अध्याय 14

घुमाव

MCQ I

14.1 एक कण का स्थान निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है

$y=3 \cos \left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)$।

कण का गति है

(a) सामान्य सामरिक जिसकी अवधि $2 \mathrm{p} / \mathrm{w}$ है।

(b) सामान्य सामरिक जिसकी अवधि $\pi / \omega$ है।

(c) आवृत्तिगत लेकिन सामान्य सामरिक नहीं होती।

(d) अनियमित।

14.2 एक कण का स्थान निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है $y=\sin ^{3} \omega t$। गति है

(a) अनियमित।

(b) आवृत्तिगत लेकिन सामान्य सामरिक नहीं होती।

(c) सामान्य सामरिक जिसकी अवधि $2 \pi / \omega$ है।

(d) सामान्य सामरिक जिसकी अवधि $\pi / \omega$ है।

14.3 चार कणों के बीच त्वरण और स्थिति के बीच सम्बंध निम्नलिखित हैं:

(a) $a_{x}=+2 x$।

(b) $a_{x}=+2 x^{2}$।

(c) $a_{x}=-2 x^{2}$।

(d) $a_{x}=-2 x$।

इनमें से कौन सा कण साधारित संक्रमित गति कर रहा है?

14.4 U-ट्यूब में एक झूलती तरंगमिनद तरल स्तम्भ की गति है

(a) आवृत्तिगत लेकिन सामान्य सामरिक नहीं होती।

(b) अवाधिक।

(c) सामान्य सामरिक है और समय अवधि तरल पदार्थ की घनत्व पर निर्भर नहीं होती।

(d) सरल-सामान्य है और समय अवधि तरल पदार्थ की घनत्व के साथ सीधे अनुपातिक है।

14.5 एक कण को संयुक्त रूप से लगभग लंबवत सरल संरेखित गति $x=a \cos \omega t$ और $y=a \sin \omega t$ प्रभावित करते हैं। कण की द्रोणी गति होगी

(a) एक अंडाकार।

(b) एक पराबोला।

(c) एक वृत्त।

(d) एक सीधी रेखा।

14.6 किसी कण का स्थान समय के अनुसार रिश्ता $y=a \sin \omega t+b \cos \omega t$ के अनुसार बदलता है।

(a) यह एक रणनीतिपूर्ण परंपरागत है लेकिन नहीं है।

(b) यह एक रणनीतिपूर्ण परंपरागत है जिसकी अम्लता $a+b$ है।

(c) यह एक रणनीतिपूर्ण परंपरागत है जिसकी अम्लता $a^{2}+b^{2}$ है।

(d) यह एक रणनीतिपूर्ण परंपरागत है जिसकी अम्लता $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ है।

14.7 चार टालियों A, B, C और D को एक ही कांपीलता समर्थन से लटकाया गया है, जैसा कि चित्र 14.1 में दिखाया गया है। A और $\mathrm{C}$ की लंबाई एक समान है, जबकि B A से छोटा है और D A से बड़ा है। यदि A को एक अनुकंपीय स्थान दिया जाता है,

चित्र 14.1

(a) D उच्चतम अवतरण के साथ कम्पित होगा।

(b) $\mathrm{C}$ उच्चतम अवतरण के साथ कम्पित होगा।

(c) B उच्चतम अवतरण के साथ कम्पित होगा।

(d) चारों में सभी समान अवतरण के साथ कम्पित होंगे।

14.8 चित्र 14.2 कोष्ठांग की आंदोलन गति दिखाता है। वृत्त के त्रिज्या परिज्ञान अवधि, संकेतद्वय और प्रारंभिक स्थान चित्र पर इंगित किए गए हैं। घूर्ण करते हुए कण के $x$-प्रक्षेप का साधारित सामरिक गति है $\mathrm{P}$ का संकेत

(a) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin \left(\frac{2 \pi t}{30}\right)$।

(b) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \cos \left(\frac{\pi t}{15}\right)$।

(c) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin \left(\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2}\right)$।

(d) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \cos \left(\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2}\right)$।

कृपया इनपुट सामग्री का हिंदी संस्करण दें:

चित्र 14.2

14.9 एक कण की गतिकी की समीकरण है $x = a \cos (\alpha t)^{2}$.

गति है

(a) आवृत्तिगत, लेकिन अवतल्लीन नहीं।

(b) आवृत्तिगत और अवतल्लीन।

(c) अवतल्लीन, लेकिन आवृत्तिगत नहीं।

(d) न तो आवृत्तिगत और न ही अवतल्लीन।

14.10 एक कण जो S.H.M. को कर रही है, उसकी अधिकतम वेग $30 \mathrm{~cm}/ \mathrm{s}$ और अधिकतम त्वरण $60 \mathrm{~cm}/ \mathrm{s}^{2}$ है। हलयावरण की आवृत्ति है

(a) $\pi \mathrm{s}$।

(b) $\frac{\pi}{2} \mathrm{~s}$।

(c) $2 \pi \mathrm{s}$।

(d) $\frac{\pi}{t} \mathrm{~s}$।

14.11 जब एक द्रव्यमान $m$ को दो धुरों $S_{1}$ और $S_{2}$ से संपर्कित किया जाता है, तो विवर्तन आवृत्ति $v_{1}$ और $v_{2}$ होती है। यदि वही द्रव्यमान चित्र 14.3 में दिखाए गए रूप में दो धुरों से संपर्कित किया जाता है, तो विवर्तन आवृत्ति होगी।

चित्र 14.3

(a) $v_{1}+v_{2}$।

(b) $\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$।

(c) $\left(\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}\right)^{-1}$।

(d) $\sqrt{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}$।

MCQ II

14.12 पृथ्वी का अपने धुरी के चारों ओर घूमना है

(a) आवृत्तिगत गति।

(b) सरल हारमोनिक गति।

(c) आवृत्तिगत, लेकिन सरल हारमोनिक गति नहीं।

(d) गैर-आवृत्तिगत गति।

14.13 स्मूदरुपिय कर्ववट में एक बॉल बियरिंग की गति, जब निम्नतम बिंदु से ऊपर से छोड़ी जाती है, है

(a) सरल हारमोनिक गति।

(b) गैर-आवृत्तिगत गति।

(c) आवृत्तिगत गति।

(d) आवृत्तिगत, लेकिन सरल हारमोनिक गति नहीं।

14.14 एक कण जो S.H.M. को कर रही है के लिए प्रस्थान बनाम समय वक्र चित्र 14.4 में दिखाया गया है। सही कथन चुनें।

चित्र 14.4

(a) कस्तकार की दशा $t=0 \mathrm{~s}$ और $t=2 \mathrm{~s}$ पर समान होती है।

(b) कस्तकार की दशा $t=2 \mathrm{~s}$ और $t=6 \mathrm{~s}$ पर समान होती है।

(c) कस्तकार की दशा $t=1 \mathrm{~s}$ और $t=7 \mathrm{~s}$ पर समान होती है।

(d) कस्तकार की दशा $t=1 \mathrm{~s}$ और $t=5 \mathrm{~s}$ पर समान होती है।

14.15 निम्नलिखित में से कौन सा कथन सरल हारमोनिक यांत्रिकी के लिए सही है?

(a) प्रभाव क्रिया तत्कालीन स्थान से विस्थान के साथ सीधे आपात के प्रतिनिधित्व करता है। (b) गति आवृत्तिगत है।

(c) यांत्रिकी का त्वरण स्थिर होता है।

(d) वेग आवृत्तिगत होता है।

14.16 सरल हारमोनिक गति कारक की गति का समय चित्र 14.5 में दिखाया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

(a) बल $t=\frac{3 T}{4}$ पर शून्य होता है।

(b) त्वरण $t=\frac{4 T}{4}$ पर अधिकतम होता है।

(c) वेग $t=\frac{T}{4}$ पर अधिकतम होता है।

(d) पोटेंशियल ऊँचाई विस्थान $\left(\frac{T}{2}\right)$ पे यांत्रिकी की किनेटिक ऊँचाई के बराबर होती है।

यहाँ हैं आपकी अनुवादित सामग्री:

चित्र 14.5

14.17 एक बॉडी एस.एच.एम. का कार्य कर रही है। तो उसके लिए,

(a) प्रति चक्र औसत कुल ऊर्जा उसकी अधिकतम किनेटिक ऊर्जा के बराबर होती है।

(b) प्रति चक्र औसत किनेटिक ऊर्जा उसकी अधिकतम किनेटिक ऊर्जा के आधे होती है।

(c) पूरे चक्र में औसत वेग उसकी अधिकतम वेग के $\frac{2}{\pi}$ गुणा होता है।

(d) वर्गमूल के नीचे वेग $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुणा होता है।

14.18 एक कण सीधी सादे हारमोनिक गति में दो बिंदुओं A और B के बीच हैं (चित्र 14.6)। A से B की ओर दिशा को $+v e$ दिशा मानें और सही कथन चुनें।

चित्र 14.6

(a) कण पर जब वह $A$ से $B$ की ओर $3 \mathrm{~cm}$ दूर होकर जाता है, तो उसकी वेग, त्वरण और बल का चिह्न सकारात्मक होता है।

(b) कण की वेग सी प्रवृत्ति पर जब $\mathrm{C}$ से $\mathrm{O}$ की ओर जाती है, तो उसका चिह्न नकारात्मक होता है।

(c) कण पर जब वह $B$ से $A$ की ओर $4 \mathrm{~cm}$ दूर होकर जाता है, तो उसकी वेग, त्वरण और बल का चिह्न नकारात्मक होता है।

(d) जब कण बिंदु $\mathrm{B}$ पर होता है, तो उसकी त्वरण और बल का चिह्न नकारात्मक होता है।

VSA

14.19 एक कण एस.एच.एम. को करते हुए विस्तार बनाम समय कर्व चित्र 14.7 में दिखाया गया है। इसमें निम्नलिखित बिंदुओं को पहचानें जिन पर (i) ओसिलेटर का वेग शून्य होता है, (ii) ओसिलेटर की गति अधिकतम होती है।

चित्र 14.7

14.20 $K$ के एक ही झूले के स्प्रिंग निर्धारित $m$ मास के एक ब्लॉक से जुड़े हुए हैं और ठीक केंद्रस्थिति से $x$ दूसरी ओर, दायां मार्ग की ओर विस्थापित करने पर, पुनर्स्थापन बल बताएं।

चित्र 14.8

14.21 सादे हारमोनिक गति की दो मूल विशेषताएं क्या हैं?

14.22 एक सरल पेंडुलम की गति कब सरल हारमोनिक होगी?

14.23 सरल हारमोनिक ओसिलेटर के अधिकतम त्वरण के मुकाबले अधिकतम वेग का समानांतर है क्या?

14.24 एक समय अवधि में ओसिलेटर द्वारा यात्रा की गई दूरी और एम्प्लीट्यूड के बीच अनुपात क्या है?

14.25 चित्र 14.9 में, संदर्भित कण P की गति के प्रक्षेपण P^{\prime} point की वेग का चिह्न क्या होगा। यह P दाहिनी दिशा में एक $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमता है।

चित्र 14.9

14.26 दिखाएं कि एक एस.एच.एम. की गति को करने वाले एक कण के बीच वेग और स्थान में $\pi / 2$ का द्विघात रहता है।

14.27 एक सरल हारमोनिक विवेकी के साथ स्थानांतरण के साथ प्रत्येक परिवर्तन को दिखाने के लिए एक ग्राफ बनाएं, P.E., K.E. और कुल ऊर्जा।

14.28 पृथ्वी की सतह पर एक सेकंड का पेंडुलम की लंबाई $1 \mathrm{~एम}$ है। चांद पर एक सेकंड का पेंडुलम की लंबाई क्या होगी?

संक्षेप

14.29 संदिग्धता $14.10$ में दिखाए गए प्रणाली के लिए मास $M$ का समय अवधि ढूंढें जब वह अपने स्थिरता स्थान से सरका हुआ हो और फिर छोड़ दिया जाए।

14.30 ऐसा नक्शा द्वारा प्रतिष्ठित किए गए एक चक्रवाती कण की गति दिखाएँ $y=\sin \omega t-\cos \omega t$ से प्रत्येक शांत उच्चारण के साथ जो घटन का आवधानिकसमय है $2 \pi / \omega$। चित्र. 14.10

14.31 एक सरल हारमोनिक विचलक की स्थिति ढूंढें जिसमें इसकी P.E. का आधा होता है ऊर्जा का अधिकतम।

14.32 एक मानक $U(x)=U_{0}(1-\cos \alpha x)$ जब $U_{0}$ और $\alpha$ स्थिर होते हैं, तो एक कर्म की समय अवधि ढूंढें।

14.33 मान $50 \mathrm{Nm}^{-1}$ के स्प्रिंग के साथ $2 \mathrm{~कि.ग्रा}$ का गैंडा एक सपत्ति पर चालू महिन्द्र, शांत यत्रतया खासतौर पर $x=0$ पर संतुली स्थिति से एक दूरी पर $5 \mathrm{~सें.मि.}$ पर्यंत टांसन शून्य सतह पर खींचा जाता है। इसके किसी भी समय $t$ पर इसकी स्थिति के लिए अभिकलन लिखें।

14.34 एक समान ऊँचाई के जींदघी की जोड़ी को विचलित किया जाता है, जो आपस में समानता के साथ सरकते हैं, ऐसा आपात स्थिति पर होता है जब एक जीमींद्र उत्कृष्ट स्थिति परत है जो ऊंचाईशीर्ष से $2^{\circ}$ के रूप में ऊपर की ओर किया जाता है $2^{\circ}$ का अंतर करके, के स्थिरता के लिए। पेंडुलम में चरण अंतर क्या होगा?

LA

14.35 एक आम वजन $50 \mathrm{~कि.ग्रा}$ के व्यक्ति एक विषम वजन में खड़ा होता है जो एकत्रित तरंग में सांतत्य पूर्वक $2.0 \mathrm{~सेकंड}^{-1}$ और एक एक संकेत में $5.0 \mathrm{~सें.मि.}$। एक तुलना मशीन पाठकों को समय के खिलाफ देती है।

(a) क्या यात्रा के दौरान शरीर का कोई बदलाव होगा?

(b) यदि चरण (a) का उत्तर हां है, तो यह मशीन में अधिकतम और न्यूनतम पठनीय क्या होगी और किस स्थिति में?

14.36 एक इंट्रेटीयों से उपयोग की गई एक तमाम वज्र $m$ कर्म में पकड़ा होता है जो कर्तृभूमि से चढ़ाई हुई है न ही खींची गई है। अचानक हाथ की समर्थन हटा दी जाती है। ऊंचाई नीचे की वृद्धि, जो यह किया गया है हाथ में बंधेगा $4 \mathrm{~सें.मि.}$ है।

(a) ऊँचाई क्या होगी?

(b) ऊँचाई के लिए आवृत्ति क्या होगी?

14.37 एक ऊंचा लॉगके areariएA$ ka पानी में तैरता हुआ और मुद्रित किए गए ख़ींच की. दिखाएँ कि की के साथ S.H.M. होगा। एक समय अवधि।

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}} $$

यहाँ $m$ शरीर की है और $\rho$ प्रवाहिका की है।

14.38 वी-ट्यूब का एक अंस जिसमें ऊष्णाशय का मरकरी होता है, सक्शन पंप से जुड़ा होता है और दूसरा अंस वायुमंडल से जुड़ा होता है। ट्यूब की दोनों बांहें आपस में केवलाधिमात्र में होरिज़ोन्टल तक झुकी होती हैं जिसका प्रत्येक कोण $45^{\circ}$ होता है। सक्शन पंप हटा लेने पर दो स्तम्भों के बीच में एक छोटा दबाव अंतर निर्मित होता है। क्या वी-ट्यूब में मर्कुरी का स्तम्भ सरल हर्षील गति का अभिव्यक्ति करेगा? क्षीण केशीय और द्वीय बलों को नज़रअंदाज़ करें। पलटन काल ढूंढें।

14.39 एक गुफा में पृथ्वी के केंद्र के माध्यम से एक टनल खोदी जाती है। दिखाएं कि जब भीचन से शान्ति से एक शरीर ज्ञात कीट की उच्चता से एक शरीर झुक कर पट्टी उठाई जाती है, उसे सरल हर्षील गति का अभिव्यक्ति करेगा।

14.40 एक सरल पेंडुल की संक्रियाकाल $1$ सेकंड और लम्बाई $l$ है, जो एक निश्चित समर्थन पर टंकीया है, जिसकी उच्चता $A$ से ठीक ऊपर B पृथ्वी पर है (चित्र 14.11)। गुनजता को दोगना हो जाता है। सिमगत क्रिया का समय बटोरें। सहितनी के नजदीक $\theta=\theta_{0} / 2.$ ब्रमहण करने में उठाने की समय कैसे लिए। $\theta_{0}$ को छोटा समझा जा सकता है ताकि $\sin \theta_{0} \approx \theta_{0}$ और $\cos \theta_{0} \approx 1$।

चित्र 14.11

समाधान 14

14.1 (b)

14.2 (b)

14.3 (d)

14.4 (c)

14.5 (c)

14.6 (d)

14.7 (b)

14.8 (a)

14.9 (b)

14.10 (a)

14.11 (b)

14.12 (a), (c)

14.13 (a), (c)

14.14 (d), (b)

14.15 (a), (b), (d)

14.16 (a), (b), (c)

14.17 (a), (b), (d)

14.18 (a), (c), (d)

14.19 (ई) (ए),(क),(ख),(ग)

14.20 बाएं ओर $2 k x$

14.21 (a) त्वरण भूमिकानुसार आपेक्षिक होता है।

(b) त्वरण प्रत्येक्षानुसार खड़ा होता है।

14.22 पेंडुलम का बॉब माध्य स्थिति से विचलित हो गया हो तो $\sin \theta \approx \theta$

उदाहरण समस्याएँ-भौतिकि

14.23 $+\omega$

14.24 चार

14.25 $-\mathrm{ve}$

14.27

14.28 $l_{m}=\frac{1}{6} l_{E}=\frac{1}{6} \mathrm{~m}$

14.29 यदि मान $m$ यूं नीचे चलता है $h$ तक, तो स्प्रिंग $2 h$ तक फैल जाती है (क्योंकि प्रत्येक तरफ $h$ तक फैलती है)। स्तंभ और स्प्रिंग के तनाव एक ही होते हैं।

संतुलन में

$$ m g=2(k .2 h) $$

जहां $k$ स्प्रिंग संख्यानिक होता है।

मांगने पर $x$ बॉब को नीचे खींचते हुए,

$$ \begin{aligned} & F=m g-2 k(2 \hbar+2 x) \ & \quad=-4 k x \ & \text { इसलिए } T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 k}} \end{aligned} $$

14.30 $y=\sqrt{2} \sin (\omega t-\pi / 4) ; T=2 \pi / \omega$

14.31 $\frac{A}{\sqrt{2}}$

14.32 $U=U_{\mathrm{o}}(1-\cos \alpha x)$

$F=\frac{-d U}{d x}=\frac{-d}{d x}\left(U_{o}-U_{o} \cos a x\right)$

$=-U_{\mathrm{o}} \alpha \sin \alpha \mathrm{x}$

$-U_{o} \alpha \alpha x \quad($ छोटे $\alpha x$ के लिए सिन का $\alpha x$ होता हैं)

$=-U_{0} \alpha^{2} x$

हम जानते हैं कि $F=-k x$

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है:

इसलिए, $ k = U_{o} \alpha^{2} $

$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{U_{o} \alpha^{2}}} $

14.33 $x = 5 \sin 5 t $।

14.34 $ \theta_{1} = \theta_{o} \sin \left( \omega t + \delta_{1} \right) $

$ \theta_{2} = \theta_{o} \sin \left( \omega t + \delta_{2} \right) $

पहले के लिए, $ \theta = 2^{\circ} $, इसलिए $ \sin \left( \omega t + \delta_{1} \right) = 1 $

दूसरे के लिए $ \theta = -1^{\circ} $, इसलिए $ \sin \left( \omega t + \delta_{2} \right) = -1 / 2 $

इसलिए $ \omega t + \delta_{1} = 90^{\circ} $, $ \omega t + \delta_{2} = -30^{\circ} $

इसलिए $ \delta_{1} - \delta_{2} = 120^{\circ} $

14.35 (a) हाँ।

(b) अधिकतम वजन $ = M g + M A \omega^{2} $

$$ \begin{aligned} & = 50 \times 9.8 + 50 \times \frac{5}{100} \times (2 \pi \times 2)^{2} \ & = 490 + 400 = 890 , \text{N} . \end{aligned} $$

न्यूनतम वजन $ = M g - M A \omega^{2} $

$$ \begin{aligned} & = 50 \times 9.8 - 50 \times \frac{5}{100} \times (2 \pi \times 2)^{2} \ & = 490 - 400 \ & = 90 , \text{N} . \end{aligned} $$

अधिकतम वजन शीर्षग्रस्त स्थिति में होता है,

न्यूनतम वजन निचला स्थान पर होता है।

14.36 (a) $2 , \text{सेमी}$ (b) $2.8 , \text{सेकंड}^{-1}$

14.37 लॉग को दबाया जाता है और स्थिर स्थिति पर अलंकारिक विसंचलन $x_{0}$ होता है।

स्थिरता पर

$ m g = $ अभारी बल

$ = A x_{o} \rho g $

जब इसे और एक और विसंचलन $x$ द्वारा विस्थापित किया जाता है, तो अभारी बल

$ A\left(x_{o}+x\right) \rho g $ होता है।

शेष स्थानिकता बल

$ = $ अभारी बल - वजन

$ = A\left(x_{o}+x\right) \rho g - m g $

$ = (A \rho g) x $, अर्थात् $x$ के अनुपात में।

$ \therefore T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}} $

14.38 हल्के को विचार करें और $d x$ लंबाई में पानी का मास है। यह उच्चता पर $x$ पर है। गुरूत्वाकर्षी बल

$ = A \rho d x g x $

बाईं तरफ के स्तंभ की उच्चता प्राणीसंघ

$ = \int_{0}^{h_{1}} A \rho g x d x $

$$ = \left.A \rho g \frac{x^2}{2}\right|_0^{h1} = A \rho g \frac{h_1^2}{2} = \frac{A \rho g l^2 \sin^2 45^{\circ}}{2} $$

उसी तरह, दाहिने स्तंभ का पोतेंशियल ऊर्जा $ = A \rho g \frac{h_{2}{ }^{2}}{2} = \frac{A \rho g l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}}{2} $

$ h_{1} = h_{2} = l \sin 45^{\circ} $ जहां $ l $ लंबाई एक स्तंभ के पानी की है।

कुल पोतेंशियल ऊर्जा $ = A \rho g h^{2} = A \rho g l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ} = \frac{A \rho g l^{2}}{2} $

अगर बाएं दायें और दायें ओर नलिका में पतला बदलाव $y$ हो, तो बाएं ओर में पानी की लंबाई $l-y$ होती है और दायें ओर में $l+y$ होती है।

कुल पोतेंशियल ऊर्जा $ = A \rho g(l-y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ} + A \rho g(l+y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ} $

परिवर्तन $PE = (PE)_f - (PE)_i $

$$ \begin{aligned} & = \frac{A \rho g}{2} \left[ (l-y)^{2} + (l+y)^{2} - l^{2} \right] \ & = \frac{A \rho g}{2} \left[ l^{2} + y^{2} - 2 l y + l^{2} + y^{2} + 2 l y - l^{2} \right] \ & = A \rho g \left[ y^{2} + l^{2} \right] \end{aligned} $$

कुल किनेटिक ऊर्जा का परिवर्तन $ = \frac{1}{2} A \rho 2 l y^{2} $

कुल ऊर्जा के परिवर्तन $ = 0 $

$$ \Delta(P . E) + \Delta(K . E) = 0 $$

$$ A \rho g \left[ l^{2} + y^{2} \right] + A \rho l y^{2} = 0 $$

पहले पक्ष को समय के साथ द्वारा विभाजित करने पर,

विषय: $ए रो जी\left[0+2 y \frac{d y}{d t}\right]+2 ए रो ल y y=0$

$2 ए रो जी y+2 ए रो ल y=0$

$ल य+जी य=0$

$य+\frac{जी}{ल} य=0$

$\omega^{2}=\frac{जी}{ल}$

$\omega=\sqrt{\frac{जी}{ल}}$

$टी=2 घुमाव के अंतराल \sqrt{\frac{ल}{जी}}$

14.39 $पी=\frac{जी \cdot एक्स}{आर}$ पर गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, जहां $जी$ सतह पर त्वरण है।

बल $=\frac{एक्स मो जी}{आर}=-के \cdot एक्स, \quad क=\frac{एम जी}{आर}$

गति । गति । कदम के साथ गति $टी=\sqrt{\frac{एम}{के}}=2 \pi \sqrt{\frac{आर}{जी}}$

14.40 मान लें कि $टी=0$ जब $\theta=\theta_{0}$। फिर,

$\theta=\theta_{0} \cos \omega t$

दिया गया है एक सेकंड का बरतन $\omega=2 \pi$

समय $टी_{1}$ पर, लें $\theta=\theta_{0} / 2$

$\therefore \quad \cos 2 \pi t_{1}=1 / 2 \Rightarrow t_{1}=\frac{1}{6}$

$\dot{\theta}=-\theta_{0} 2 \pi \sin 2 \pi t \quad\left[\dot{\theta}=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\right]$

$टी_{1}=1 / 6$ पर

$\dot{\theta}=-\theta_{0} 2 \pi \sin \frac{2 \pi}{6}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0}$

इससे लिनियर वेग होगा

$\mathrm{u}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l$ तार के ऊपरी मांसपेशी के लिए।

ऊपरी घटक है

$य_{u}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0}$ और इसका समकोणीय घटक है

$य_{x}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \cos \theta_{0}$

जब यह टूटता है, तो ऊँचाई ऊपरी होती है

$एच^{\prime}=एच+l\left(1-\cos \left(\theta_{0} / 2\right)\right)$

गिरावट के लिए आवश्यक समय को $टी$ रखें, तो

$एच^{\prime}=य_{य} ट+(1 / 2) जी ट^{2}$ (ध्यान दें $जी$ भी नकारात्मक दिशा में है)

या, $\frac{1}{2} जी ट^{2}+\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0} \theta_{0}-एच^{\prime}=0$

$\therefore ट=\frac{-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0} \pm \sqrt{3 \pi^{2} \theta_{0}^{2} ई^{2} \sin ^{2} \theta_{0}+2 जी एच^{\prime}}}{जी}$

$\frac{-\sqrt{3} \pi l \theta_{0}^{2} \pm \sqrt{3 \pi^{2} \theta_{0}^{4} l^{2}+2 जी एच^{\prime}}}{जी}$

$\theta_{0}$ के आदेश के अनुमान को उपेक्षित करते हुए,

$t \sqrt{\frac{2 H^{\prime}}{g}}$।

अब $H^{\prime} \quad H+l(1-1)=शून्य \therefore t \sqrt{\frac{2 H}{ग}}$

$x$ दिशा में यात्रा की दूरी $यू_{एक्स} ट$ है जहां यह तूटता है

लिया गया।

$X=\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \cos \theta_{o} \sqrt{\frac{2 H}{ग}}$

$\theta_{0}$ के आदेश में,

$X=\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sqrt{\frac{2 H}{ग}}=\sqrt{\frac{6 H}{ग}} \theta_{0} l$।

तोड़ने के समय बॉब का

$l \sin \theta_{0} \quad l \theta_{0}$ से दूरी एकसारे से

$ल \theta_{0}-\sqrt{\frac{6 H}{ग}} \