In most sciences one generation tears down what another has built and what one has established another undoes. In Mathematics alone each generation builds a new story to the old structure. - HERMAN HANKEL

10.1 भूमिका (Introduction)

अपने दैनिक जीवन में हमें अनेक प्रश्न मिलते हैं जैसे कि आपकी ऊँचाई क्या है? एक फुटबाल के खिलाड़ी को अपनी ही टीम के दूसरे खिलाड़ी के पास गेंद पहुँचाने के लिए गेंद पर किस प्रकार प्रहार करना चाहिए? अवलोकन कीजिए कि प्रथम प्रश्न का संभावित उत्तर 1.6 मीटर हो सकता है। यह एक ऐसी राशि है जिसमें केवल एक मान परिमाण जो एक वास्तविक संख्या है, सम्मिलित है। ऐसी राशियाँ अदिश कहलाती है। तथापि दूसरे प्रश्न का उत्तर एक ऐसी राशि है (जिसे बल कहते हैं) जिसमें मांसपेशियों की शक्ति परिमाण के साथ-साथ दिशा (जिसमें दूसरा खिलाड़ी स्थित है) भी सम्मिलित है। ऐसी राशियाँ सदिश कहलाती है। गणित, भौतिकी एवं अभियांत्रिकी में ये दोनों प्रकार की राशियाँ नामतः अदिश राशियाँ, जैसे कि लंबाई, द्रव्यमान, समय, दूरी, गति, क्षेत्रफल, आयतन, तापमान, कार्य, धन,

W.R. Hamilton (1805-1865)

वोल्टता, घनत्व, प्रतिरोधक इत्यादि एवं सदिश राशियाँ जैसे कि विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, भार, संवेग, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता इत्यादि बहुधा मिलती हैं।

इस अध्याय में हम सदिशों की कुछ आधारभूत संकल्पनाएँ, सदिशों की विभिन्न संक्रियाएँ और इनके बीजीय एवं ज्यामितीय गुणधर्मों का अध्ययन करेंगे। इन दोनों प्रकार के गुणधर्मों का सम्मिलित रूप सदिशों की संकल्पना का पूर्ण अनुभूति देता है और उपर्युक्त चर्चित क्षेत्रों में इनकी विशाल उपयोगिता की ओर प्रेरित करता है।

10.2 कुछ आधारभूत संकल्पनाएँ (Some Basic Concepts)

मान लीजिए कि किसी तल अथवा त्रि-विमीय अंतरिक्ष में $l$ कोई सरल रेखा है। तीर के निशानों की सहायता से इस रेखा को दो दिशाएँ प्रदान की जा सकती हैं। इन दोनों में से निश्चित दिशा वाली कोई

भी एक रेखा दिष्ट रेखा कहलाती है [आकृति 10.1 (i), (ii)]।

(i)

(ii)

(iii)

आकृति 10.1

अब प्रेक्षित कीजिए कि यदि हम रेखा ’ $l$ ’ को रेखाखंड $\mathrm{AB}$ तक प्रतिबंधित कर देते हैं तब दोनों मे से किसी एक दिशा वाली रेखा ’ $l$ ’ पर परिमाण निर्धारित हो जाता है। इस प्रकार हमें एक दिष्ट रेखाखंड प्राप्त होता है (आकृति 10.1(iii))।अतः एक दिष्ट रेखाखंड में परिमाण एवं दिशा दोनों होते हैं।

परिभाषा 1 एक ऐसी राशि जिसमें परिमाण एवं दिशा दोनों होते हैं, सदिश कहलाती है।

ध्यान दीजिए कि एक दिष्ट रेखाखंड सदिश होता है (आकृति 10.1(iii)), जिसे $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ अथवा साधारणतः $\overrightarrow{a}$, के रूप में निर्दिष्ट करते हैं और इसे सदिश ’ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ’ अथवा सदिश ’ $\overrightarrow{a}$ ’ के रूप में पढ़ते हैं।

वह बिंदु $\mathrm{A}$ जहाँ से सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ प्रारंभ होता है, प्रारंभिक बिंदु कहलाता है और वह बिंदु $\mathrm{B}$ जहाँ पर सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, समाप्त होता है अंतिम बिंदु कहलाता है। किसी सदिश के प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी सदिश का परिमाण (अथवा लंबाई) कहलाता है और इसे $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ अथवा $|\overrightarrow{a}|$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। तीर का निशान सदिश की दिशा को निर्दिष्ट करता है।

टिप्पणी क्योंकि लंबाई कभी भी ऋणात्मक नहीं होती है इसलिए संकेतन $|\overrightarrow{a}|<0$ का कोई अर्थ नहीं है।

स्थिति सदिश (Position Vector)

कक्षा XI से, त्रि-विमीय दक्षिणावर्ती समकोणिक निर्देशांक पद्धति को स्मरण कीजिए ( आकृति $10.2(\mathrm{i}))।$ अंतरिक्ष में मूल बिंदु $\mathrm{O}(0,0,0)$ के सापेक्ष एक ऐसा बिंदु $\mathrm{P}$ लीजिए जिसके निर्देशांक $(x,y,z)$ है। तब सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ जिसमें $\mathrm{O}$ और $\mathrm{P}$ क्रमशः प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदु हैं, $\mathrm{O}$ के

आकृति 10.2

सापेक्ष बिंदु $\mathrm{P}$ का स्थिति सदिश कहलाता है। दूरी सूत्र (कक्षा $\mathrm{XI}$ से) का उपयोग करते हुए $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ (अथवा $\overrightarrow{r}$ ) का परिमाण निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है:

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

व्यवहार में मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष, बिंदुओं $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ इत्यादि के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ से निर्दिष्ट किए जाते हैं [आकृति 10.2(ii)]।

दिक्-कोसाइन (Direction Cosines)

एक बिंदु $\mathrm{P}(x,y,z)$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OP}}($ अथवा $\overrightarrow{r}$ ) लीजिए जैसा कि आकृति 10.3 में दर्शाया गया है। सदिश $\overrightarrow{r}$ द्वारा $x,y$ एवं $z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए क्रमशः कोण

$\alpha ,\beta$, एवं $\gamma$ दिशा कोण कहलाते हैं। इन कोणों के कोसाइन मान अर्थात् $\cos \alpha ,\cos \beta$ एवं $\cos \gamma$ सदिश $\overrightarrow{r}$ के दिक्-कोसाइन कहलाते हैं और सामान्यतः इनको क्रमशः $l,m$ एवं $n$ से निर्दिष्ट किया जाता है। आकृति 10.3 , से हम देखते हैं कि त्रिभुज OAP एक समकोण त्रिभुज है और इस त्रिभुज से हम $\cos \alpha =\frac{x}{r}(r$ को $|\overrightarrow{r}|$ के लिए प्रयोग किया गया है) प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार समकोण त्रिभुजों $\mathrm{OBP}$ एवं $\mathrm{OCP}$ से हम $\cos \beta =\frac{y}{r}$ एवं $\cos \gamma =\frac{z}{r}$ लिख सकते हैं। इस प्रकार बिंदु $\mathrm{P}$ के निर्देशांकों को $(lr,mr,nr)$ के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। दिक्-कोसाइन के समानुपाती संख्याएँ $lr$, $mr$ एवं $nr$ सदिश $\overrightarrow{r}$ के दिक्-अनुपात कहलाते हैं और इनको क्रमश: $a,b$ तथा $c$ से निर्दिष्ट किया जाता है।

टिप्पणी हम नोट कर सकते हैं कि $l^2+m^2+n^2=1$ परंतु सामान्यत: $a^2+b^2+c^2\ne 1$

10.3 सदिशों के प्रकार (Types of Vectors)

शून्य सदिश [Zero (null) Vector] एक सदिश जिसके प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदु संपाती होते हैं, शून्य सदिश कहलाता है और इसे $\overrightarrow{\mathbf{0}}$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। शून्य सदिश को कोई निश्चित दिशा प्रदान नहीं की जा सकती क्योंकि इसका परिमाण शून्य होता है अथवा विकल्पतः इसको कोई भी दिशा धारण किए हुए माना जा सकता है। सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AA}},\overrightarrow{\mathrm{BB}}$ शून्य सदिश को निरूपित करते हैं।

मात्रक सदिश (Unit Vector) एक सदिश जिसका परिमाण एक (अथवा 1 इकाई) है मात्रक सदिश कहलाता है। किसी दिए हुए सदिश $\overrightarrow{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश को $\hat{a}$ से निर्दिष्ट किया जाता है। सह-आदिम सदिश (Co-initial Vectors) दो अथवा अधिक सदिश जिनका एक ही प्रारंभिक बिंदु है, सह आदिम सदिश कहलाते हैं।

संरेख सदिश (Collinear Vectors) दो अथवा अधिक सदिश यदि एक ही रेखा के समांतर है तो वे संरेख सदिश कहलाते हैं।

समान सदिश (Equal Vectors) दो सदिश $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ समान सदिश कहलाते हैं यदि उनके परिमाण एवं दिशा समान हैं। इनको $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ के रूप में लिखा जाता है।

ॠणात्मक सदिश (Negative of a Vector) एक सदिश जिसका परिमाण दिए हुए सदिश (मान लीजिए $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ) के समान है परंतु जिसकी दिशा दिए हुए सदिश की दिशा के विपरीत है, दिए हुए सदिश का ॠणात्मक कहलाता है। उदाहरणतः सदिश $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$, सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का ऋणात्मक है और इसे $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ के रूप में लिखा जाता है।

टिप्पणी उपर्युक्त परिभाषित सदिश इस प्रकार है कि उनमें से किसी को भी उसके परिमाण एवं दिशा को परिवर्तित किए बिना स्वयं के समांतर विस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार के सदिश स्वतंत्र सदिश कहलाते हैं। इस पूरे अध्याय में हम स्वतंत्र सदिशों की ही चर्चा करेंगे।

प्रश्नावली 10.1

1. उत्तर से ${30}^{\circ }$ पूर्व में $40\mathrm{km}$ के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।

2. निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।

(i) $10\mathrm{kg}$

(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम

(iii) ${40}^{\circ }$

(iv) 40 वाट

(v) ${10}^{-19}$ कूलंब

(vi) $20\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

3. निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।

(i) समय कालांश

(ii) दूरी

(iii) बल

(iv) वेग

(v) कार्य

4. आकृति 10.6 (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए।

(i) सह-आदिम

(ii) समान

(iii) संरेख परंतु असमान

5. निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए।

(i) $\overrightarrow{a}$ तथा $-\overrightarrow{a}$ संरेख हैं।

(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।

(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।

आकृति 10.6

(iv) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।

10.4 सदिशों का योगफल (Addition of Vectors)

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ से साधारणतः हमारा तात्पर्य है बिंदु $\mathrm{A}$ से बिंदु $\mathrm{B}$ तक विस्थापन। अब एक ऐसी स्थिति की चर्चा कीजिए जिसमें एक लड़की बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक चलती है और उसके बाद बिंदु $\mathrm{B}$ से बिंदु $\mathrm{C}$ तक चलती है (आकृति 10.7)। बिंदु $\mathrm{A}$ से बिंदु $C$ तक लड़की द्वारा किया गया कुल विस्थापन सदिश, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ से प्राप्त होता है और इसे $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है।

आकृति 10.7 यह सदिश योग का त्रिभुज नियम कहलाता है।

सामान्यतः, यदि हमारे पास दो सदिश $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ हैं [आकृति 10.8 (i)], तो उनका योग ज्ञात करने के लिए उन्हें इस स्थिति में लाया जाता है, ताकि एक का प्रारंभिक बिंदु दूसरे के अंतिम बिंदु के संपाती हो जाए [आकृति 10.8(ii)]।

(i)

(ii)

आकृति 10.8

उदाहरणतः आकृति 10.8 (ii) में, हमने सदिश $\overrightarrow{b}$ के परिमाण एवं दिशा को परिवर्तित किए बिना इस प्रकार स्थानांतरित किया है ताकि इसका प्रारंभिक बिंदु, $\overrightarrow{a}$ के अंतिम बिंदु के संपाती है तब त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की तीसरी भुजा $\mathrm{AC}$ द्वारा निरूपित सदिश $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ हमें सदिशों $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ का योग (अथवा परिणामी) प्रदान करता है, अर्थात् त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में हम पाते हैं कि $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ [आकृति 10.8 (ii)]। अब पुनः क्योंकि $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\overrightarrow{\mathrm{CA}}$, इसलिए उपर्युक्त समीकरण से हम पाते हैं कि

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}}=\overrightarrow{0}$$

इसका तात्पर्य यह है कि किसी त्रिभुज की भुजाओं को यदि एक क्रम में लिया जाए तो यह शून्य परिणामी की ओर प्रेरित करता है क्योंकि प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदु संपाती हो जाते हैं [आकृति 10.8(iii)]।

अब एक सदिश $\overrightarrow{{\mathrm{BC}}^{\prime }}$ की रचना इस प्रकार कीजिए ताकि इसका परिमाण सदिश $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, के परिमाण के समान हो, परंतु इसकी दिशा $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ की दिशा के विपरीत हो आकृति 10.8(iii) अर्थात् ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^{\prime }=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ तब त्रिभुज नियम का अनुप्रयोग करते हुए [आकृति 10.8(iii)] से हम पाते हैं कि $\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{{\mathrm{BC}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(-\overrightarrow{\mathrm{BC}})=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

सदिश $\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }},\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ के अंतर को निरूपित करता है।

अब किसी नदी के एक किनारे से दूसरे किनारे तक पानी के बहाव की दिशा के लंबवत् जाने वाली एक नाव की चर्चा करते हैं। तब इस नाव पर दो वेग सदिश कार्य कर रहे हैं, एक इंजन द्वारा नाव को दिया गया वेग और दूसरा नदी के पानी के बहाव का वेग। इन दो वेगों के युगपत प्रभाव से नाव वास्तव में एक भिन्न वेग से चलना शुरू करती है। इस नाव की प्रभावी गति एवं दिशा (अर्थात् परिणामी वेग) के बारे में यथार्थ विचार लाने के लिए हमारे पास सदिश योगफल का निम्नलिखित नियम है।

यदि हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं से निरूपित किए जाने वाले (परिमाण एवं दिशा सहित) दो सदिश $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ है (आकृति 10.9) तब समांतर चतुर्भुज की इन दोनों भुजाओं के उभयनिष्ठ बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण इन दोनों सदिशों के योग $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ को परिमाण एवं दिशा सहित निरूपित करता है। यह सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम कहलाता है।

आकृति 10.9

टिप्पणी त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए आकृति 10.9 से हम नोट कर सकते हैं कि $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ या $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (क्योंकि $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ) जो कि समांतर चतुर्भुज नियम है। अतः हम कह सकते हैं कि सदिश योग के दो नियम एक दूसरे के समतुल्य हैं।

सदिश योगफल के गुणधर्म (Properties of vector addition)

गुणधर्म 1 दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ के लिए

$$\begin{array}{}\text{(क्रमविनिमयता)}& \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\end{array}$$

उपपत्ति समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ को लीजिए (आकृति 10.10) मान लीजिए $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$, तब त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

अब, क्योंकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान एवं समांतर है, इसलिए आकृति 10.10 में $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$ है। पुनः त्रिभुज $\mathrm{ADC}$ में त्रिभुज नियम के प्रयोग से $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ $=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

अत: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

गुणधर्म 2 तीन सदिशों $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के लिए

आकृति 10.10 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ (साहचर्य गुण)

उपपत्ति मान लीजिए, सदिशों $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ को क्रमशः $\overrightarrow{\mathrm{PQ}},\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ एवं $\overrightarrow{\mathrm{RS}}$ से निरूपित किया गया है जैसा कि आकृति 10.11(i) और (ii) में दर्शाया गया है।

(i) आकृति 10.11

(ii)

तब

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}$$

और

$$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\overrightarrow{\mathrm{QS}}$$

इसलिए

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}$$

और

$$\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}$$

अत:

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$

टिप्पणी सदिश योगफल के साहचर्य गुणधर्म की सहायता से हम तीन सदिशों $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ का योगफल कोष्ठकों का उपयोग किए बिना $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ के रूप में लिखते हैं।

नोट कीजिए कि किसी सदिश $\overrightarrow{a}$ के लिए हम पाते हैं:

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$$

यहाँ शून्य सदिश $\overrightarrow{0}$ सदिश योगफल के लिए योज्य सर्वसमिका कहलाता है।

10.5 एक अदिश से सदिश का गुणन (Multiplication of a Vector by a Scalar)

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ एक दिया हुआ सदिश है और $\lambda$ एक अदिश है। तब सदिश $\overrightarrow{a}$ का अदिश $\lambda$, से गुणनफल जिसे $\lambda \overrightarrow{a}$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, सदिश $\overrightarrow{a}$ का अदिश $\lambda$ से गुणन कहलाता है। नोट कीजिए कि $\lambda \overrightarrow{a}$ भी सदिश $\overrightarrow{a}$ के संरेख एक सदिश है। $\lambda$ के मान धनात्मक अथवा ऋणात्मक होने के अनुसार $\lambda \overrightarrow{a}$ की दिशा, $\overrightarrow{a}$ के समान अथवा विपरीत होती है। $\lambda \overrightarrow{a}$ का परिमाण $\overrightarrow{a}$ के परिमाण का $|\lambda |$ गुणा होता है, अर्थात्

$$|\lambda \overrightarrow{a}|=|\lambda ||\overrightarrow{a}|$$

एक अदिश से सदिश के गुणन का ज्यामितीय चाक्षुषीकरण [रूप की कल्पना (visualisation)] आकृति 10.12 में दी गई है।

आकृति 10.12

जब $\lambda =-1$, तब $\lambda \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$ जो एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण $\overrightarrow{a}$ के समान है और दिशा $\overrightarrow{a}$ की दिशा के विपरीत है। सदिश $-\overrightarrow{a}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ का ऋणात्मक (अथवा योज्य प्रतिलोम)कहलाता है और हम हमेशा $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ पाते हैं।

और यदि $\lambda =\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}$, दिया हुआ है कि $\overrightarrow{a}\ne 0$, अर्थात् $\overrightarrow{a}$ एक शून्य सदिश नहीं है तब

$$|\lambda \overrightarrow{a}|=|\lambda ||\overrightarrow{a}|=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}|\overrightarrow{a}|=1$$

इस प्रकार $\lambda \overrightarrow{a},\overrightarrow{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश को निरूपित करता है। हम इसे

$$\hat{a}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}\text{ के रूप में लिखते हैं। }$$

टिप्पणी किसी भी अदिश $k$ के लिए $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

10.5.1 एक सदिश के घटक (Components of a vector)

आईए बिंदुओं $\mathrm{A}(1,0,0),\mathrm{B}(0,1,0)$ और $\mathrm{C}(0,0,1)$ को क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष एवं $z$-अक्ष पर लेते हैं। तब स्पष्टतः

$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\text{ और }|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$$

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ जिनमें से प्रत्येक का परिमाण 1 हैं ${\mathbf{X}}^K$ क्रमशः $\mathrm{OX},\mathrm{OY}$ और $\mathrm{OZ}$ अक्षों के अनुदिश मात्रक सदिश कहलाते हैं

आकृति 10.13 और इनको क्रमशः $\hat{i},\hat{j}$ और $\hat{k}$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (आकृति 10.13)।

अब एक बिंदु $\mathrm{P}(x,y,z)$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ लीजिए जैसा कि आकृति 10.14 में दर्शाया गया है। मान लीजिए कि बिंदु ${\mathrm{P}}_1$ से तल $\mathrm{XOY}$ पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु ${\mathrm{P}}_1$ है। इस प्रकार हम देखते हैं कि ${\mathrm{P}}_1\mathrm{P},z$-अक्ष के समांतर है। क्योंकि $\hat{i},\hat{j}$ एवं $\hat{k}$ क्रमशः $x,y$ एवं $z$-अक्ष के अनुदिश मात्रक सदिश है और $\mathrm{P}$ के निर्देशांकों की परिभाषा के अनुसार हम पाते हैं कि $\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{P}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}=z\hat{k}$. इसी प्रकार $\overrightarrow{{\mathrm{QP}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}=y\hat{j}$ और $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=x\hat{i}$. इस प्रकार हम पाते हैं कि

और

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{{\mathrm{QP}}_1}=x\hat{i}+y\hat{j}\\ & \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{P}}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\end{array}$$

इस प्रकार $\mathrm{O}$ के सापेक्ष $\mathrm{P}$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ (अथवा $\overrightarrow{r}$ ) $=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ के रूप में प्राप्त होता है।

किसी भी सदिश का यह रूप घटक रूप कहलाता है। यहाँ $x,y$ एवं $z,\overrightarrow{r}$ के अदिश घटक कहलाते हैं और $x\hat{i},y\hat{j}$ एवं $z\hat{k}$ क्रमागत अक्षों के अनुदिश $\overrightarrow{r}$ के सदिश घटक कहलाते हैं। कभी-कभी $x,y$ एवं $z$ को समकोणिक घटक भी कहा जाता है।

किसी सदिश $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$, की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का दो बार प्रयोग करके तुरंत ज्ञात की जा सकती है। हम नोट करते हैं कि समकोण त्रिभुज ${\mathrm{OQP}}_1$ में (आकृति 10.14)

$$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}\right|=\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2+{\left|\overrightarrow{{\mathrm{QP}}_1}\right|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$

और समकोण त्रिभुज ${\mathrm{OP}}_1\mathrm{P}$, में हम पाते हैं कि

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1\mathrm{P}}\right|}^2}=\sqrt{(x^2+y^2)+z^2}$$

अतः किसी सदिश $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ की लंबाई $|\overrightarrow{r}|=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ के रूप में प्राप्त होती है।

यदि दो सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ घटक रूप में क्रमशः $a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ और $b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ द्वारा दिए गए हैं तो

(i) सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ को योग

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1)\hat{i}+(a_2+b_2)\hat{j}+(a_3+b_3)\hat{k}\text{ के रूप में प्राप्त होता है। }$$

(ii) सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ का अंतर

$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1)\hat{i}+(a_2-b_2)\hat{j}+(a_3-b_3)\hat{k}\text{ के रूप में प्राप्त होता है। }$$

(iii) सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ समान होते हैं यदि और केवल यदि

$$a_1=b_1,a_2=b_2\text{ और }{a}_3=b_3$$

(iv) किसी अदिश $\lambda$ से सदिश $\overrightarrow{a}$ का गुणन

$$\lambda \overrightarrow{a}=\left(\lambda a_1\right)\hat{i}+\left(\lambda a_2\right)\hat{j}+\left(\lambda a_3\right)\hat{k}\text{ द्वारा प्रदत्त है। }$$

सदिशों का योगफल और किसी अदिश से सदिश का गुणन सम्मिलित रूप में निम्नलिखित वितरण-नियम से मिलता है

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ कोई दो सदिश हैं और $k$ एवं $m$ दो अदिश हैं तब

(i) $k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}=(k+m)\overrightarrow{a}$

(ii) $k(m\overrightarrow{a})=(km)\overrightarrow{a}$

(iii) $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

टिप्पणी

1. आप प्रेक्षित कर सकते हैं कि $\lambda$ के किसी भी मान के लिए सदिश $\lambda \overrightarrow{a}$ हमेशा सदिश $\overrightarrow{a}$ के संरेख है। वास्तव में दो सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ संरेख तभी होते हैं यदि और केवल यदि एक ऐसे शून्येतर अदिश $\lambda$ का अस्तित्व हैं ताकि $\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}$ हो। यदि सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ घटक रूप में दिए हुए हैं, अर्थात् $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$, तब दो सदिश संरेख होते हैं यदि और केवल यदि

$$\begin{array}{rl}& b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}=\lambda (a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k})\\ & \iff b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}=\left(\lambda a_1\right)\hat{i}+\left(\lambda a_2\right)\hat{j}+\left(\lambda a_3\right)\hat{k}\\ & \iff b_1=\lambda a_1,b_2=\lambda a_2,b_3=\lambda a_3\\ & \iff \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}=\lambda \end{array}$$

2. यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ तब $a_1,a_2,a_3$ सदिश $\overrightarrow{a}$ के दिक्-अनुपात कहलाते हैं।

3. यदि $l,m,n$ किसी सदिश के दिक्-कोसाइन हैं तब

$$l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k}=(\cos \alpha )\hat{i}+(\cos \beta )\hat{j}+(\cos \gamma )\hat{k}$$

दिए हुए सदिश की दिशा में मात्रक सदिश है जहाँ $\alpha ,\beta$ एवं $\gamma$ दिए हुए सदिश द्वारा क्रमशः $x$, $y$ एवं $z$ अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं।

10.5.2 दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश (Vector joining two points)

यदि ${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1,z_1)$ और ${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2,z_2)$ दो बिंदु हैं तब ${\mathrm{P}}_1$ को ${\mathrm{P}}_2$ से मिलाने वाला सदिश $\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1}$ है (आकृति 10.15)। ${\mathrm{P}}_1$ और ${\mathrm{P}}_2$ को मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से मिलाने पर और त्रिभुज नियम का प्रयोग करने पर हम त्रिभुज ${\mathrm{OP}}_1{\mathrm{P}}_2$ से पाते हैं कि $\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}$

सदिश योगफल के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए उपर्युक्त समीकरण निम्नलिखित रूप से लिखा जाता है।

$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}$$

आकृति 10.15

अर्थात्

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}& =(x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k})-(x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k})\\ & =(x_2-x_1)\hat{i}+(y_2-y_1)\hat{j}+(z_2-z_1)\hat{k}\end{array}$$

सदिश $\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$ का परिमाण $\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$ के रूप में प्राप्त होता है।

10.5.3 खंड सूत्र (Section Formula)

मान लीजिए मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ दो बिंदु हैं जिनको स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ से निरूपित किया गया है। बिंदुओं $P$ एवं $Q$ को मिलाने वाला रेखा खंड किसी तीसरे बिंदु $\mathrm{R}$ द्वारा दो प्रकार से विभाजित किया जा सकता है। अंत: (आकृति 10.16) एवं बाह्य (आकृति 10.17)। यहाँ हमारा उद्देश्य मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष बिंदु $\mathrm{R}$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ ज्ञात करना है। हम दोनों स्थितियों को एक-एक करके लेते हैं।

स्थिति 1 जब R, PQ को अंतः विभाजित करता है ( आकृति 10.16)। यदि $\mathrm{R},\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ को इस प्रकार विभाजित करता है कि $m\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=n\overrightarrow{\mathrm{PR}}$, जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक अदिश हैं तो हम कहते हैं

कि बिंदु $\mathrm{R},\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ को $m:n$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है। अब त्रिभुजों $\mathrm{ORQ}$ एवं $\mathrm{OPR}$ से

और

$$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}$$

इसलिए

$$m(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r})=n(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\text{ (क्यों?) }$$

अथवा

$$\begin{array}{}\text{(सरलकरनेपर)}& \overrightarrow{r}=\frac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n}\end{array}$$

अतः बिंदु $\mathrm{R}$ जो कि $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ को $m:n$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है का स्थिति सदिश

$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n}\text{ के रूप में प्राप्त होता है। }$$

स्थिति II जब R, PQ को बाह्य विभाजित करता है ( आकृति 10.17)। यह सत्यापन करना हम पाठक के लिए एक प्रश्न के रूप में छोड़ते हैं कि रेखाखंड $\mathrm{PQ}$ को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु $\mathrm{R}($ i.e., $\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}=\frac{m}{n})$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n}$ के रूप में प्राप्त होता है।

टिप्पणी यदि $\mathrm{R},\mathrm{PQ}$ का मध्य बिंदु है तो $m=n$ और इसलिए स्थिति $\mathrm{I}$ से $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ के मध्य बिंदु $\mathrm{R}$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$ के रूप में होगा।

प्रश्नावली 10.2

1. निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:

$$\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k};\overrightarrow{b}=2\hat{i}-7\hat{j}-3\hat{k};\overrightarrow{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$$

2. समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।

3. समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।

4. $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $2\hat{i}+3\hat{j}$ और $x\hat{i}+y\hat{j}$ समान हों।

5. एक सदिश का प्रारंभिक बिंदु $(2,1)$ है और अंतिम बिंदु $(-5,7)$ है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।

6. सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\overrightarrow{b}=-2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\hat{i}-6\hat{j}-7\hat{k}$ का योगफल ज्ञात कीजिए।

7. सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

8. सदिश $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$, के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ क्रमशः $(1,2,3)$ और $(4,5,6)$ हैं।

9. दिए हुए सदिशों $\overrightarrow{a}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, के लिए, सदिश $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

10. सदिश $5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।

11. दर्शाइए कि सदिश $2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ और $-4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}$ संरेख हैं।

12. सदिश $\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

13. बिंदुओं $\mathrm{A}(1,2,-3)$ एवं $\mathrm{B}(-1,-2,1)$ को मिलाने वाले एवं $\mathrm{A}$ से $\mathrm{B}$ की तरफ़ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

14. दर्शाइए कि सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ अक्षों $\mathrm{OX},\mathrm{OY}$ एवं $\mathrm{OZ}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।

15. बिंदुओं $\mathrm{P}(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})$ और $\mathrm{Q}(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में (i) अंतः (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

16. दो बिंदुओं $\mathrm{P}(2,3,4)$ और $\mathrm{Q}(4,1,-2)$ को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

17. दर्शाइए कि बिंदु $\mathrm{A},\mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$, जिनके स्थिति सदिश क्रमश: $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k},\overrightarrow{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।

18. त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ (आकृति 10.18), के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है।

(A) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}$

(B) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$

(C) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}$

(D) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}$

आकृति 10.18

19. यदि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है:

(A) $\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}$, किसी अदिश $\lambda$ के लिए

(B) $\overrightarrow{a}=\pm \overrightarrow{b}$

(C) $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।

(D) दोनों सदिशों $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ की दिशा समान है परंतु परिमाण विभिन्न हैं।

10.6 दो सदिशों का गुणनफल (Product of Two Vectors)

अभी तक हमने सदिशों के योगफल एवं व्यवकलन के बारे में अध्ययन किया है। अब हमारा उद्देश्य सदिशों का गुणनफल नामक एक दूसरी बीजीय संक्रिया की चर्चा करना है। हम स्मरण कर सकते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल एक संख्या होती है, दो आव्यूहों का गुणनफल एक आव्यूह होता है परंतु फलनों की स्थिति में हम उन्हें दो प्रकार से गुणा कर सकते हैं नामतः दो फलनों का बिंदुवार गुणन एवं दो फलनों का संयोजन। इसी प्रकार सदिशों का गुणन भी दो तरीके से परिभाषित किया जाता है। नामतः अदिश गुणनफल जहाँ परिणाम एक अदिश होता है और सदिश गुणनफल जहाँ परिणाम एक सदिश होता है। सदिशों के इन दो प्रकार के गुणनफलों के आधार पर ज्यामिती, यांत्रिकी एवं अभियांत्रिकी में इनके विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इस परिच्छेद में हम इन दो प्रकार के गुणनफलों की चर्चा करेंगे।

10.6.1 दो सदिशों का अदिश गुणनफल [Scalar (or dot) product of two vectors]

परिभाषा 2 दो शून्येतर सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और इसे $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ के रूप मे परिभाषित किया जाता है। जहाँ $\theta ,\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$, के बीच का कोण है और $0\le \theta \le \pi$ (आकृति 10.19)। यदि $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ अथवा $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$, तो $\theta$ परिभाषित नहीं है और इस स्थिति में हम $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ परिभाषित करते हैं।

आकृति 10.19 प्रेक्षण

1. $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ एक वास्तविक संख्या है।

2. मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो शून्येतर सदिश हैं तब $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ यदि और केवल यदि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ परस्पर लंबवत् हैं अर्थात् $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

3. यदि $\theta =0$, तब $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$

विशिष्टतः $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2$, क्योंकि इस स्थिति में $\theta =0$ है।

4. यदि $\theta =\pi$, तब $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$

विशिष्टत: $\overrightarrow{a}\cdot (-\overrightarrow{a})=-|\overrightarrow{a}{|}^2$, जैसा कि इस स्थिति में $\theta ,\pi$ के बराबर है।

5. प्रेक्षण 2 एवं 3 के संदर्भ में परस्पर लंबवत् मात्रक सदिशों $\hat{i},\hat{j}$ एवं $\hat{k}$, के लिए हम पाते हैं कि

तथा

$$\begin{array}{rl}& \hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1\\ & \hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{j}\cdot \hat{k}=\hat{k}\cdot \hat{i}=0\end{array}$$

6. दो शून्येतर सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$,

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\text{ अथवा }\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right)\text{ द्वारा दिया जाता है। }$$

7. अदिश गुणनफल क्रम विनिमेय है अर्थात्

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}\text{ (क्यों?) }$$

अदिश गुणनफल के दो महत्वपूर्ण गुणधर्म (Two important properties of scalar product)

गुणधर्म 1 (अदिश गुणनफल की योगफल पर वितरण नियम) मान लीजिए $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ तीन सदिश हैं तब $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$

गुणधर्म 2 मान लीजिए $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो सदिश हैं और $\lambda$ एक अदिश है, तो

$$(\lambda \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\lambda (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot (\lambda \overrightarrow{b})$$

यदि दो सदिश घटक रूप में $a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ एवं $b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$, दिए हुए हैं तब उनका अदिश गुणनफल निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=& (a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k})\cdot (b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k})\\ =& a_1\hat{i}\cdot (b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k})+a_2\hat{j}\cdot (b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k})+a_3\hat{k}\cdot (b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k})\\ =& a_1{b}_1(\hat{i}\cdot \hat{i})+a_1{b}_2(\hat{i}\cdot \hat{j})+a_1{b}_3(\hat{i}\cdot \hat{k})+a_2{b}_1(\hat{j}\cdot \hat{i})+a_2{b}_2(\hat{j}\cdot \hat{j})+a_2{b}_3(\hat{j}\cdot \hat{k})\\ & +a_3{b}_1(\hat{k}\cdot \hat{i})+a_3{b}_2(\hat{k}\cdot \hat{j})+a_3{b}_3(\hat{k}\cdot \hat{k})\end{array}$$

(उपर्युक्त गुणधर्म 1 और 2 का उपयोग करने पर)

$$=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

(प्रक्षेण 5 का उपयोग करने पर)

इस प्रकार $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

10.6.2 एक सदिश का किसी रेखा पर साथ प्रक्षेप (Projection of a vector on a line)

मान लीजिए कि एक सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ किसी दिष्ट रेखा $l$ (मान लीजिए) के साथ वामावर्त दिशा में $\theta$ कोण बनाता है। (आकृति 10.20 देखिए) तब $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का $l$ पर प्रक्षेप एक सदिश $\overrightarrow{p}$ (मान लीजिए) है जिसका परिमाण $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\cos \theta |$ है और जिसकी दिशा का $l$ की दिशा के समान अथवा विपरीत होना इस बात पर निर्भर है कि $\cos \theta$ धनात्मक है अथवा ऋणात्मक। सदिश $\overrightarrow{p}$ को प्रक्षेप सदिश कहते हैं और इसका परिमाण $|\overrightarrow{p}|$, निर्दिष्ट रेखा $l$ पर सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का प्रक्षेप कहलाता है। उदाहरणतः निम्नलिखित में से प्रत्येक आकृति में सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का रेखा $l$ पर प्रक्षेप सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ है। [आकृति 10.20 (i) से (iv) तक]

(i)

$({180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ })$

(iii)

(ii)

$({270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ })$

(iv)

आकृति 10.20

प्रेक्षण

1. रेखा $l$ के अनुदिश यदि $\hat{p}$ मात्रक सदिश है तो रेखा $l$ पर सदिश $\overrightarrow{a}$ का प्रक्षेप $\overrightarrow{a}.\hat{p}$ से प्राप्त होता है।

2. एक सदिश $\overrightarrow{a}$ का दूसरे सदिश $\overrightarrow{b}$, पर प्रक्षेप $\overrightarrow{a}\cdot \hat{b}$, अथवा $\overrightarrow{a}\cdot \left(\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right)$, अथवा $\frac{1}{|\overrightarrow{b}|}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ से प्राप्त होता है।

3. यदि $\theta =0$, तो $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का प्रक्षेप सदिश स्वयं $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ होगा और यदि $\theta =\pi$ तो $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का प्रक्षेप सदिश $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ होगा।

4. यदि $\theta =\frac{\pi }{2}$ अथवा $\theta =\frac{3\pi }{2}$ तो $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ का प्रक्षेप सदिश शून्य सदिश होगा।

टिप्पणी यदि $\alpha ,\beta$ और $\gamma$ सदिश $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ के दिक्-कोण हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन निम्नलिखित रूप में प्राप्त की जा सकती है।

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \hat{i}}{|\overrightarrow{a}||\hat{i}|}=\frac{a_1}{|\overrightarrow{a}|},\cos \beta =\frac{a_2}{|\overrightarrow{a}|},\text{ and }\cos \gamma =\frac{a_3}{|\overrightarrow{a}|}$$

यह भी ध्यान दीजिए कि $|\overrightarrow{a}|\cos \alpha ,|\overrightarrow{a}|\cos \beta$ और $|\overrightarrow{a}|\cos \gamma$ क्रमशः OX, OY तथा OZ के अनुदिश $\overrightarrow{a}$ के प्रक्षेप हैं अर्थात् सदिश $\overrightarrow{a}$ के अदिश घटक $a_1,a_2$ और $a_3$ क्रमश: $x,y$, एवं $z$ अक्ष के अनुदिश $\overrightarrow{a}$ के प्रक्षेप है। इसके अतिरिक्त यदि $\overrightarrow{a}$ एक मात्रक सदिश है तब इसको दिक्-कोसाइन की सहायता से

$$\overrightarrow{a}=\cos \alpha \hat{i}+\cos \beta \hat{j}+\cos \gamma \hat{k}$$

के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।

प्रश्नावली 10.3

1. दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ के परिमाण क्रमशः $\sqrt{3}$ एवं 2 हैं और $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\sqrt{6}$ है तो $\overrightarrow{a}$ तथा $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. सदिशों $\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ और $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

3. सदिश $\hat{i}+\hat{j}$ पर सदिश $\hat{i}-\hat{j}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

4. सदिश $\hat{i}+3\hat{j}+7\hat{k}$ का, सदिश $7\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

5. दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,

$\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}),\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}),\frac{1}{7}(6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$

यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।

6. यदि $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=8$ और $|\overrightarrow{a}|=8|\overrightarrow{b}|$ हो तो $|\overrightarrow{a}|$ एवं $|\overrightarrow{b}|$ ज्ञात कीजिए।

7. $(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\cdot (2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।

8. दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान है और इन के बीच का कोण ${60}^{\circ }$ है तथा इनका अदिश गुणनफल $\frac{1}{2}$ है।

9. यदि एक मात्रक सदिश $\overrightarrow{a}$, के लिए $(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a})=12$ हो तो $|\overrightarrow{x}|$ ज्ञात कीजिए।

10. यदि $\overrightarrow{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\overrightarrow{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=3\hat{i}+\hat{j}$ इस प्रकार है कि $\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ पर लंब है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

11. दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के लिए $|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a},|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}$ पर लंब है।

12. यदि $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=0$ और $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$, तो सदिश $\overrightarrow{b}$ के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

13. यदि $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ मात्रक सदिश इस प्रकार है कि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ तो $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

14. यदि $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ अथवा $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$, तब $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

15. यदि किसी त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ क्रमशः $(1,2,3),(-1,0,0),(0,1,2)$ हैं तो $\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$ ज्ञात कीजिए। [ $\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$, सदिशों $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ एवं $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ के बीच का कोण है]

16. दर्शाइए कि बिंदु $\mathrm{A}(1,2,7),\mathrm{B}(2,6,3)$ और $\mathrm{C}(3,10,-1)$ संरेख हैं।

17. दर्शाइए कि सदिश $2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ और $3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।