अध्याय ४

एक समतल में गति

MCQ I

4.1 $\mathbf{A}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ और $\mathbf{B}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ के बीच का कोण है

(a) $45^{\circ}$

(b) $90^{\circ}$

(c) $-45^{\circ}$

(d) $180^{\circ}$

4.2 निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

(a) एक वैकल्पिक मात्री मान वह है जो प्रक्रिया में संरक्षित होता है।

(b) एक वैकल्पिक मात्री मान वह है जो कभी भी नकारात्मक मान नहीं ले सकता।

(c) एक वैकल्पिक मात्री मान वह है जो स्थानिक प्रेक्षक में एक बिंदु से दूसरे तक बदलता नहीं है।

(d) एक वैकल्पिक मात्री मान का अक्ष में विशेष ओरियंटेशन रखने वाले अवलोकनों के लिए समान मान होता है।

4.3 चित्र 4.1 में दो वेक्टर $\mathbf{u}$ और $\mathbf{v}$ का उपयोग दृश्याविष्ट गतिविधि में किया जाता है।

$$ \begin{aligned} \text { अगर } \mathbf{u} & =a \hat{\mathbf{i}}+b \hat{\mathbf{j}} \text { और } \ \qquad \mathbf{v} & =p \hat{\mathbf{i}}+q \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $$

चित्र 4.1 निम्नलिखित में से कौन सही है?

(a) a और $p$ दोनों सकारात्मक हैं जबकि $b$ और $q$ नकारात्मक हैं।

(b) a, p और b दोनों सकारात्मक हैं जबकि q नकारात्मक है।

(c) a, q और b दोनों सकारात्मक हैं जबकि p नकारात्मक है।

(d) a, b, p और q सभी सकारात्मक हैं।

4.4 एक वेक्टर $\mathbf{r}$ का अंग्रेजी में $X$-अक्ष के समकोण के साथ अधिकतम मान होगा यदि

(a) $\mathbf{r}$ सकारात्मक $Y$-अक्ष के साथ है।

(b) $\mathbf{r}$ सकारात्मक $X$-अक्ष के साथ है।

(c) $\mathbf{r}$ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का एक कोण बनाता है।

(d) $\mathbf{r}$ नकारात्मक $Y$-अक्ष के साथ है।

4.5 $15^{\circ}$ के एक कोण में छोड़े गए एक पराकाष्ठांक का क्षैतिज सीमा $50 \mathrm{~m}$ है। यदि इसे एक ही गति के साथ $45^{\circ}$ के कोण में छोड़ा जाए, तो इसकी सीमा होगी

(a) $60 \mathrm{~m}$

(b) $71 \mathrm{~m}$

(c) $100 \mathrm{~m}$

(d) $141 \mathrm{~m}$

4.6 मापदंड, शक्ति, ऊर्जा, शक्तिप्रहार, गुरुत्वाकर्षीय संभावना, वैद्युतिक आपूर्ति, तापमान, क्षेत्र को विचार करें। इनमें से केवल वैक्टर मात्री मान हैं

(a) शक्तिप्रहार, दबाव और क्षेत्र

(b) शक्तिप्रहार और क्षेत्र

(c) क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षीय संभावना

(d) शक्तिप्रहार और दबाव

4.7 दो आयामी गति में, तत्क्षण गति $v_{0}$ एक सकारात्मक स्थिर है। फिर निम्नलिखित में से कौन-से निश्चित रूप से सत्य हैं?

(a) औसत वेग किसी भी समय पर शून्य नहीं होता है।

(b) औसत त्वरण हमेशा शून्य होता है।

(c) समान समय अंतराल में स्थानांतर होते हैं।

(d) समान यात्रा लंबाई समान अंतराल में यात्रित होती है।

4.8 दो आयामी गति में, तत्क्षण गति $v_{0}$ एक सकारात्मक स्थिर है। फिर निम्नलिखित में से कौन सही हैं?

(a) बहुभुज पदार्थ का त्वरण शून्य होता है।

(b) बहुभुज पदार्थ का त्वरण सीमित होता है।

(c) बहुभुज पदार्थ का त्वरण आवश्यकतानुसार गति में होता है।

(d) पदार्थ एक एकदिमी गति में हो रहा होना चाहिए।

4.9 तीन वेक्टर्स $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ और $\mathbf{C}$ का योग शून्य होता है। नकली (false) कौन सा है।

(a) $(\mathbf{A B}) \times \mathbf{C}$ शून्य नहीं होता है जब तक $\mathbf{B}, \mathbf{C}$ समानरेखीय नहीं होते हैं

(b) (ABB).C शून्य नहीं होता है जब तक $\mathbf{B}, \mathbf{C}$ समानरेखीय नहीं होते हैं

(c) अगर $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ एक समतल को परिभाषित करते हैं, तो $ (\mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{C}$ उस समतल में होता है

(d) $(\mathbf{A B}) . \mathbf{C}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}||\mathbf{C}| \rightarrow \mathrm{C}^{2}=\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}$

4.10 पाया गया है कि $|\mathbf{A}+\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|$। इसका आवश्यक रूप से इतार लेता है।

(a) $\mathbf{B}=\mathbf{0}$

(b) $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ परिमुख हैं

(c) $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ लंबक्षेत्रीय हैं

(d) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \leq 0$

महत्वपूर्ण प्रश्नसूची II

4.11 दो चीजें ऑर स्थापित किया जाता है। प्रायोगिक यौन क्रिया में एक वस्तु की गति का दिशानुसार बने रहने वाले वाक्यांशों में सही वक्तव्य (क) नाम पर करें

(a) प्रक्षेप का कोण: $q_{1}>q_{2}$

(b) उड़ान का समय: $T_{1}>T_{2}$

(c) आयतांकीय क्षेत्र: $R_{1}>R_{2}$

(d) कुल ऊर्जा: $U_{1}>U_{2}$.

4.12 एक कण बिना घर्षण (frictionless) पराभूत $\left(y=x^{2}\right)$ पथ (ए-बी-सी) पर फिसलता है जो की शांति स्थिति से प्रारंभ होती है A बिंदु पर (चित्र 4.2)। बिंदु B पर धनुर्मुखी है और बिंदु C बिंदु A की उँचाई से कम है। C के बाद, कण हवा में मुक्त रूप से एक प्रक्षेपिका के रूप में चलता है। अगर कण प ऊचतम बिंदु प पर पहुँचता है, तो

(a) पर प पर $\mathrm{KE}$ यही है, $\mathrm{KE}$ में $\mathrm{B}$ के ही

(b) प प पर ऊँचाई $=$ ऊँचाई A की

(c) प प पर कुल ऊर्जा $=$ कुल ऊर्जा A की

(d) प से ब तक की यात्रा का समय $=$ B से प तक की यात्रा का समय।

चित्र 4.2

4.13 जनरल में एक यात्री के हरकत, वेग और त्वरण के बारे में चार अलग-अलग सम्बन्ध हैं। गलत वाला कौन-सा है (s) चुनें:

(a) $v_{av}=\frac{1}{2}\left[\mathbf{v}\left(t_{1}\right)+\mathbf{v}\left(t_{2}\right)\right]$

(b) $v_{av}=\frac{\mathbf{r}\left(t_{2}\right)-\mathbf{r}\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}$

(c) $\mathbf{r}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{v}\left(t_{2}\right)-\mathbf{v}\left(t_{1}\right)\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$

(d) $a_{a v}=\frac{\mathbf{v}\left(t_{2}\right)-\mathbf{v}\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}$

4.14 एक नियमित वृत्तीय गति करने वाले एक कण के लिए, निम्नलिखित में से सही कथन (क) चुनें:

(a) कण की गति की अवधि (गति) का मान स्थायी रहता है।

(b) कण की गति बीजगणित्रिकों के रद्द के वृत्तबाहित्रीय रहती है।

(c) त्वरण की दिशा में बदलती रहती है जबकि कण चलता है।

(d) कोणीय संवहनी का माग्नीट्यूड अविच्छिन्न होता है लेकिन दिशा बदलती रहती है।

४.१५ दो वेक्टरों $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के लिए, $|\mathbf{A}+\mathbf{B}|=|\mathbf{A}-\mathbf{B}|$ हमेशा सत्य होता है जब

(a) $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}| \neq 0$

(b) $\mathbf{A} \perp \mathbf{B}$

(c) $|\mathbf{A}|=\mathbf{B} \mid \neq 0$ और $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ समानीय या विरोधी यानि समदिशी होते हैं

(d) जब या तो $|\mathbf{A}|$ या $|\mathbf{B}|$ शून्य होता है।

VSA

४.१६ एक साइकिलिस्ट वनद्वितीय्रेणीय पार्क के केंद्र $O$ से आरंभ करता है, जिसकी त्रिज्या $1 \mathrm{~किमी}$ है और मार्ग OPRQO पर चलता है जैसा कि आइख़ाना 4.3 में दिखाया गया है। यदि वह निरंतर गति $10 \mathrm{~मी/सेकंड}$ बनाए रखता है, तो बिंदु $\mathrm{R}$ पर उसकी त्वरण मात्रा और दिशा क्या है?

आइख़ाना 4.3

४.१७ एक कण को क्रमशः अपर कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, जबकि खड़ी और लंबवत दिशाएँ $x$ और $y$ को दर्शाती हैं, क्रमशः छवि 4.4 में नुकीला किया गया है। बिन्दु A, B और C पर वेग और त्वरण की दिशा छवि में दिखाएं।

आइख़ाना 4.4

४.१८ छत के उपर से एक गेंद $45^{\circ}$ के कोण पर भू-समकोण से नीचे फेंकी जाती है। यह कितने क्षणों बाद भूमि पर गिरती है। अपने अवस्थान के समय के दौरान गेंद का किन बिंदु में सबसे

(a) अधिक वेग होता है।

(b) कम वेग होता है।

(c) अधिक त्वरण होती है?

स्पष्ट करें

४.१९ फुटबॉल को ऊपर की ओर लांघाया जाता है। इसकी

(a) त्वरण, और (b) ऊच्चतम बिंदु पर वेग क्या होता है?

४.२० A, B और $\mathbf{C}$ तीन गैर-संलग्न, गैर-समतल वेक्टर हैं। आप $\mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ की दिशा के बारे में क्या कह सकते हैं?

SA

४.२१ एक लड़का स्तरीकृत सड़क पर चल रही एक खुली कार में यात्रा कर रहा है जो स्थिर गति के साथ ऊपर एक गेंद हवा में धक्के मारता है और उसे वापस पकड़ता है। यात्री मार्ग पर खड़े एक गाड़ी में पड़े लड़के द्वारा देखे गए गेंद के गति को छवि में आयोजित करें। अपनी आयोगना की समर्थन के लिए व्याख्या दें।

४.२२ एक लड़का एक रास्ते पर चलकर वाहनों की दिशा में से $60^{\circ}$ के कोण पर गेंद को नीचे उछालता है, जबकि एक कार में आस-पास से गुज़रते समय में बैठे हुए दूसरे लड़के द्वारा देखे गए गेंद की गति की छवि में दिखाएं, यदि गाड़ी की गति $(18 \mathrm{~किमी/घंटा})$ है। अपनी आयोगना की समर्थन के लिए व्याख्या दें।

४.२३ हवा में प्रक्षेपित विहार की गति के साथ मंदी के प्रभाव को हम अनदेखा करते हैं। इससे अथार्यावरण को एक पराबोली यात्रा मिलती है, जैसा कि आपने पढ़ा है। यदि हवा प्रतिरोध के प्रभाव को शामिल किया जाए, तो यात्रा की रेखा कैसी दिखेगी? ऐसी एक स्पष्ट आयोगना बनाएं और व्याख्या करें कि आपने उसे उसी तरह बनाया क्यों है।

४.२४ एक लड़ाकू जहाज $1.5 \mathrm{~किमी}$ की ऊचाई पर $720 \mathrm{~किमी/घंटा}$ की गति से समतल में उड़ रहा है। जब लक्ष्य दिखाई देता है, तो इसे मारने के लिए पायलट को किस संकेत को (समतल के संग तुलना में) छोड़ना चाहिए?

अंश: 4.25 (a) पृथ्वी को $6400 \mathrm{~km}$ के त्रिज्या के गोलकार के रूप में सोचा जा सकता है। किसी वस्तु (या व्यक्ति) को पृथ्वी की प्रचालन (अवधि 1 दिन) के कारण पृथ्वी के ध्रुव के चारोंओर वृत्ती में कार्यानुयायी गति कर रही है। पृथ्वी की सतह (भूमध्यरेखा पर) पर वस्तु का तत्कालिक गतिशीलता क्या है? खेतार द्वारा $\theta$ में यह क्या होता है? इन गतिशीलताओं को $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ के साथ कैसे तुलना की जा सकती है?

(b) प्रथ्वी एक वृत्तीय ओरबिट में उध्घटमहीन सूर्य के सामरेख पर्याय में हर साल एक बार चक्रवाती है। अक्षोंतर त्रिज्या के साथ पृथ्वी (या किसी अन्य वस्तु) की ध्रुव के चारोंओर में दिखाई दे रही किसी भी वस्तु की गतिशीलता क्या होती है? इस गतिशीलता को $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ के साथ कैसे तुलना की जा सकती है?

$\left(\right.$ संकेत : गतिशीलता $\left.\frac{V^{2}}{R}=\frac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}\right)$

4.26 वेक्टर $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ के बीच संबंध निम्नलिखित में स्तंभ I में दिए गए हैं और स्तंभ II में $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ के माध्यम सोस्थानविषयक निर्देशांक दिए गए हैं। स्तंभ I में संबंध को सही ओरिएंटेशन के साथ मिलाएँ स्तंभ II में।

स्तंभ I	स्तंभ II
(a) $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}$	(i)
(b) $\mathbf{a}-\mathbf{c}=\mathbf{b}$	(ii)
(c) $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{c}$	(iii)
(d) $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$	(iv)

4.27 यदि $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$ है, तो स्तंभ I में संबंध को सही ओरिएंटेशन के साथ स्तंभ II में $\theta$ के बीच खोजें।

4.28 यदि $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$ है, तो स्तंभ I में संबंध को सही ओरिएंटेशन के साथ स्तंभ II में $\theta$ के बीच खोजें।

एलए

4.29 एक पहाड़ी की ऊँचाई $500 \mathrm{~मीटर}$ है। आपूर्ति पहाड़ी पार करने के लिए एक कैनन का उपयोग करके की जानी है, जो पहाड़ी पर $125 \mathrm{~मीटर/ \mathrm {सेकंड}}$ की गति से उड़ान भेज सकता है। कैनन पहाड़ी के पांव से दूरी $800 \mathrm{~मीटर}$ पर स्थित है और इसे $2 \mathrm{~मीटर/ \mathrm{सेकंड}}$ की गति से भूमि पर चलाया जा सकता है, ताकि इसकी दूरी पहाड़ी से समायोजित की जा सके। पहाड़ी के पार एक पैकेट पहुंचने में सबसे कम समय क्या है? $g=10 \mathrm{~मीटर/ \mathrm{सेकंड}^2}$ लें।

4.30 एक बंदूक में ज्यादा से ज्यादा गति $v_{o}$ के साथ गोलों को फेंक सकती है और जो कि प्राप्त की जा सकती है उसकी अधिकतम आयती दूरी $R=\frac{v_{o}{ }^{2}}{g}$ होती है।

चित्र 4.5

यदि एक दूर का लक्ष्य $\Delta x$ (R से परे) को वही बंदूकम लगायी जानी है (चित्र 4.5), तो दिखाएं कि इसे कम से कम ऊँचाई पर बंदूक को उठाकर प्राप्त किया जा सकता है

$h=\Delta x\left[1+\frac{\Delta x}{R}\right]$

(संकेत: इस समस्या को दो अलग तरीकों से नज़रअंदाज किया जा सकता है:

(i) चित्र से संदर्भ लें: लक्ष्य $T$ आभूषण दूरी $x=R+\Delta x$ पर है और प्रोजेक्शन का बिंदु $y=-h$ के नीचे है।

(ii) चित्र में बिंदु P से: ऊँचाई $h$ के साथ गोलों को ऊर्ध्वाकार प्राकृतिक ऊर्ध्वगति $\theta$ द्वारा समान गन्तव्यकीय दूरी $\Delta x$ पर प्रोजेक्शन की जा सकती है।)

4.31 एक कण एक सतह पर प्रक्षेपित होता है, जिसमें वह स्वयं $\alpha$ लिंबनतम को क्षेत्रीय दिशा में प्रक्षेपित होता है (चित्र 4.6)।

(a) समतलीय पृष्ठ पर दूरी का व्यक्तिगत अभिव्यक्ति खोजें (प्रक्षेपण के बिंदु से जिस पर कण सतह को मारेगा)।

(b) उड़ान का समय।

(c) इस ऊँचाई पर कणर्‍थ सबसे अधिक होगी।

चित्र 4.6

(संकेत: इस समस्या को दो अलग तरीकों से हल किया जा सकता है:

(i) चित्र के बिंदु P को जिसके संमिश्रण (क्रिंत्रक) (अपवादनली) और सीधी रेखा (सीधी रेखा) के इंटरसेक्शन के रूप में देखा जा सकता है। ध्यान दें कि कण को $(\alpha+\beta)$ के ताल में आलीद किया जाता है।

(ii) हम प्लेन के लिए एक दिशा $x$- लेते हैं और उसके अलग आयम $y$- लेते हैं। इस मामले में $\boldsymbol{g}$ (गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण) को दो अलग-अलग घटकों में विभाजित करें, $g_x$ लचीलाई स्थल के अलग देश में और $g_y$ स्थल के अलग देश के शाखाओं में। अब समस्या को $x$ और $y$ दोनों दिशाओं में स्वतंत्र आंदोलन के रूप में हल किया जा सकता है जहां समय एक सामान्यम पैरामीटर के रूप में होगा।)

4.32 एक ऊँचाई से धारितार धरती की सतह पर, जो कि $θ$ के साथ तार कोण (चित्र 4.7 में) से अन्युंगत हो होती है, तेजी $v_{o}$ के साथ गिरता है और पुनर्विकरणकारी वन्न होती है। जहां यह दूसरी बार में लगेगा, प्लान पर दूरी का पता करें।

4.33 एक लड़की एक साइकिल पर उत्तर दिशा में $5 \mathrm{~मी} / \mathrm{सेकंड}$ की गति से चल रही होती है, वह देखती है कि बारिश ऊँचाई से सीधे नीचे गिर रही है। अगर वह अपनी गति को $10 \mathrm{~मी} / \mathrm{सेकंड}$ तक बढ़ाती है, तो बारिश उत्तर दिशा से $45^{\circ}$ के साथ मिलती है। बारिश की गति क्या होगी? एक भूमि पर आधारित दर्शक द्वारा देखने पर बारिश किस दिशा में गिरती है?

4.34 एक नदी पूर्व की वायुमें खास गति $3 \mathrm{~मी} / \mathrm{सेकंड}$ से बह रही है। एक तैराक शांत पानी में $4 \mathrm{~मी} / \mathrm{सेकंड}$ की गति से तैर सकता है।

(a) अगर तैराक उत्तर दिशा में तैरना शुरू करता है, तो उसकी अंतिम वेग (मात्रा और दिशा) क्या होगी?

(b) अगर वह दक्षिण तट पर स्थित बिंदु $A$ से और उत्तर तट पर स्थित बिंदु $B$ को पहुँचना चाहता है,

(a) वह किस दिशा में तैरना चाहिए?

(b) उसकी प्रभावी गति क्या होगी?

(c) प्रदिशूनों (a) और (b) में से दो भिन्न मामलों में, किस मामले में वह उत्तरी तट पर छोटे समय में पहुँचेगा?

4.35 एक क्रिकेट फ़ील्डर प्रक्षेपण बॉल को संचालित कर सकता है $v_{0}$ की गति से। अगर वह एक दर्शक द्वारा देखे जाने वाले एक स्पष्ट संकेत माध्यम से भाग भ्रमण जाता है।

(a) उस व्यक्ति द्वारा जहां बाल परियोजित होता है, उसे किस शेष कोणता क्षेत्रता में प्रक्षेपित हुए स्पष्ट शेष कोण का प्रकारण परियोजित होता है।

(b) यात्रा का समय क्या होगा?

(c) निकाशनी से दूरी (क्षैतिज दूरी) क्या होगी?

(d) उसे किस कोणा परियोजित करना चाहिए जो (iii) में प्राप्त होगा?

(e) यदि $u>v_{0}, u=v_{0}, u<v_{0}$ हो तो सर्वाधिक एवंतिका के लिए $\theta$ कैसे बदलता है?

(f) (v) में $\theta$ का $u=0$ के समान है (अर्थात $45^{\circ}$ ) के साथ कैसा होता है?

4.36 दो आयामों में गति, एक समतल में अभ्यास की जा सकती है, जो कार्तीशियाई सहायता को वेक्टर के रूप में स्थान, वेग और त्वरण को व्यक्त करने के रूप में व्यक्त करता है $\mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}$ जहां $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ $x$ और $y$ दिशाओं के लिए इकाई वेक्टर होते हैं साथ ही $A_{x}$ और $A_{y}$ आदर्शों के संबंधित घटक हैं $\mathbf{A}$ (चित्र 4.9)। गति को वेगानुक्रम में व्यक्त करने के साथ संगत प्राथमिक अथर्वीय संबंध में भी अध्ययन किया जा सकता है $\mathbf{A}=A_{r} \hat{\mathbf{r}}+A_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}$ जहां $\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}}$ और $\hat{\theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \hat{\mathbf{j}}$ पक्षयुक्त वेगानुक्रम में दिशाएँ हैं जिसमें ’ $r$ ’ और ’ $\theta$ ’ सामर्ध्यक हो रहे हैं।

(ए) एक लड़का $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ को $\hat{\mathbf{r}}$ और $\hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करेगा।

(ब) दिखाएं कि दोनों $\hat{\mathbf{r}}$ और $\hat{\theta}$ इकाई वेक्टर हैं और एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं।

(क) दिखाएं कि $\frac{d}{d t}(\hat{\mathbf{r}})=\omega \hat{\theta}$ जहां $\omega=\frac{d \theta}{d t}$ है और $\frac{d}{d t}(\hat{\theta})=-\omega \hat{\mathbf{r}}$।

(डी) $\mathbf{r}=a \theta \hat{\mathbf{r}}$ द्वारा घुमते हुए एक धुनाई खींचने वाले कण के लिए, जहां $\mathrm{a}=1$ (इकाई), ’ $a$ ’ का आयाम ढूंढें।

(ई) धुनाई में आगे बढ़ रहे कण के लिए, घुमाव और त्वरण का आयाम ढूंढें, जो (डी) में वर्णित धुनाई द्वारा घुमते हुए ठोस का आयाम है।

4.37 एक आदमी को $C$ वर्ग के विपरीत कोने तक पहुंचना चाहिए (चित्र 4.10)। वर्गों की पकड़ें $100 \mathrm{~m}$ होती है। $50 \mathrm{~m} \times 50 \mathrm{~m}$ का एक केंद्रीय वर्ग रेत से भरा होता है। इस केंद्रीय वर्ग के बाहर, वह एक गति से चल सकता है $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$। केंद्रीय वर्ग में, वह केवल एक गति से चल सकता है $v \mathrm{~m} / \mathrm{s} (v<1)$। सबसे छोटा मूल्य $v$ क्या है, जिसके लिए वह खादी के माध्यम से एक सीधी पथ के माध्यम से जहां-तक कि खादी के माध्यम से किसी भी पथ से तेज यात्रा कर सकता है?

(ए)के पलगभंजी में।

(ब)पहाड़ को उपरिवत्त किया हुआ नमूनां साथ है।

(सी)तेजी से उछालने जैसा गति अनुरूप।

(घ) ‘क’ में उछाल गई पद।

(य) वहां स्थानिक गति

(0) व्यास के समान।

(१७) छाती।

(१८) के अभिवादन को बांटने के लिए बातचीत करेंगे और उत्तर खोजेंगे।

(१९) गति $-g$। क्षमता – शून्य।

(२०) क्योंकि $\mathbf{B} \times \mathbf{C}$ पंजीकृत के सभी वेक्टर की $\mathbf{B}$ और $\mathbf{C}$ तस्वीर के इच्छाधारी तस्वीर का में उतरता है।

(२१)

किसी भूमि-आधारित दर्शक के लिए, गेंद एक प्रोजेक्टाइल है जिसकी गति $v_{0}$ और दर्शनीय कोण $\theta$ हॉरिजॉन्टल में होती है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

4.22

(a)

(b)

वाहन की गति प्रक्षेपित जड़न की गति के साथ मेल खाती है, इसलिए वाहन में बैठे लड़के को केवल ऊँचाई लक्षण का ही पता चलेगा, जैसा कि छवि (b) में दिखाया गया है।

4.23 हवा प्रतिरोध के कारण, कण की ऊर्जा के साथ-साथ यातायात का क्षैतिज अंश भी घटता रहता है, जिससे गिरावट उठाने से तेज़ हो जाती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

4.24 $R=v_{o} \sqrt{\frac{2 H}{g}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{H}{R}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{v_{o}} \sqrt{\frac{g H}{2}}\right)=23^{\circ} 12^{\prime}$

4.25 त्वरण $\frac{v^{2}}{R}=\frac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}$

4.26 (a) का मेल (iv) के साथ हुआ।

(b) का मेल (iii) के साथ हुआ।

(c) का मेल (i) के साथ हुआ।

(d) का मेल (ii) के साथ हुआ।

4.27 (a) का मेल (ii) के साथ हुआ।

(b) का मेल (i) के साथ हुआ।

(c) का मेल (iv) के साथ हुआ।

(d) का मेल (iii) के साथ हुआ।

4.28 (a) का मेल (iv) के साथ हुआ।

(b) का मेल (iii) के साथ हुआ।

(c) का मेल (i) के साथ हुआ।

(d) का मेल (ii) के साथ हुआ।

4.29 पहाड़ को पार करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्ध्वाधर वेग को दिया जाता है

$v_{\perp}^{2} \geq 2 g h=10,000$

$v_{\perp}>100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

क्योंकि तोप गाड़ी $125 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की गति से पैसेट ढ़ेर कर सकती है, इसलिए

क्षैतिज वेग की अधिकतम मान्यता, $v$ होगी

$v=\sqrt{125^{2}-100^{2}}=75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$v_{\perp}$ वेग के साथ पहाड़ के शीर्ष तक पहुँचने वाला समय $\frac{1}{2} g T^{2}=h \Rightarrow T=10 \mathrm{~s}$

10 सेकंड में कवर किए गए क्षैतिज दूरी $=750 \mathrm{~m}$

तोप को भूमि पर $50 \mathrm{~m}$ की दूरी चलानी होगी

इसलिए पहाड़ के बीच गिरावट तक पहुँचने के लिए कुल समय (सबसे कम) $=\frac{50}{2} \mathrm{~s}+10 \mathrm{~s}+10 \mathrm{~s}=45 \mathrm{~s}$

4.31 (a) $L=\frac{2 v_{0}^{2} \sin \beta \cos (\alpha+\beta)}{g \cos ^{2} \alpha}$

(b) $T=\frac{2 v_{0} \sin \beta}{g \cos \alpha}$

(c) $\beta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$

4.32 $\frac{A v_{0}^{2}}{g} \sin \theta$

4.33 $\mathbf{V}_{r}=5 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}$

4.34 (a) उत्तर: $37^{\circ}$ उत्तरी दिशा में $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(b) (i) उत्तर: $\mathrm{N}$ की ओर $\tan ^{-1}(3 / \sqrt{7})$, (ii) उत्तर: $\sqrt{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(c) मामला (i) में उसे सबसे कम समय में प्रतिपक्ष बैंक तक पहुँचने होगा।

4.35 (a) उत्तर: $\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0} \sin \theta}{v_{0} \cos \theta+u}\right)$

(b) उत्तर: $\frac{2 v_{0} \sin \theta}{g}$

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: (सी) $R=\frac{2 v_{\mathrm{o}} \sin \theta\left(v_{\mathrm{o}} \cos \theta+\mathrm{u}\right)}{\mathrm{g}}$

(डी) $\theta_{\max }=\cos ^{-1}\left[\frac{-u+\sqrt{u^{2}+8 v_{o}^{2}}}{4 v_{o}}\right]$

(ई) $\theta_{\max }=60^{\circ}$ for $u=v_{o}$.

$$ \theta_{\max }=45^{\circ} \text { for } u=0 . $$

$u<v_{o}$

$$ \begin{aligned} & \therefore \theta_{\max } \approx \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{u}{4 v_{o}}\right)=\pi / 4 \left(\begin{array}{ll} \text { if } u & v_{o} \end{array}\right) \\ & u>v_{o} \quad \theta_{\max } \approx \cos ^{-1}\left[\frac{v_{o}}{u}\right]=\pi / 2 \quad\left(\begin{array}{ll} v_{o} & u \end{array}\right) \end{aligned} $$

(एफ) $\theta_{\max }>45^{\circ}$.

4.36 $\mathbf{V}=\omega \hat{\mathbf{r}}+\omega \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}$ and $\mathbf{a}=\left(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\omega^{2} \theta\right) \hat{\mathbf{r}}+\left(\theta \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+2 \omega^{2}\right) \hat{\boldsymbol{\theta}}$

4.37 रेत में सीधी रेखा पथ APQC को विचार करें।

$A$ से $C$ तक इस पथ के माध्यम से जाने में लगने वाला समय

$T_{\text {sand }}=\frac{\mathrm{AP}+\mathrm{QC}}{1}+\frac{\mathrm{PQ}}{v}$

$=\frac{25 \sqrt{2}+25 \sqrt{2}}{1}+\frac{50 \sqrt{2}}{v}$

$=50 \sqrt{2}\left[\frac{1}{v}+1\right]$

रेत के बाहर सबसे छोटा पथ ARC होगा।

$A$ से $C$ तक इस पथ के माध्यम से जाने में लगने वाला समय

$$ \begin{aligned} & =T_{\text {outside }}=\frac{\mathrm{AR}+\mathrm{RC}}{1} \mathrm{~s} \ & =2 \sqrt{75^{2}+25^{2}} \mathrm{~s} \ & =2 \times 25 \sqrt{10} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$T_{\text {sand }}<\mathrm{T}_{\text {outside }}, 50 \sqrt{2}\left[\frac{1}{v}+1\right]<2 \times 25 \sqrt{10}$

$\Rightarrow \frac{1}{v}+1<\sqrt{5}$

$\Rightarrow \frac{1}{v}<\sqrt{5}-1$ या $v>\frac{1}{\sqrt{5}-1} \approx 0.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$।