 9.1 गुणा 10 की -31 और 1 के बीच [\frac{1}{1.6725 गुणा 10 की -27}-\frac{1}{3.3374 गुणा 10 की -27}] हैं जो 100 से गुणा हैं \ =9.1 गुणा 10 की -4[0.5979-0.2996] गुणा 100 \ =2.714 गुणा 10 की -2 % \\ \ 12.26 H-एटम में एक बिंदु परमाणु के लिए: \ आधार अवस्था: \ m v r=\hbar, \frac{m v^{2}}{r_B}=-\frac{e^{2}}{r_B^{2}} \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \ इसलिए m \frac{\hbar^{2}}{m^{2} r_B^{2}} \cdot \frac{1}{r_B}=+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}) \frac{1}{r_B^{2}} \ इसलिए \frac{\hbar^{2}}{m} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}=r_B=0.51 अठंग \ बहि:सत्तापी \ -(\frac{e^{2}}{4 \pi r_0}) \cdot \frac{1}{r_B}=-27 \cdot 2 e V ; K \cdot E=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{1}{2} m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m^{2} r_B^{2}}=\frac{\hbar}{2 m r_B^{2}}=+13.6 eV \ एक गोलाकार परमाणु के लिए जब $R> r_B$, \ जब $R \gg r_B$ : इलेक्ट्रॉन संघे गोलाकार में प्रवास करते हैं जिसका ऊर्ध्वाज्ञानुकार $r_B’$ होता है \ रेशा $R<r_B$, वही परिणाम \ चार्ज $r_B’$-4=e(\frac{r_B’^{3}}{R^{3}})$अंदर चार्ज इसलिए $r_B’=\frac{\hbar^{2}}{m}(\frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}) \frac{R^{3}}{r_B’^{3}} \ r_B’^{4}=(0.51 \AA) \cdot R^{3} ; \quad R=10 \AA \ =510(\AA)^{4} \ इसलिए r_B’ \approx(510)^{1 / 4} \AA \ किनेटिक ऊर्ध्वाधार के लिए $=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{m}{2} \cdot \frac{\hbar}{m^{2} r_B’^{2}}=\frac{\hbar}{2 m} \cdot \frac{1}{r_B’^{2}} \ =(\frac{\hbar^{2}}{2 m r_B^{2}}) \cdot(\frac{r_B^{2}}{r_B’^{2}})=(13.6 eV) \frac{(0.51)^{2}}{(510)^{1 / 2}}=\frac{3.54}{22.6}=0.16 eV \ P.E $=+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}) \cdot(\frac{r_B’^{2}-3 R^{2}}{2 R^{3}}) \ =+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_B}) \cdot(\frac{r_B(r_B’^{2}-3 R^{2}.}{R^{3}}) \ =+(27.2 eV)[\frac{0.51(\sqrt{510}-300)}{1000}] \ =+(27.2 eV) \cdot \frac{-141}{1000}=-3.83 eV \ \ 12.27 चुंबकीय क्षेत्रफलमध्ये मोठ्या नियमी परमाणुलाचा असल्यामुळे तळ्याची चालवणारी पदर्थी इकली बिना जेवल्या ऊर्ध्ववृत्तीच्या तापासाचे सर्व उर्जा ज्याचा होईल \ त्याच्या $Cr$ नियमीपरमाणूसाठीच्या म्हणजेच बोह्र अनुक्रम \ आदिद्रष्ठी कीर्ती $E_n=-Z^{2} R \frac{1}{n^{2}}$ , जेथे $R$ होय रिडबर्ग नियमक झाला $Z=24$ \ एकूण उतसर्जन झालेली ऊर्जा 2 ही 1 ला $=Z^{2} R(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4} Z^{2} R$ किन्वा $n=4$ या इलेक्ट्रॉनासाठी गरमागरमी मिळविलेली ऊर्जा $E_4=Z^{2} R \frac{1}{16}$ \ आणि आत्मचिंतन इलेक्ट्रॉनचं किनेटिक ऊर्ध्ववृत्ती असेल \ $ \begin{aligned} K . E=Z^{2} R(\frac{3}{4}-\frac{1}{16})=\frac{1}{16} Z^{2} R=\ \frac{11}{16} \times 24 \times 24 \times 13.6 eV=\ 5385.6 eV \end{aligned} $ \

12.28 \ $m_p c^{2}= 10^{-6} \times इलेक्ट्रॉन ठिकाणी मांसपेशी ठरलेल्या एनर्जी \times c^{2}=\ = 10^{-6} \times 0.5 MeV=\ 10^{-6} \times 0.5 \times 1.6 \times 10^{-13}=\ 0.8 \times 10^{-19} J

कन्टेंट का हिन्दी संस्करण यह है:

$ \left.\begin{aligned} & \frac{\hbar}{m_p c}=\frac{\hbar c}{m_p c^{2}}=\frac{10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{0.8 \times 10^{-19}} \approx 4 \times 10^{-7} m>\text{ बोहर ऊर्जा।} \ &|\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}] \exp (-\lambda r) \end{aligned}\right. $

जहां $\lambda^{-1}=\frac{\hbar}{m_p c} \approx 4 \times 10^{-7} m \gg r_B$

$\therefore \lambda«\frac{1}{r_B}$ यानी $\lambda r_B \ll<1$

$U(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\exp (-\lambda r)}{r}$

$m v r=\hbar \therefore v=\frac{\hbar}{m r}$

और: $\frac{m v^{2}}{r}=\approx(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}]$

$\therefore \frac{\hbar^{2}}{m r^{3}}=(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}]$

$\therefore \frac{\hbar^{2}}{m}=(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[r+\lambda r^{2}]$

अगर $\lambda=0$ हो तो; $r=r_B=\frac{\hbar}{m} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}$

$\frac{\hbar^{2}}{m}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot r_B$

क्योंकि $\lambda^{-1}>r_B$, इसलिए $r=r_B+\delta$ रखें।

$\therefore r_B=r_B+\delta+\lambda(r_B^{2}+\delta^{2}+2 \delta r_B)$ ; यहां $\delta^{2}$ को छोड़ें

या $0=\lambda r_B^{2}+\delta(1+2 \lambda r_B)$

$\delta=\frac{-\lambda r_B^{2}}{1+2 \lambda r_B} \approx \lambda r_B^{2}(1-2 \lambda r_B)=-\lambda r_B^{2}$ क्योंकि $\lambda r_B«1$

$\therefore V(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\exp (-\lambda \delta-\lambda r_B)}{r_B+\delta}$

$\therefore V(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r_B}[(1-\frac{\delta}{r_B}) \cdot(1-\lambda r_B)]$

$\cong(-27.2 eV)$ अपरिवर्तित रूप में रहता है।

$K . E=-\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m r^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2(r_B+\delta)^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2 r_B^{2}}(1-\frac{2 \delta}{r_B})$

$=(13.6 eV)[1+2 \lambda r_B]$

कुल ऊर्जा $=\quad-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r_B}+\frac{\hbar^{2}}{2 r_B{ }^{2}}[1+2 \lambda r_B]$

$ =-27.2+13.6[1+2 \lambda r_B] eV $

ऊर्जा में परिवर्तन $=13.6 \times 2 \lambda r_B eV=27.2 \lambda r_B eV$

~~ 12.29 झलक $\varepsilon=2+\delta$ को लेते हैं

$ \begin{aligned} & F=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}}=\wedge \frac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}}, \text{ यहां } \frac{q_1 q_2}{4 \pi_0 \varepsilon}=\wedge, \wedge=(1.6 \times 10^{-19})^{2} \times 9 \times 10^{9} \ & \quad=23.04 \times 10^{-29} \end{aligned} $

$ \begin{matrix} =\frac{m v^{2}}{r} \ v^{2}=\frac{\wedge R_0^{\delta}}{m r^{1+\delta}} \end{matrix} $

(i) $\quad m v r=n \hbar, r=\frac{n \hbar}{m v}=\frac{n \hbar}{m}[\frac{m}{\wedge R_0^{\delta}}]^{1 / 2} r^{1 / 2+\delta / 2}$

इसे $r$ के लिए हल करके हमें $r_n=[\frac{n^{2} \hbar^{2}}{m \wedge R_0^{\delta}}]^{\frac{1}{1-\delta}}$ प्राप्त होता है।

$n=1$ के लिए और यूके के मानों को स्थानांतरित करके, हमें मिलता है

$ r_1=[\frac{\hbar^{2}}{m \wedge R_0^{\delta}}]^{\frac{1}{1-\delta}} $

$ \begin{aligned} & r_1=[\frac{1.05^{2} \times 10^{-68}}{9.1 \times 10^{-31} \times 2.3 \times 10^{-28} \times 10^{+19}}]^{\frac{1}{2.9}}=8 \times 10^{-11}=0.08 nm \ & (<0.1 nm) \end{aligned} $

(ii) वीएन $=\frac{n \hbar}{m r_n}=n \hbar(\frac{m \wedge R_0^{\delta}}{n^{2} \hbar^{2}})^{\frac{1}{1-\delta}}$. जब $n=1$, तो वीएन $=\frac{\hbar}{m r_1}=1.44 \times 10^{6} m / s$

(iii) किनेटिक ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v_1^{2}=9.43 \times 10^{-19} J=5.9 eV$

(R_0 =- \frac{\wedge}{R_0}

प्रारंभिक ऊर्जा $R_0$ से $r$ तक $=+\wedge R_0^ {\delta} \int_ {R_0}^{r} \frac{d r} {r^{2+\delta}}=+\frac{\wedge R_0^{\delta}}{-1-\delta}[\frac{1}{r^{1+\delta}}] _{R_0}^{r}$

$ =-\frac{\wedge R_0^{\delta}}{1+\delta}[\frac{1}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0^{1+\delta}}] $

$=-\frac{\wedge}{1+\delta}[\frac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0}]$

$\begin{aligned} पी। ई। &=-\frac{\wedge}{1+\delta}[\frac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0}+\frac{1+\delta}{R_0}] \\ &=-(\wedge/1+\delta)[(R_0^{\delta}/r^{1+\delta})-(1/R_0)+(1+\delta)/R_0]
\end{aligned}$

$ \begin{aligned} पी। ई। &=-\frac{\wedge}{0.9}[\frac{R_0^{-1.9}}{r^{-0.9}}-\frac{1.9}{R_0}] \\ &=\frac{2.3}{0.9} \times 10^{-18}[(0.8)^{0.9}-1.9] J=-17.3 eV \end{aligned} $

कुल ऊर्जा $(-17.3+5.9)=-11.4 eV$ है।