अध्याय 12

तापगतिकी

MCQ I

12.1 एक आदर्श गैस समानार्थक स्थिति से चार अलग अवस्थाओं से गुजरती है (चित्र 12.1)। चार प्रक्रियाएं अधिनियमी, समतापीय, समाबारी और समतायी होती हैं। किसमें से $1,2,3$ और 4 में से कौन सी अधिनियमी है।

(अ) 4

(बी) 3

(क) 2

(डी) 1

चित्र 12.1

12.2 यदि औसत व्यक्ति दौड़ती है, तो उसके द्वारा $14.5 \times 10^{3} \mathrm{कैल} / \mathrm{मिनट}$ उत्पन्न होता है। इसे पसीने की वाष्पीकरण द्वारा हटाया जाता है। प्रति मिनट पसीने की मात्रा (मानिए $1 \mathrm{~kg}$ के लिए $580 \times 10^{3}$ कैल की आवश्यकता होती है) है

(अ) $0.25 \mathrm{~kg}$

(बी) $2.25 \mathrm{~kg}$

(सी) $0.05 \mathrm{~kg}$

(डी) $0.20 \mathrm{~kg}$

उदाहरण समस्याएं-भौतिकी

12.3 भौतिकी में एक आदर्श गैस के लिए $P-V$ आरेखण का विचार कीजिए जो चित्र 12.2 में दिखाया गया है।

चित्र 12.2

निम्नलिखित आरेखणों में से कौन सी $T-P$ आरेखण को प्रतिष्ठित करती है?

(ई)

(ग)

(घ)

(ङ)

चित्र 12.3

(अ) (ङ)

(बी) (ग)

(सी) (घ)

(डी) (ई)

12.4 एक आदर्श गैस चक्रिक प्रक्रिया $A B C D A$ को इस दिए गए $P-V$ आरेखण में (चित्र 12.4) दिखाया गया है।

गैस द्वारा किया गया कार्य का मात्रा होती है

(अ) $6 P_{o} V_{o}$

(बी) $-2 P_{o} V_{o}$

(सी) $+2 P_{o} V_{o}$

(डी) $+4 P_{o} V_{o}$

चित्र 12.4

12.5 दो तंत्र A और B जो एक जैसी दबाव, आयतन और तापमान में एक समान गैस धारित करते हैं को विचार करें। तंत्र A में गैस को उसके मूल आयतन के आधा होने तक तापगतीय रूप से दबाया जाता है जबकि तंत्र B में गैस को उसके मूल मान के आधा होने तक अधिनियमीता से दबाया जाता है। तंत्र B में गैस की अंतिम दबाव का अनुपात तंत्र A में गैस के अंतिम दबाव के साथ क्या होगा?

(अ) $2^{\gamma-1}$

(बी) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}$

(सी) $\left(\frac{1}{1-\gamma}\right)^{2}$

(डी) $\left(\frac{1}{\gamma-1}\right)^{2}$

12.6 तीन तांबे के ब्लॉक भार $M_{1}, M_{2}$ और $M_{3} \mathrm{~kg}$ प्रतिष्ठित करने से पहले तापीय संपर्क में लाए गए हैं जब तक वे स्थिर हो जाते हैं। संपर्क से पहले वे $T_{1}, T_{2}, T_{3}\left(T_{1}>T_{2}>T_{3}\right)$ पर थे। पर्यावरण को ऊष्मा की हानि न होने की मान्यता लेते हुए, संतुलन तापमान $T$ होगा (यहां $s$ तांबे की विशेष ऊष्मा है)

(a) $T=\frac{T_{1}+T_{2}+T_{3}}{3}$

(b) $T=\frac{M_{1} T_{1}+M_{2} T_{2}+M_{3} T_{3}}{M_{1}+M_{2}+M_{3}}$

(c) $T=\frac{M_{1} T_{1}+M_{2} T_{2}+M_{3} T_{3}}{3\left(M_{1}+M_{2}+M_{3}\right)}$

(d) $T=\frac{M_{1} T_{1} s+M_{2} T_{2} s+M_{3} T_{3} s}{M_{1}+M_{2}+M_{3}}$

MCQ II

12.7 कौन से प्रक्रियाओं को निर्यात्मक माना जाता है?

(a) लोहे की एक सरिया को मोड़कर इसे गर्म करना।

(b) एक छोटे संवेदक में एक गैस को एक उच्चतर तापमान $T_{2}$ वाले बड़े ररबर के संपर्क में लाना, जो गैस का तापमान बढ़ाता है।

(c) एक भक्षीमान आदर्श गैस का क्वासी स्थावरता समवर्तना।

(d) एक आदर्श गैस एक पिस्टन सिलेंडर के व्यवस्था में बंद होती है। एक भार $\mathrm{W}$ पिस्टन में जोड़ा जाता है, जिससे गैस का संक्षेपण होता है।

12.8 एक आदर्श गैस किसी आदिम स्थिति से अंतिम स्थिति में अनुभव करता है जो थापित हैं। सही विकल्प चुनें।

(a) $\mathrm{d} U=0$

(b) $\mathrm{d} Q=0$

(c) $\mathrm{d} Q=\mathrm{d} U$

(d) $\mathrm{d} Q=\mathrm{d} W$

12.9 आदर्श गैस के $P-V$ आदर्श का चित्र 12.5 दिखाता है, जिसका अवस्था परिवर्तन ए से बी है। चित्र में दिखाए गए चार अलग-अलग भाग I, II, III और IV एक ही अवस्था परिवर्तन में पहुंच सकते हैं।

(a) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन IV और III में समान है, लेकिन I और II में नहीं।

(b) चारों अवस्थाओं में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान है।

(c) मामूली केस में काम किया जाता है

(d) अधिक से अधिक काम किया जाता है।

12.10 उच्च एक चक्रित पेशेवर (चित्र 12.6)

1 से 2 तक शीतल है

2 से 3 शून्यगत है

३ से 1 शून्यगत है

ऐसी प्रक्रिया मौजूद नहीं होती क्योंकि ! चित्र 12.6

(a) इस प्रक्रिया में ऊष्मा पर्णाली की पूरी रूपांतरित हो जाती है, जो संभव नहीं है।

(b) यह संयंत्र में यांत्रिक ऊर्जा पूरी तरह से ऊष्मा में रूपांतरित की जाती है, जो संभव नहीं है।

(c) दो अधिबूत प्रक्रियाओं को दर्शाने वाली कर्व एक दूरभाषी प्रक्रिया कोतबर्थूत नहीं करतीं।

(d) कर्व एक दर्शाती है प्रकम्यगत प्रक्रिया और इशत्र एक क्रित्रोर्म की कर्वों खट्टम नहीं करती हैं।

12.11 चित्र 12.7 में दिखाए गए एक ऊष्मा इंजन को विचार करें। $Q_{1}$ और $Q_{2}$ इंजन के एक संक्रमण में ऊष्मा स्नान $T_{1}$ एवं ऊष्मा लिए $T_{2}$ से ऊष्मा हैं। $W$ यह इंजन पर यांत्रिक उपकर्ण बानाए गए कार्य है।

अगर $W>0$, तो संभावनाएँ हैं:

(a) $Q_{1}>Q_{2}>0$

(b) $Q_{2}>Q_{1}>0$

(c) $Q_{2}<Q_{1}<0$

(d) $Q_{1}<0, Q_{2}>0$

चित्र . 12.7

12.12 क्या एक प्रणाली को ग्रहीत किया जा सकता है और उसका तापमान स्थिर रहता है?

12.13 एक प्रणाली $P$ से $Q$ जाती है जो $P-V$ नकारण में दो अलग पथों से जाती है जो चित्र 12.8 में दिखाए गए हैं। पथ 1 में प्रणाली को दी गई गर्मी $1000 \mathrm{~J}$ है। पथ 1 के द्वारा प्रणाली द्वारा किया गया कार्य पथ 2 से $100 \mathrm{~J}$ अधिक है। पथ 2 में प्रणाली द्वारा विनिमयित की गई गर्मी क्या है? चित्र 12.8

12.14 यदि एक फ्रिज का दरवाज़ा खुला रखा जाता है, तो क्या कमरा ठंडा या गर्म होगा? समझाएं।

12.15 क्या यह संभव है कि एक गैस का तापमान बढ़ाया जाए बिना उसमें गर्मी जोड़ी जाए? स्पष्ट करें।

12.16 गाड़ी के टायर में हवा चलने के दौरान वायुचाप में वृद्धि होती है। स्पष्ट करें।

SA

12.17 $T_{1}=500 \mathrm{~K}$ और $T_{2}=300 \mathrm{~K}$ के बीच कार्नो का परियोजना चक्र $1 \mathrm{~kJ}$ यांत्रिक कार्य प्रति चक्र उत्पन्न करते हैं। प्रणालियों द्वारा उनके द्वारा इंजन के लिए उनके रेजार्वर्स से होने वाली गर्मी का पता लगाएं।

12.18 $60 \mathrm{~kg}$ के वजन वाले एक व्यक्ति को $10 \mathrm{~m}$ ऊँची सीढ़ियों पर जाकर $5 \mathrm{~kg}$ घटाना है। मान लें कि उसे ऊपर जाते समय कम से कम आधा तेल जलाता है जबकि वह नीचे जाते समय यही क्रिया करता है। यदि $1 \mathrm{~kg}$ तेल खर्च करने पर 7000 किलो कैलोरी खप्पता है, तो वह कितनी बार ऊपर-नीचे जाने के लिए जाना चाहिए ताकि उसका वजन $5 \mathrm{~kg}$ घट जाए?

12.19 एक साइकिल टायर पंप द्वारा हवा से भरे जाने को मानें। यदि $V$ पंप का आयाम होता है (नियमित) और पंप के प्रति स्ट्रोक में हवा का $\Delta V(\quad V)$ ट्यूब में अद्यतम समय क्रमागत तंत्रित करने के दौरान स्थानान्तरित होता है। ट्यूब में दबाने पर कितना काम किया जाता है जब दबाव $P_{1}$ से $P_{2}$ बढ़ जाता है?

12.20 एक फ्रिज में निम्नतम तापमान से ऊंचा तापमान के साथ हवा को हटाया जाता है और इस प्रक्रिया में, यांत्रिक काम किया जाना चाहिए, जो एक इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा प्रदान किया जाता है। यदि मोटर $1 \mathrm{~kW}$ शक्ति का है, और तापमान $-3^{\circ} \mathrm{C}$ से $27^{\circ} \mathrm{C}$ तक हटाया जाता है, तो प्रति सेकंड फ्रिज से निकाली गई गर्मी की गणना करें यदि इसका प्रदर्शन कम से कम होता है $50 %$ का एक पूर्ण इंजन का।

12.21 यदि एक फ्रिज के प्रदर्शन संख्या 5 है और कमरे के तापमान पर कार्य करता है $\left(27^{\circ} \mathrm{C}\right)$, तो फ्रिज में स्थित तापमान का पता लगाएं।

12.22 किसी विशेष गैस की प्रारंभिक स्थिति $\left(P_{\mathrm{i}}, V_{\mathrm{i}}, T_{\mathrm{i}}\right)$ है। यह विस्तार होता है जब तक इसकी आयाम $V_{\mathrm{f}}$ हो जाती है। निम्नलिखित दो स्थितियों को ध्यान में रखें:

(a) विस्तार स्थिर तापमान पर होता है।

(b) विस्तार ध्यापीसरह दबाव पर होता है।

प्रत्येक मामले के लिए $P$ - $V$ नकारण चित्र बनाएं। चारों मामलों में से कोनसे मामले में, गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक होता है?

LA

12.3

चित्र 12.9

एक पी-वी नकारण में एक मान्य गैस के एक मोल का पथ जिसे सिलिंड्रियल संग्राहक में दिखाया गया है का अवलोकन चित्र 12.9 में दिखाया गया है।

(a) स्थिति 1 से स्थिति 2 जब गैस ली जाती है तो कार्य किया जाता है।

(b) अगर $V_{2}=2 V_{1}$ है तो तापमान $T_{1}$ और $T_{2}$ का अनुपात क्या है?

(c) जब $V_{2}=2 V_{1}$ होता है तो एक मोल गैस के लिए अंतर्गत ऊर्जा $T$ तापमान पर $(3 / 2) R T$ होती है, तो गैस को जब स्थिति 1 से 2 पर लाया जाता है, तो गैस को कितनी ऊर्जा प्रदान की जाती है? $V_{2}=2 V_{1}$ है।

12.24 एक चक्र जो इंजन (एक मोल के परफेक्ट गैस से बना हुआ है जिसमें सिलेंडर और पिस्टन होते हैं) द्वारा अनुसरित किया जाता है, वह चित्र 12.10 में दिखाया गया है।

चित्र 12.10 ए से बी: आयतन स्थिर

बी से सी: अधिभूत्यमान

सी से डी: आयतन स्थिर

डी से ए: अधिभूत्यमान

$V_{C}=V_{D}=2 V_{A}=2 V_{B}$

(a) चक्र के किस हिस्से में इंजन को बाहर से ऊर्जा प्रदान की जाती है?

(b) चक्र के किस हिस्से में इंजन द्वारा परिवेश को ऊर्जा प्रदान की जाती है?

(c) एक चक्र में इंजन द्वारा कितना कार्य किया जाता है? अपना उत्तर $P_{A}, P_{B}, V_{A}$ के आधार पर दीजिए।

(d) इंजन का क्षमता क्या है?

[$\gamma=5 / 3$ (गैस के लिए)], $\left(C_{v}=\frac{3}{2} R\right)$. एक मोल के लिए

12.25 एक इंजन द्वारा अनुसरित एक चक्र (जिसमें एक मोल आदर्श गैस सिलेंडर और पिस्टन के साथ होती है) चित्र 12.11 में दिखाया गया है। प्रत्येक चक्र के क्षेत्र के लिए इंजन द्वारा परिवेश से विद्युत विनिमय क्या है? $\left(C_{v}=(3 / 2) R\right)$

ए बी: स्थायी आयतन

बी सी: स्थायी दबाव

सी डी: अधिभूत्यमान

डी ए: स्थायी दबाव

चित्र 12.11

12.26 मान लें कि एक आदर्श गैस ($n$ मोल) एक प्रक्रिया में विस्तार कर रही है जो $P=f(V)$ द्वारा दिया गया है, जो एक बिंदु $\left(V_{0}, P_{0}\right)$ से गुजरती है। दिखाएं कि गैस $\left(P_{o}, V_{0}\right)$ पर ऊष्मा संचयित कर रही है अगर रेखा $P=f(V)$ की ढाल $\left(P_{o}, V_{o}\right)$ से अधिक है।

12.27 एक मोल परफेक्ट गैस को एक यूनिट क्रॉस सेक्शन वाले सिलेंडर में बंद किया जाता है जिसमें एक पिस्टन लगा होता है (चित्र 12.12)। पिस्टन और सिलेंडर के नीचे एक स्प्रिंग (स्प्रिंग संकेत $k$) जुड़ा होता है (अनतः स्थिर लंबाई $L$)। प्रारंभिक रूप में स्प्रिंग अनतः स्थिर होता है और गैस स्थिरावस्था में होती है। गैस को एक निश्चित मात्रा की ऊष्मा $Q$ प्रदान की जाती है जिससे वाल्यूम $\mathrm{V}{0}$ से $\mathrm{V}{1}$ बढ़ता है।

(a) प्रणाली की प्रारंभिक दबाव क्या है?

(b) प्रणाली का अंतिम दबाव क्या है?

(c) ऊष्मा के नियम (थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम) का उपयोग करके, $Q, P_{a}, V, V_{o}$ और $k$ के बीच एक संबंध लिखें। वायुमण्डलिक दबाव $=\mathrm{P}_{\mathrm{a}}$

चित्र 12.12

समाधान 12

12.1 (c) अधिभूती

ए इसोबॉरिक प्रक्रिया है, डी आयोरिक है। बी और सी में से, बी की ढाल (अपवर्तन) छोटी होती है (मात्रा) इसलिए वह इसोथर्म है। शेष प्रक्रिया अधिभूती है।

12.2 (a)

12.3 (c)

12.4 (b)

12.5 (a)

विषय: १२.६ (ब)

विषय: १२.७ (अ), (ब) और (ड)।

विषय: १२.८ (अ), (ड)

विषय: १२.९ (ब), (सी)

विषय: १२.१० (अ), (सी)

विषय: १२.११ (अ), (सी)

विषय: १२.१२ अगर प्रणाली स्थानिकता के खिलाफ कार्य करती है ताकि वह प्राप्त ऊष्मा का समायोजन कर सके, तो तापमान स्थिर रह सकता है।

विषय: १२.१३ $U_{प}-U_{ऊ} =$ प्रणाली पर मार्ग १ में किया गया कार्य + १००० जूल

$= $ प्रणाली पर मार्ग २ में किया गया कार्य + Q

$$ Q = (-100 + 1000) जूल = 900 जूल $$

विषय: १२.१४ यहाँ निकाली गई ऊष्मा प्रदानित ऊष्मा से कम होती है और इसलिए कक्ष, जिसमें फ्रिज भी शामिल है (जो कक्ष से अलग नहीं होता है), गर्माहटी हो जाता है।

विषय: १२.१५ हां, जब गैस एडियाबेटिक संकुचन करती है, तो इसका तापमान बढ़ता है।

$\mathrm{d} Q = \mathrm{d} U + \mathrm{d} W$

क्योंकि $\mathrm{d} Q = 0$ (एडियाबेटिक प्रक्रिया),

इसलिए $\mathrm{d} U = -\mathrm{d} W$

संकुचन में, प्रणाली पर कार्य किया जाता है इसलिए, $\mathrm{dW} = -\ve$

$\Rightarrow \mathrm{d} U = + \ve$

इसलिए गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है, यानी इसका तापमान बढ़ता है।

विषय: १२.१६ ड्राइविंग के दौरान, गैस का तापमान बढ़ता है जबकि इसका आयतन स्थिर रहता है।

इसलिए, चार्ल्स के नियम के अनुसार, स्थिर व माप पर P $\alpha$ T।

इसलिए, गैस का दबाव बढ़ता है।

विषय: १२.१७ $\frac{Q}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{3}{5}, \quad Q_{1} - Q_{2} = 10^{3} जूल$

$Q_{1}\left(1 - \frac{3}{5}\right) = 10^{3} जूल \Rightarrow Q_{1} = \frac{5}{2} \times 10^{2} जूल = 2500 जूल, Q_{2} = 1500 जूल$

विषय: १२.१८ $5 \times 7000 \times 10^{3} \times 4.2 जूल = 60 \times 15 \times 10 \times एन$

$$ एन = \frac{21 \times 7 \times 10^{6}}{900} = \frac{147}{9} \times 10^{3} = 16.3 \times 10^{3} बार। $$

विषय: १२.१९ $P\left[1+\gamma \frac{\Delta v}{V}\right]=P\left(1+\frac{\Delta p}{P}\right)$

$\gamma \frac{\Delta v}{V}=\frac{\Delta p}{P} ; \frac{d v}{d p}=\frac{V}{\gamma p}$

किये गए कार्य $=\int_{P_{1}}^{P_{2}} p d v=\int_{P_{1}}^{P_{2}} p \frac{V}{\gamma p} d p=\frac{\left(P_{2}-P_{1}\right)}{\gamma} V$

विषय: १२.२०

$\eta=1-\frac{270}{300}=\frac{1}{10}$

फ्रिज का प्रदर्शनारता $=0.5 \eta=\frac{1}{20}$

यदि $Q$ है, जो ऊष्मा ऊपरी तापमान पर संचारित किया जाता है तो $\frac{W}{Q}=\frac{1}{20}$

या $\mathrm{Q}=20 वाट्स=20 किलोजूल$,

और निकाली गई ऊष्मा निचले तापमान से $=19 किलोजूल$।

विषय: १२.२१ $\frac{Q_{2}}{W}=5, Q_{2}=5 वाट्स, Q_{1}=6 वाट्स$

$$ \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{5}{6}=\frac{T}{300}, \quad T_{2} = 250 केल्विन = -23 डिग्री सेल्सियस $$

विषय: १२.२२ प्रत्येक मामले के लिए $P-V$ चित्र आकृति में दिखाई गई है। मामला (आई) में $P_{आई} V_{आई}=P_{अंतिम} V_{अंतिम}$; इसलिए प्रक्रिया स्थायक रहती है। किये गए कार्य $=$ चित्र के नीचे का क्षेत्र, इसलिए जब गैस स्थिर दबाव पर विस्तार करती है, तो किया गया कार्य अधिक होता है।

विषय: १२.२३ (ए) गैस द्वारा किया गया कार्य (लेट $PV^{1/2}=A$)

$ \Delta W = \int_{V1}^{V2} p d v = A \int_{V1}^{V2} \frac{d V}{\sqrt{V}} = A\left[\frac{\sqrt{V}}{1/2}\right]_{V1}^{V2} = 2 A\left(\sqrt{V2}-\sqrt{V1}\right) $

$ = 2 P_{1} V_{1}^{1/2}\left[V_{2}^{1/2}-V_{1}^{1/2}\right] $

कॉन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा:

(b) यदि $T=p V / n R=\frac{A}{n R} \cdot \sqrt{V}$ हो

तो, $\frac{T_{2}}{T_{1}}=\sqrt{\frac{V_{2}}{V_{1}}}=\sqrt{2}$

(c) तब, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन

$$ \Delta U=U_{2}-W_{1}=\frac{3}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{3}{2} R T_{1}(\sqrt{2}-1) $$

$$ \begin{aligned} & \Delta W=2 A \sqrt{V_{1}}(\sqrt{2}-1)=2 R T_{1}(\sqrt{2}-1) \ & \Delta Q=(7 / 2) R T_{1}(\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

12.24 (a) ए से बी

(b) $\mathrm{C}$ से $\mathrm{D}$

(c) $\quad W_{AB}=\int_A^B p d V=0 ; W_{C D}=0$.

इसी तरह से, $W_{BC}=\left[\int_B^C p d V=k \int_B^C \frac{d V}{V^r}=k \frac{V^{-r+1}}{-R+1}\right]_{VB}^{VC}$

$$ =\frac{1}{1-\gamma}\left(P_c V_c-P_B V_B\right) $$

इसी तरह से, $W_{D A}=\frac{1}{1-\gamma}\left(P_{A} V_{A}-P_{D} V_{D}\right)$

अब $P_{C}=P_{B}\left(\frac{V_{B}}{V_{C}}\right)^{\gamma}=2^{-\gamma} P_{B}$

इसी तरह से, $P_D=P_A 2^{-\gamma}$

कुल कार्य $=W_{BC}+W_{DA}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{1-\gamma}\left[P_{B} V_{B}\left(2^{-\gamma+1}-1\right)-P_{A} V_{A}\left(2^{-\gamma+1}-1\right)\right] \\ & =\frac{1}{1-\gamma}\left(2^{1-\gamma}-1\right)\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} \\ & =\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 / 3}\right)\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} \end{aligned} $$

(d) प्रक्रिया ए, बी में संचित होने वाला ऊष्मा

$$ \mathrm{d} Q_{A B}=\mathrm{d} U_{A B} $$

$$ Q_{A B}=\frac{3}{2} n R\left(T_{B}-T_{A}\right)=\frac{3}{2}\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} $$

प्रदर्शकता $=\frac{\text { कुल कार्य }}{\text { संचित होने वाली ऊष्मा }}=\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 / 3}\right]$

12.25

$Q_{A B}=U_{A B}=\frac{3}{2} R\left(T_{B}-T_{A}\right)=\frac{3}{2} V_{A}\left(P_{B}-P_{A}\right)$

$\Theta_{B C}=U_{B C}+W_{B C}$

$$ \begin{aligned} & =(3 / 2) P_{B}\left(V_{C}-V_{B}\right)+P_{B}\left(V_{C}-V_{B}\right) \ & =(5 / 2) P_{B}\left(V_{C}-V_{A}\right) \end{aligned} $$

$\mathrm{Q}_{\mathrm{CA}}=0$

$Q_{D A}=(5 / 2) P_{A}\left(V_{A}-V_{D}\right)$

12.26 $\left(V_{0}, P_{0}\right)$ पर $P=f(V)$, कर्व का ढाल

$$ =f\left(V_{\mathrm{o}}\right) $$

$\left(V_{0}, P_{0}\right)$ पर अडियाबेट का ढाल

$$ =k(-\gamma) V_o^{-1-\gamma}=-\gamma P_o / V_o $$

अब $P=f(V)$ में संचित होने वाला ऊष्मा

$$ \begin{aligned} & =\mathrm{d} V+\mathrm{d} W \ & =n C_{v} \mathrm{~d} T+P \mathrm{dV} \end{aligned} $$

क्योंकि $T=\frac{1}{n R} P V=\frac{1}{n R} V f(V)$

$$ \mathrm{d} T=(1 / n R)\left[f(V)+V f^{\prime}(\mathrm{V})\right] \mathrm{d} V $$

इसलिए

$ \frac{d Q}{d V^{{v=V_{o}}}}=\frac{C V}{R}\left[f\left(V_{o}\right)+V_{o} f^{\prime}\left(V_{o}\right)\right]+f\left(V_{o}\right) $

$ =\left[\frac{1}{\gamma-1}+1\right] f\left(V_{o}\right)+\frac{V_{o} f^{\prime}\left(V_{o}\right)}{\gamma-1} $

ऊष्मा संचित होती है जब $\mathrm{dQ} / \mathrm{d} V>0$ होता है, जब गैस विस्तार होता है, अर्थात

$\gamma P_{o}+V_o f^{\prime}\left(V_o\right)>0$ होता है

कॉन्टेंट का हाई संस्करण क्या होगा: $ f^{\prime}\left(V_o\right)>-\gamma P_o / V_o $

12.27 (a) $P_{i}=P_{a}$

(b) $\quad P_{f}=P_{a}+\frac{k}{A}\left(V-V_{o}\right)=P_{a}+k\left(V-V_{o}\right)$

(c) सभी प्रदान गर्मी को यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है। आंतरिक ऊर्जा में कोई बदलाव नहीं होता है (पूर्ण गैस)

$$ \Delta Q=P_{a}\left(V-V_{o}\right)+\frac{1}{2} k\left(V-V_{o}\right)^{2}+C_{V}\left(T-T_{o}\right) $$

जहां $T_{o}=P_{a} V_{o} / R$,

$$ T=\left[P_{a}+(R / A)-\left(V-V_{o}\right)\right] V / R $$