Just as a mountaineer climbs a mountain - because it is there, so a good mathematics student studies new material because it is there. - JAMES B. BRISTOL

7.1 भूमिका (Introduction)

अवकल गणित अवकलज की संकल्पना पर केंद्रित है। फलनों के आलेखों के लिए स्पर्श रेखाएँ परिभाषित करने की समस्या एवं इस प्रकार की रेखाओं की प्रवणता का परिकलन करना अवकलज के लिए मूल अभिप्रेरण था। समाकलन गणित, फलनों के आलेख से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल को परिभाषित करने एवं इसके क्षेत्रफल का परिकलन करने की समस्या से प्रेरित है।

यदि एक फलन $f$ किसी अंतराल $\mathrm{I}$ में अवकलनीय है अर्थात् I के प्रत्येक बिंदु पर फलन के अवकलज $f^{\prime }$ का अस्तित्व है, तब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है कि यदि $\mathrm{I}$ के प्रत्येक बिंदु पर $f^{\prime }$ दिया हुआ है तो क्या हम फलन $f$ ज्ञात कर सकते हैं? वे सभी फलन जिनसे हमें एक फलन उनके अवकलज के रूप में प्राप्त हुआ है, इस फलन के प्रतिअवकलज (पूर्वग) कहलाते हैं। अग्रतः वह सूत्र जिससे

G.W. Leibnitz (1646-1716)

ये सभी प्रतिअवकलज प्राप्त होते हैं, फलन का अनिश्चित समाकलन कहलाता है और प्रतिअवकलज ज्ञात करने का यह प्रक्रम समाकलन करना कहलाता है। इस प्रकार की समस्याएँ अनेक व्यावहारिक परिस्थितियों में आती हैं। उदाहरणतः यदि हमें किसी क्षण पर किसी वस्तु का तात्क्षणिक वेग ज्ञात है, तो स्वाभाविक प्रश्न यह उठता है कि क्या हम किसी क्षण पर उस वस्तु की स्थिति ज्ञात कर सकते हैं? इस प्रकार की अनेक व्यावहारिक एवं सैद्धांतिक परिस्थितियाँ आती हैं, जहाँ समाकलन की संक्रिया निहित होती है। समाकलन गणित का विकास निम्नलिखित प्रकार की समस्याओं के हल करने के प्रयासों का प्रतिफल है।

(a) यदि एक फलन का अवकलज ज्ञात हो, तो उस फलन को ज्ञात करने की समस्या,

(b) निश्चित प्रतिबंधों के अंतर्गत फलन के आलेख से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या।

उपर्युक्त दोनो समस्याएँ समाकलनों के दो रूपों की ओर प्रेरित करती हैं, अनिश्चित समाकलन एवं निश्चित समाकलन। इन दोनों का सम्मिलित रूप समाकलन गणित कहलाता है।

अनिश्चित समाकलन एवं निश्चित समाकलन के मध्य एक संबंध है जिसे कलन की आधारभूत प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह प्रमेय निश्चित समाकलन को विज्ञान एवं अभियांत्रिकी के लिए एक व्यावहारिक औज़ार के रूप में तैयार करती है। अर्थशास्त्र, वित्त एवं प्रायिकता जैसे विभिन्न क्षेत्रों से अनेक प्रकार की रुचिकर समस्याओं को हल करने के लिए भी निश्चित समाकलन का उपयोग किया जाता है।

इस अध्याय में, हम अपने आपको अनिश्चित एवं निश्चित समाकलनों एवं समाकलन की कुछ विधियों सहित उनके प्रारंभिक गुणधर्मों के अध्ययन तक सीमित रखेंगे।

7.2 समाकलन को अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम के रूप में (Integration as the Inverse Process of Differentiation )

अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम को समाकलन कहते हैं। किसी फलन का अवकलन ज्ञात करने के स्थान पर हमें फलन का अवकलज दिया हुआ है और इसका पूर्वग अर्थात् वास्तविक फलन ज्ञात करने के लिए कहा गया है। यह प्रक्रम समाकलन अथवा प्रति-अवकलन कहलाता है। आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें,

हम जानते हैं कि

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\end{array}$$

और

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\end{array}$$

हम प्रेक्षित करते हैं कि समीकरण (1) में फलन $\cos x$ फलन $\sin x$ का अवकलज है। इसे हम इस प्रकार भी कहते हैं कि $\cos x$ का प्रतिअवकलज (अथवा समाकलन) $\sin x$ है। इसी प्रकार (2) एवं (3) से $x^2$ और $e^x$ के प्रतिअवकलज (अथवा समाकलन) क्रमशः $\frac{x^3}{3}$ और $e^x$ है। पुनः हम नोट करते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $C$, जिसे अचर फलन माना जाता है, का अवकलज शून्य है, और इसलिए हम (1), (2) और (3) को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

$$\frac{d}{dx}(\sin x+\mathrm{C})=\cos x,\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}+\mathrm{C})=x^2\text{ और }\frac{d}{dx}(e^x+\mathrm{C})=e^x$$

इस प्रकार हम देखते हैं कि उपर्युक्त फलनों के प्रतिअवकलज अथवा समाकलन अद्धितीय नहीं हैं। वस्तुतः इन फलनों में से प्रत्येक फलन के अपरिमित प्रतिअवकलज हैं, जिन्हें हम वास्तविक

संख्याओं के समुच्चय से स्वेच्छ अचर $\mathrm{C}$ को कोई मान प्रदान करके प्राप्त कर सकते हैं। यही कारण है कि $\mathrm{C}$ को प्रथानुसार स्वेच्छ अचर कहते हैं। वस्तुतः $\mathrm{C}$ एक प्राचल है, जिसके मान को परिवर्तित करके हम दिए हुए फलन के विभिन्न प्रतिअवकलजों या समाकलनों को प्राप्त करते हैं। व्यापकतः यदि एक फलन $\mathrm{F}$ ऐसा है कि $\frac{d}{dx}\mathrm{F}(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in \mathrm{I}$ (वास्तविक संख्याओं का अंतराल) तो प्रत्येक स्वेच्छ अचर $\mathrm{C}$, के लिए $\frac{d}{dx}[\mathrm{F}(x)+\mathrm{C}]=f(x),x\in \mathrm{I}$

इस प्रकार $\{\mathrm{F}+\mathrm{C},\mathrm{C}\in \mathrm{R}\},f$ के प्रतिअवकलजों के परिवार को व्यक्त करता है, जहाँ $\mathrm{C}$ समाकलन का अचर कहलाता है।

टिप्पणी समान अवकलज वाले फलनों में एक अचर का अंतर होता है। इसको दर्शाने के लिए, मान लीजिए $g$ और $h$ ऐसे दो फलन हैं जिनके अवकलज अंतराल I में समान हैं $f(x)=g(x)-h(x),\mathrm{\forall }x\in \mathrm{I}$ द्वारा परिभाषित फलन $f=g-h$ पर विचार कीजिए

तो $\frac{df}{dx}=f^{\prime }=g^{\prime }-h^{\prime }$ से $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-h^{\prime }(x)\mathrm{\forall }x\in \mathrm{I}$ प्राप्त है। अथवा $f^{\prime }(x)=0,\mathrm{\forall }x\in \mathrm{I}$ (परिकल्पना से) अर्थात् I में $x$ के सापेक्ष $f$ के परिवर्तन की दर शून्य है और इसलिए $f$ एक अचर है।

उपर्युक्त टिप्पणी के अनुसार यह निष्कर्ष निकालना न्यायसंगत है कि परिवार $\{\mathrm{F}+\mathrm{C},\mathrm{C}\in \mathrm{R}\}$, $f$ के सभी प्रतिअवकलजों को प्रदान करता है।

अब हम एक नए प्रतीक से परिचित होते हैं जो कि प्रतिअवकलजों के पूरे परिवार को निरूपित करेगा। यह प्रतीक $\int f(x)dx$ है, इसे $x$ के सापेक्ष $f$ का अनिश्चित समाकलन के रूप में पढ़ा जाता है। प्रतीकतः हम $\int f(x)dx=\mathrm{F}(x)+\mathrm{C}$ लिखते हैं।

संकेतन दिया हुआ है कि $\frac{dy}{dx}=f(x)$, तो हम $y=\int f(x)dx$ लिखते हैं।

सुविधा के लिए हम निम्नलिखित प्रतीकों/पदों/वाक्यांशों को उनके अर्थों सहित सारणी 7.1 में उल्लेखित करते हैं:

सारणी 7.1

हम पहले से ही बहुत से प्रमुख फलनों के अवकलजों के सूत्र जानते हैं। इन सूत्रों के संगत हम समाकलन के प्रामाणिक सूत्रों को तुरंत लिख सकते हैं। इन प्रामाणिक सूत्रों की सूची निम्नलिखित हैं जिसका उपयोग हम दूसरे फलनों के समाकलनों को ज्ञात करने में करेंगे।

$$\begin{array}{ll}\text{अवकलज Derivatives}& \begin{array}{c}\text{समाकलन ( प्रतिअवकलज )}\\ \text{Integrals (Antiderivatives)}\end{array}\\ \\ \text{(i)}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n& \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C},n\ne -1\\ \\ विशिष्टरूपमेंहमदेखतेहैं& \\ \\ \frac{d}{dx}(x)=1& \int dx=x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(ii)}\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x& \int \cos xdx=\sin x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(iii)}\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x& \int \sin xdx=-\cos x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(iv)}\frac{d}{dx}(\tan x)={\sec }^{2}x& \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(v)}\frac{d}{dx}(-\cot x)={\mathrm{cosec}}^{2}x& \int {\mathrm{cosec}}^{2}xdx=-\cot x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(vi)}\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x& \int \mathrm{cosec}x\cot xdx=-\mathrm{cosec}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{(vii)}\frac{d}{dx}(-\mathrm{cosec}x)=\mathrm{cosec}x\cot x& \int \sec x\tan xdx=\sec x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (viii) }\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\sin }^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (ix) }\frac{d}{dx}(-{\cos }^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-{\cos }^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (x) }\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}x)=\frac{1}{1+x^2}& \int \frac{dx}{1+x^2}={\tan }^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xi) }\frac{d}{dx}(-{\cot }^{-1}x)=\frac{1}{1+x^2}& \int \frac{dx}{1+x^2}=-{\cot }^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xii) }\frac{d}{dx}({\sec }^{-1}x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}& \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}={\sec }^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xiii) }\frac{d}{dx}(-{\mathrm{cosec}}^{-1}x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}& \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=-{\mathrm{cosec}}^{-1}x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xiv) }\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x& \int e^{x}dx=e^x+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xv) }\frac{d}{dx}(\log |x|)=\frac{1}{x}& \int \frac{1}{x}dx=\log |x|+\mathrm{C}\\ \\ \text{ (xvi) }\frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\log a}\right)=a^x& \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\log a}+\mathrm{C}\end{array}$$

टिप्पणी प्रयोग में हम प्रायः उस अंतराल का जिक्र नहीं करते जिसमें विभिन्न फलन परिभाषित हैं तथापि किसी भी विशिष्ट प्रश्न के संदर्भ में इसको भी ध्यान में रखना चाहिए।

7.2.1 अनिश्चित समाकलनों के कुछ गुणधर्म (Some properties of indefinite integrals)

इस उप परिच्छेद में हम अनिश्चित समाकलन के कुछ गुणधर्मों को व्युत्पन्न करेंगे।(i) निम्नलिखित परिणामों के संदर्भ में अवकलन एवं समाकलन के प्रक्रम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं:

$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$$

और

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathrm{C}\text{, जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है। }$$

उपपत्ति मान लीजिए कि $\mathrm{F},f$ का एक प्रतिअवकलज हैं अर्थात्

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\mathrm{F}(x)& =f(x)\\ \int f(x)dx& =\mathrm{F}(x)+\mathrm{C}\\ \frac{d}{dx}\int f(x)dx& =\frac{d}{dx}(\mathrm{F}(x)+\mathrm{C})\\ & =\frac{d}{dx}\mathrm{F}(x)=f(x)\end{array}$$

$$\text{ तो }\int f(x)dx=\mathrm{F}(x)+\mathrm{C}$$

इसलिए

इसी प्रकार हम देखते हैं कि

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)$$

और इसलिए

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathrm{C}$$

जहाँ $\mathrm{C}$ एक स्वेच्छ अचर है जिसे समाकलन अचर कहते हैं।

(ii) ऐसे दो अनिश्चित समाकलन जिनके अवकलज समान हैं वक्रों के एक ही परिवार को प्रेरित करते हैं और इस प्रकार समतुल्य हैं।

उपपत्ति मान लीजिए $f$ एवं $g$ ऐसे दो फलन हैं जिनमें

$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=\frac{d}{dx}\int g(x)dx$$

अथवा

$$\frac{d}{dx}[\int f(x)dx-\int g(x)dx]=0$$

अत: $\int f(x)dx-\int g(x)dx=\mathrm{C}$, जहाँ $\mathrm{C}$ एक वास्तविक संख्या है। (क्यों?)

अथवा $\int f(x)dx=\int g(x)dx+\mathrm{C}$

इसलिए वक्रों के परिवार $\{\int f(x)dx+{\mathrm{C}}_1,{\mathrm{C}}_1\in \mathbf{R}\}$

एवं

$$\{\int g(x)dx+{\mathrm{C}}_2,{\mathrm{C}}_2\in \mathbf{R}\}\text{ समतुल्य हैं। }$$

इस प्रकार $\int f(x)dx$ और $\int g(x)dx$ समतुल्य हैं।

टिप्पणी दो परिवारों $\{\int f(x)dx+{\mathrm{C}}_1,{\mathrm{C}}_1\in \mathbf{R}\}$ एवं $\{\int g(x)dx+{\mathrm{C}}_2,{\mathrm{C}}_2\in \mathbf{R}\}$ की समतुल्यता को प्रथानुसार $\int f(x)dx=\int g(x)dx$, लिखकर व्यक्त करते हैं जिसमें प्राचल का वर्णन नहीं है।

(iii)

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

उपपत्ति गुणधर्म (i) से

$\frac{d}{dx}[\int [f(x)+g(x)]dx]=f(x)+g(x)$

अन्यथा हमें ज्ञात है कि

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{d}{dx}[\int f(x)dx+\int g(x)dx]=\frac{d}{dx}\int f(x)dx+\frac{d}{dx}\int g(x)dx=f(x)+g(x)\end{array}$$

इस प्रकार गुणधर्म (ii) के संदर्भ में (1) और (2) से प्राप्त होता है कि

$$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$

(iv) किसी वास्तविक संख्या $k$, के लिए $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

उपपत्ति गुणधर्म (i) द्वारा $\frac{d}{dx}\int kf(x)dx=kf(x)$

और $\frac{d}{dx}[k\int f(x)dx]=k\frac{d}{dx}\int f(x)dx=kf(x)$

इसलिए गुणधर्म (ii) का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

(v) प्रगुणों (iii) और (iv) का $f_1,f_2,\dots ,f_n$ फलनों की निश्चित संख्या और वास्तविक संख्याओं $k_1$, $k_2,\dots ,k_n$ के लिए भी व्यापकीकरण किया जा सकता है जैसा कि नीचे दिया गया है

$$\begin{array}{rl}& \int [k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)+\dots +k_n{f}_n(x)]dx\\ & =k_1\int f_1(x)dx+k_2\int f_2(x)dx+\dots +k_n\int f_n(x)dx\end{array}$$

दिए हुए फलन का प्रतिअवकलज ज्ञात करने के लिए हम अंतर्जान से ऐसे फलन की खोज करते हैं जिसका अवकलज दिया हुआ फलन है। अभीष्ट फलन की इस प्रकार की खोज, जो दिए हुए फलन के प्रति अवकलज ज्ञात करने के लिए की जाती है, को निरीक्षण द्वारा समाकलन कहते हैं। इसे हम कुछ उदाहरणों से समझते हैं।

टिप्पणी

(i) हम देखते हैं कि यदि $f$ का प्रतिअवकलज $\mathrm{F}$ है तो $\mathrm{F}+\mathrm{C}$, जहाँ $\mathrm{C}$ एक अचर है, भी $f$ का एक प्रतिअवकलज है। इस प्रकार यदि हमें फलन $f$ का एक प्रतिअवकलज $\mathrm{F}$ ज्ञात है तो हम $\mathrm{F}$ में कोई भी अचर जोड़कर $f$ के अनंत प्रतिअवकलज लिख सकते हैं जिन्हें $\mathrm{F}(x)+\mathrm{C}$, $\mathrm{C}\in \mathbf{R}$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। अनुप्रयोगों में सामान्यतः एक अतिरिक्त प्रतिबंध को संतुष्ट करना आवश्यक होता है जिससे $\mathrm{C}$ का एक विशिष्ट मान प्राप्त होता है और जिसके परिणामस्वरूप दिए हुए फलन का एक अद्वितीय प्रतिअवकलज प्राप्त होता है। (ii) कभी-कभी $\mathrm{F}$ को प्रारंभिक फलनों जैसे कि बहुपद, लघुगणकीय, चर घातांकी, त्रिकोणमितीय, और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, इत्यादि के रूप में अभिव्यक्त करना असंभव होता है। इसलिए $\int f(x)dx$ ज्ञात करना अवरुद्ध हो जाता है। उदाहरणतः निरीक्षण विधि से $\int e^{-x^2}dx$ को ज्ञात करना असंभव है क्योंकि निरीक्षण से हम ऐसा फलन ज्ञात नहीं कर सकते जिसका अवकलज $e^{-x^2}$ है।

(iii) यदि समाकल का चर $x$, के अतिरिक्त अन्य कोई है तो समाकलन के सूत्र तदनुसार रूपांतरित कर लिए जाते हैं। उदाहरणत:

$$\int y^{4}dy=\frac{y^{4+1}}{4+1}+\mathrm{C}=\frac{1}{5}{y}^5+\mathrm{C}$$

प्रश्नावली 7.1

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

1. $\sin 2x$

2. $\cos 3x$

3. $e^{2x}$

4. $(ax+b{)}^2$

5. $\sin 2x-4e^{3x}$

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए:

6. $\int (4e^{3x}+1)dx$

7. $\int x^2(1-\frac{1}{x^2})dx$

8. $\int (a{x}^2+bx+c)dx$

9. $\int (2x^2+e^x)dx$

10. $\int {(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}dx$

11. $\int \frac{x^3+5x^2-4}{x^2}dx$

12. $\int \frac{x^3+3x+4}{\sqrt{x}}dx$

13. $\int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}dx$

14. $\int (1-x)\sqrt{x}dx$

15. $\int \sqrt{x}(3x^2+2x+3)dx$

16. $\int (2x-3\cos x+e^x)dx$

17. $\int (2x^2-3\sin x+5\sqrt{x})dx$

18. $\int \sec x(\sec x+\tan x)dx$

19. $\int \frac{{\sec }^{2}x}{{\mathrm{cosec}}^{2}x}dx$

20. $\int \frac{2-3\sin x}{{\cos }^{2}x}dx$

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

21. $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})$ का प्रतिअवकलज है: (A) $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{2}}+\mathrm{C}$ (B) $\frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}{x}^2+\mathrm{C}$ (C) $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+\mathrm{C}$ (D) $\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+\mathrm{C}$

22. यदि $\frac{d}{dx}f(x)=4x^3-\frac{3}{x^4}$ जिसमें $f(2)=0$ तो $f(x)$ है: (A) $x^4+\frac{1}{x^3}-\frac{129}{8}$ (B) $x^3+\frac{1}{x^4}+\frac{129}{8}$ (C) $x^4+\frac{1}{x^3}+\frac{129}{8}$ (D) $x^3+\frac{1}{x^4}-\frac{129}{8}$

7.3 समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration)

पिछले परिच्छेद में हमने ऐसे समाकलनों की चर्चा की थी, जो कुछ फलनों के अवकलजों से सरलतापूर्वक प्राप्त किए जा सकते हैं। यह निरीक्षण पर आधारित विधि थी, इसमें ऐसे फलन $\mathrm{F}$ की खोज की जाती है जिसका अवकलज $f$ है इससे $f$ के समाकलन की प्राप्ति होती है। तथापि निरीक्षण पर आधारित यह विधि अनेक फलनों की स्थिति में बहुत उचित नहीं है। अतः समाकलनों को प्रामाणिक रूप में परिवर्तित करते हुए उन्हें ज्ञात करने के लिए हमें अतिरिक्त विधियाँ विकसित करने की आवश्यकता है। इनमें मुख्य विधियाँ निम्नलिखित पर आधारित हैं:

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

2. आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन

3. खंडशः समाकलन

7.3.1 प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution)

इस उप परिच्छेद में हम प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन पर विचार करेंगे। स्वतंत्र चर $x$ को $t$ में परिवर्तित करने के लिए $x=g(t)$ प्रतिस्थापित करते हुए दिए गए समाकलन $\int f(x)dx$ को अन्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

$$\mathrm{I}=\int f(x)dx\text{ पर विचार कीजिए }$$

अब $x=g(t)$ प्रतिस्थापित कीजिए ताकि $\frac{dx}{dt}=g^{\prime }(t)$

हम

$$dx=g^{\prime }(t)dt\text{ लिखते हैं। }$$

इस प्रकार

$$\mathrm{I}=\int f(x)dx=\int f\{g(t)\}{g}^{\prime }(t)dt$$

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन के लिए यह चर परिवर्तन का सूत्र हमारे पास उपलब्ध एक महत्वपूर्ण साधन है। उपयोगी प्रतिस्थापन क्या होगा इसका अनुमान लगाना हमेशा महत्वपूर्ण है। सामान्यतः हम एक ऐसे फलन के लिए प्रतिस्थापन करते हैं जिसका अवकलज भी समाकल्य में सम्मिलित हों, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों द्वारा स्पष्ट किया गया है।

प्रश्नावली 7.2

1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।

1. $\frac{2x}{1+x^2}$

2. $\frac{(\log x{)}^2}{x}$

3. $\frac{1}{x+x\log x}$

4. $\sin x\sin (\cos x)$

5. $\sin (ax+b)\cos (ax+b)$

6. $\sqrt{ax+b}$

7. $x\sqrt{x+2}$

8. $x\sqrt{1+2x^2}$

9. $(4x+2)\sqrt{x^2+x+1}$

10. $\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

11. $\frac{x}{\sqrt{x+4}},x>0$

12. ${(x^3-1)}^{\frac{1}{3}}{x}^5$

13. $\frac{x^2}{{(2+3x^3)}^3}$

14. $\frac{1}{x(\log x{)}^m},x>0,m\ne 1$

15. $\frac{x}{9-4x^2}$

16. $e^{2x+3}$

17. $\frac{x}{e^{x^2}}$

18. $\frac{e^{{\tan }^{-1}x}}{1+x^2}$

19. $\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

20. $\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$

21. ${\tan }^2(2x-3)$

22. ${\sec }^2(7-4x)$

23. $\frac{{\sin }^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$

24. $\frac{2\cos x-3\sin x}{6\cos x+4\sin x}$

25. $\frac{1}{{\cos }^{2}x(1-\tan x{)}^2}$

26. $\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

27. $\sqrt{\sin 2x}\cos 2x$

28. $\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}$

29. $\cot x\log \sin x$

30. $\frac{\sin x}{1+\cos x}$

31. $\frac{\sin x}{(1+\cos x{)}^2}$

32. $\frac{1}{1+\cot x}$

33. $\frac{1}{1-\tan x}$

34. $\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x\cos x}$

35. $\frac{(1+\log x{)}^2}{x}$

36. $\frac{(x+1)(x+\log x{)}^2}{x}$

37. $\frac{x^3\sin ({\tan }^{-1}{x}^4)}{1+x^8}$

प्रश्न 38 एवं 39 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

38. $\int \frac{10x^9+{10}^x{\log }_e^{10}dx}{x^{10}+{10}^x}$ बराबर है:

(A) ${10}^x-x^{10}+\mathrm{C}$

(B) ${10}^x+x^{10}+\mathrm{C}$

(C) ${({10}^x-x^{10})}^{-1}+\mathrm{C}$

(D) $\log ({10}^x+x^{10})+\mathrm{C}$

39. $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ बराबर है:

(A) $\tan x+\cot x+C$

(B) $\tan x-\cot x+C$

(C) $\tan x\cot x+\mathrm{C}$

(D) $\tan x-\cot 2x+C$

7.3.2 त्रिकोणमितीय सर्व-समिकाओं के उपयोग द्वारा समाकलन (Integration using trigonometric identities)

जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन निहित होते हैं, तो हम समाकलन ज्ञात करने के लिए कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों के द्वारा समझाया गया है।

प्रश्नावली 7.3

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।

1. ${\sin }^2(2x+5)$

2. $\sin 3x\cos 4x$

3. $\cos 2x\cos 4x\cos 6x$

4. ${\sin }^3(2x+1)$

5. ${\sin }^{3}x{\cos }^{3}x$

6. $\sin x\sin 2x\sin 3x$

7. $\sin 4x\sin 8x$

8. $\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$

9. $\frac{\cos x}{1+\cos x}$

10. ${\sin }^{4}x$

11. ${\cos }^{4}2x$

12. $\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}$

13. $\frac{\cos 2x-\cos 2\alpha }{\cos x-\cos \alpha }$

14. $\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2x}$

15. ${\tan }^{3}2x\sec 2x$

16. ${\tan }^{4}x$

17. $\frac{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

18. $\frac{\cos 2x+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$

19. $\frac{1}{\sin x{\cos }^{3}x}$

20. $\frac{\cos 2x}{(\cos x+\sin x{)}^2}$

21. ${\sin }^{-1}(\cos x)$

22. $\frac{1}{\cos (x-a)\cos (x-b)}$

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए।

23. $\int \frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx$ बराबर है:

(A) $\tan x+\cot x+C$

(B) $\tan x+\mathrm{cosec}x+C$

(C) $-\tan x+\cot x+C$

(D) $\tan x+\sec x+C$

24. $\int \frac{e^x(1+x)}{{\cos }^2\left(e^{x}x\right)}dx$ बराबर है:

(A) $-\cot \left(e{x}^x\right)+\mathrm{C}$

(B) $\tan \left(x{e}^x\right)+\mathrm{C}$

(C) $\tan \left(e^x\right)+\mathrm{C}$

(D) $\cot \left(e^x\right)+\mathrm{C}$

7.4 कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन (Integrals of Some Particular Functions)

इस परिच्छेद में हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण समाकलन सूत्रों की व्याख्या करेंगे और बहुत से दूसरे संबंधित प्रामाणिक समाकलनों को ज्ञात करने में उनका प्रयोग करेंगे।

(1) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathrm{C}$

(2) $\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+\mathrm{C}$

(3) $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a}+C$

(4)$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\log |x+\sqrt{x^2-a^2}|+\mathrm{C}$

(5)$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+\mathrm{C}$

(6) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log |x+\sqrt{x^2+a^2}|+\mathrm{C}$

अब हम उपर्युक्त परिणामों को सिद्ध करते हैं।

(1) हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}$

$$=\frac{1}{2a}\left[\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}\right]=\frac{1}{2a}[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}]$$

इसलिए $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}[\int \frac{dx}{x-a}-\int \frac{dx}{x+a}]$

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2a}[\log |(x-a)|-\log |(x+a)|]+\mathrm{C}\\ & =\frac{1}{2a}\log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathrm{C}\end{array}$$

(2) उपर्युक्त (1) के अनुसार हम पाते हैं कि

$\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\left[\frac{(a+x)+(a-x)}{(a+x)(a-x)}\right]=\frac{1}{2a}[\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}]$

इसलिए $\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}[\int \frac{dx}{a-x}+\int \frac{dx}{a+x}]$

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2a}[-\log |a-x|+\log |a+x|]+\mathrm{C}\\ & =\frac{1}{2a}\log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+\mathrm{C}\end{array}$$

टिप्पणी (1) में उपयोग की गई विधि की व्याख्या परिच्छेद 7.5 में की जाएगी।

(3) $x=a\tan \theta$ रखने पर $dx=a{\sec }^2\theta d\theta$

इसलिए $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2{\tan }^2\theta +a^2}$

$$=\frac{1}{a}\int d\theta =\frac{1}{a}\theta +\mathrm{C}=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a}+\mathrm{C}$$

(4) मान लीजिए $x=a\sec \theta$ तब $dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$

इसलिए $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\int \frac{a\sec \theta \tan \theta d\theta }{\sqrt{a^2{\sec }^2\theta -a^2}}$

$$=\int \sec \theta d\theta =\log |\sec \theta +\tan \theta |+C_1$$

$$\begin{array}{rl}& =\log |\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}|+{\mathrm{C}}_1\\ & =\log |x+\sqrt{x^2-a^2}|-\log |a|+{\mathrm{C}}_1\\ & =\log |x+\sqrt{x^2-a^2}|+\mathrm{C},\text{ जहाँ }\mathrm{C}={\mathrm{C}}_1-\log |a|\end{array}$$

(5) मान लीजिए कि $x=a\sin \theta$ तब $dx=a\cos \theta d\theta$

इसलिए $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }}=\int d\theta =\theta +\mathrm{C}={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+\mathrm{C}$

(6) मान लीजिए कि $x=a\tan \theta$ तब $dx=a{\sec }^2\theta d\theta$

इसलिए $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{\sqrt{a^2{\tan }^2\theta +a^2}}$

$$=\int \sec \theta d\theta =\log |(\sec \theta +\tan \theta )|+C_1$$

$$\begin{array}{rl}& =\log |\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}|+{\mathrm{C}}_1\\ & =\log |x+\sqrt{x^2+a^2}|-\log |a|+{\mathrm{C}}_1\\ & =\log |x+\sqrt{x^2+a^2}|+\mathrm{C},\text{ जहाँ }\mathrm{C}={\mathrm{C}}_1-\log |a|\end{array}$$

इन प्रामाणिक सूत्रों के प्रयोग से अब हम कुछ और सूत्र प्राप्त करते हैं जो अनुप्रयोग की दृष्टि से उपयोगी हैं और दूसरे समाकलनों का मान ज्ञात करने के लिए इनका सीधा प्रयोग किया जा सकता है।

(7) समाकलन $\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$, ज्ञात करने के लिए हम

$a{x}^2+bx+c=a[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}]=a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2})]$ लिखते हैं।

अब $x+\frac{b}{2a}=t$ रखने पर $dx=dt$ एवं $\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=\pm k^2$ लिखते हुए हम पाते हैं कि $(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2})$ के चिह्न पर निर्भर करते हुए यह समाकलन $\frac{1}{a}\int \frac{dt}{t^2\pm k^2}$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है और इस प्रकार इसका मान ज्ञात किया जा सकता है।

(8) $\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$, के प्रकार के समाकलन को ज्ञात करने के लिए (7) की भाँति आगे बढ़ते हुए प्रामाणिक सूत्रों का उपयोग करके समाकलन ज्ञात किया जा सकता है।

(9) $\int \frac{px+q}{a{x}^2+bx+c}dx$, जहाँ $p,q,a,b,c$ अचर हैं, के प्रकार के समाकलन ज्ञात करने के लिए हम ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ $A$ तथा $B$ ज्ञात करते हैं ताकि

$$px+q=\mathrm{A}\frac{d}{dx}(a{x}^2+bx+c)+\mathrm{B}=\mathrm{A}(2ax+b)+\mathrm{B}$$

$\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$, ज्ञात करने के लिए हम दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचरों को समान करते हैं। $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ के ज्ञात हो जाने पर समाकलन ज्ञात प्रामाणिक रूप में परिवर्तित हो जाता है।

(10) $\int \frac{(px+q)dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$, के प्रकार के समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए हम (9) की भाँति आगे बढ़ते हैं और समाकलन को ज्ञात प्रामाणिक रूपों में परिवर्तित करते हैं। आइए उपर्युक्त विधियों को कुछ उदाहरणों की सहायता से समझते हैं।

प्रश्नावली 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

1. $\frac{3x^2}{x^6+1}$

2. $\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}$

3. $\frac{1}{\sqrt{(2-x{)}^2+1}}$

4. $\frac{1}{\sqrt{9-25x^2}}$

5. $\frac{3x}{1+2x^4}$

6. $\frac{x^2}{1-x^6}$

7. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$

8. $\frac{x^2}{\sqrt{x^6+a^6}}$

9. $\frac{{\sec }^{2}x}{\sqrt{{\tan }^{2}x+4}}$

10. $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

11. $\frac{1}{9x^2+6x+5}$

12. $\frac{1}{\sqrt{7-6x-x^2}}$

13. $\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$

14. $\frac{1}{\sqrt{8+3x-x^2}}$

15. $\frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}$

16. $\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x-3}}$

17. $\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}$

18. $\frac{5x-2}{1+2x+3x^2}$

19. $\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}$

20. $\frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}}$

21. $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}}$

22. $\frac{x+3}{x^2-2x-5}$

23. $\frac{5x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}}$

प्रश्न 24 एवं 25 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

24. $\int \frac{dx}{x^2+2x+2}$ बराबर है :

(A) $x{\tan }^{-1}(x+1)+\mathrm{C}$

(B) ${\tan }^{-1}(x+1)+\mathrm{C}$

(C) $(x+1){\tan }^{-1}x+C$

(D) ${\tan }^{-1}x+\mathrm{C}$

25. $\int \frac{dx}{\sqrt{9x-4x^2}}$ बराबर है :

(A) $\frac{1}{9}{\sin }^{-1}\left(\frac{9x-8}{8}\right)+\mathrm{C}$

(B) $\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{8x-9}{9}\right)+\mathrm{C}$

(C) $\frac{1}{3}{\sin }^{-1}\left(\frac{9x-8}{8}\right)+C$

(D) $\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{9x-8}{9}\right)+C$

7.5 आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions)

स्मरण कीजिए कि एक परिमेय फलन $\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}$, दो बहुपदों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ $\mathrm{P}(x)$ एवं $\mathrm{Q}(x),x$ में बहुपद हैं तथा $\mathrm{Q}(x)\ne 0$. यदि $\mathrm{P}(x)$ की घात $\mathrm{Q}(x)$ की घात से कम है, तो परिमेय फलन उचित परिमेय फलन कहलाता है अन्यथा विषम परिमेय फलन कहलाता है। विषम परिमेय फलनों को लम्बी भाग विधि द्वारा उचित परिमेय फलन के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। इस प्रकार यदि $\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}$ विषम परिमेय फलन है, तो $\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}=\mathrm{T}(x)+\frac{{\mathrm{P}}_1(x)}{\mathrm{Q}(x)}$, जहाँ $\mathrm{T}(x)x$ में एक बहुपद है और $\frac{{\mathrm{P}}_1(x)}{\mathrm{Q}(x)}$ एक उचित परिमेय फलन है। हम जानते हैं कि एक बहुपद का समाकलन कैसे किया जाता है, अतः किसी भी परिमेय फलन का समाकलन किसी उचित परिमेय फलन के समाकलन की समस्या के रूप में परिवर्तित हो जाता है। यहाँ पर हम जिन परिमेय फलनों के समाकलन पर विचार करेंगे, उनके हर रैखिक और द्विघात गुणनखंडों में विघटित होने वाले होंगे।

मान लीजिए कि हम $\int \frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}dx$ का मान ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}$ एक उचित परिमेय फलन है। एक विधि, जिसे आंशिक भिन्नों में वियोजन के नाम से जाना जाता है, की सहायता से दिए हुए समाकल्य को साधारण परिमेय फलनों के योग के रूप मे लिखा जाना संभव है। इसके पश्चात् पूर्व ज्ञात विधियों की सहायता से समाकलन सरलतापूर्वक किया जा सकता है। निम्नलिखित सारणी 7.2 निर्दिष्ट करती है, कि विभिन्न प्रकार के परिमेय फलनों के साथ किस प्रकार के सरल आंशिक भिन्नों को संबद्ध किया जा सकता है।

सारणी 7.2

उपर्युक्त सारणी में $\mathrm{A},\mathrm{B}$ एवं $\mathrm{C}$ वास्तविक संख्याएँ हैं जिनको उचित विधि से ज्ञात करते हैं।

प्रश्नावली 7.5

1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए।

1. $\frac{x}{(x+1)(x+2)}$

2. $\frac{1}{x^2-9}$

3. $\frac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

4. $\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

5. $\frac{2x}{x^2+3x+2}$

6. $\frac{1-x^2}{x(1-2x)}$

7. $\frac{x}{(x^2+1)(x-1)}$

8. $\frac{x}{(x-1{)}^2(x+2)}$

9. $\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}$

10. $\frac{2x-3}{(x^2-1)(2x+3)}$

11. $\frac{5x}{(x+1)(x^2-4)}$

12. $\frac{x^3+x+1}{x^2-1}$

13. $\frac{2}{(1-x)(1+x^2)}$

14. $\frac{3x-1}{(x+2{)}^2}$

15. $\frac{1}{x^4-1}$

16. $\frac{1}{x(x^n+1)}$ [संकेतः अंश एवं हर को $x^{n-1}$ से गुणा कीजिए और $x^n=t\text{ रखिए ] }$$

17. $\frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)}$ [संकेतः $\sin x=t$ रखिए]

18. $\frac{(x^2+1)(x^2+2)}{(x^2+3)(x^2+4)}$ 19. $\frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)}$ 20. $\frac{1}{x(x^4-1)}$