11.1 त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल

आप पिछली कक्षाओं में शब्दों त्रिज्यखंड (sector) और वृत्तखंड (segment of a circle) से पूर्व परिचित हैं। आपको याद होगा कि एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो, उस वृत्त का एक त्रिज्यखंड कहलाता है तथा वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो एक वृत्तखंड कहलाता है। इस प्रकार, आकृति 11.1 में, छायांकित भाग $OAPB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। $\mathrm{\angle }AOB$ इस त्रिज्यखंड का कोण कहलाता है। ध्यान दीजिए कि इसी

आवृति 11.1

आकृति 11.2 भाग $AQB$ भी जीवा $AB$ द्वारा निर्मित एक अन्य वृत्तखंड है। स्पष्ट कारणों से, $\mathrm{APB}$ लघु वृत्तखंड कहलाता है तथा $\mathrm{AQB}$ दीर्घ वृत्तखंड कहलाता है।

टिप्पणी: जब तक अन्यथा न कहा जाए, ‘वृत्तखंड’ और ‘त्रिज्यखंड’ लिखने से हमारा तात्पर्य क्रमशः लघु वृत्तखंड और लघु त्रिज्यखंड से होगा।

आइए उपरोक्त ज्ञान के आधार पर, इनके क्षेत्रफलों के परिकलित करने के कुछ संबंध (या सूत्र) ज्ञात करने का प्रयत्न करें।

मान लीजिए OAPB केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है (देखिए आकृति 11.3)। मान लीजिए $\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$ का अंशीय (degree) माप $\theta$ है।

आकृति 11.3

आप जानते हैं कि एक वृत्त [वस्तुतः एक वृत्तीय क्षेत्र या चकती (disc)] का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है।

एक तरीके से, हम इस वृत्तीय क्षेत्र को केंद्र $\mathrm{O}$ पर ${360}^{\circ }$ का कोण बनाने वाला (अंशीय माप 360) एक त्रिज्यखंड मान सकते हैं। फिर ऐकिक विधि (Unitary Method) का प्रयोग करके, हम त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल नीचे दर्शाए अनुसार ज्ञात कर सकते हैं:

जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप 360 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\pi r^2$

अतः, जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप 1 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^2}{360}$

इसलिए जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप $\theta$ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^2}{360}\times \theta =\frac{\theta }{360}\times \pi r^2$

इस प्रकार, हम वृत्त के एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के लिए, निम्नलिखित संबंध (या सूत्र) प्राप्त करते हैं :

कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2$,

जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $\theta$ त्रिज्यखंड का अंशों में कोण है। अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या हम इस त्रिज्यखंड की संगत चाप APB की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। हाँ, हम ऐसा कर सकते हैं। पुनः, ऐकिक विधि का प्रयोग करने तथा संपूर्ण वृत्त ( ${360}^{\circ }$ कोण वाले) की लंबाई $2\pi r$ लेने पर, हम चाप APB की

आकृति 11.4

वांछित लंबाई $\frac{\theta }{360}\times 2\pi r$ प्राप्त करते हैं।

अतः कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई $=\frac{\theta }{360}\times 2\pi r$

आइए अब केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्तखंड $\mathrm{APB}$ के क्षेत्रफल पर विचार करें (देखिए आकृति 11.4)। आप देख सकते हैं कि

वृत्तखंड $\mathrm{APB}$ का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड $\mathrm{OAPB}$ का क्षेत्रफल $-\mathrm{△}\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल

$$=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2-\mathrm{\Delta }\mathrm{OAB}\text{ का क्षेत्रफल }$$

टिप्पणी : क्रमशः आकृति 11.3 और आकृति 11.4 से, आप देख सकते हैं कि

दीर्घ त्रिज्यखंड $\mathrm{OAQB}$ का क्षेत्रफल $=\pi r^2$ - लघु त्रिज्यखंड $\mathrm{OAPB}$ का क्षेत्रफल

तथा

दीर्घ वृत्तखंड $\mathrm{AQB}$ का क्षेत्रफल $=\pi r^2$ - लघु वृत्तखंड $\mathrm{APB}$ का क्षेत्रफल

अब आइए इन अवधारणाओं (या परिणामों) को समझने के लिए कुछ उदाहरण लें।

11.2 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, के संगत चाप की लंबाई $\frac{\theta }{360}\times 2\pi r$ होती है।

2. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में $\theta$ है, का क्षेत्रफल $\frac{\theta }{360}\times \pi r^2$ होता है।

3. एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल-संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल