भौतिक वस्तुओं के प्रणाली और घूर्णनीय गति अभ्यास ०२
प्रश्न:
दो मोमेंट ऑफ इंजर्शिया I1 और I2 अपने संबंधित अक्षों (डिस्क के लिए सामान्य अक्ष और केंद्र से होकर गुजरते हैं) के बारे में विचार करें, और यह दोनों अक्षों को एक ही अक्ष के साथ संपर्क में आते हैं, जो प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जाओं के योग की तुलना में परिणामी प्रणतिक ऊर्जा क्या है? यह ऊर्जा खोने का लक्षण कैसे करें? ω1 ≠ ω2 लें।
उत्तर:
(a) दो डिस्क प्रणाली की कोणीय गति एकी दूसरे डिस्क की कोणीय गति के बराबर होती है, ω1 = ω2।
(b) प्राणियों की संयुक्त प्रणाली की किनेटिक ऊर्जा प्राणियों की प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जा के योग से कम होती है क्योंकि दो डिस्कों के बीच घर्षण के कारण कुछ ऊर्जा हानि होती है। यह ऊर्जा का हानि दो डिस्कों के बीच घर्षण द्वारा उत्पन्न गर्मी के कारण होती है। ω1 ≠ ω2 लेने के कारण।
प्रश्न:
हर विवरण को ध्यान से पढ़ें, और वजह के साथ कहें कि यदि वह सही है या गलत है। (a) चक्रण के दौरान, घर्षण की शक्ति केंद्रीय धमनि की गति की दिशा में ही काम करती है। (b) घुमते हुए संपर्क के बिंदु में क्षणिक गति शून्य होती है। (c) घुमते हुए संपर्क के बिंदु में क्षणिक त्वरण शून्य होती है। (d) पूर्ण घुमावन गति के लिए, घर्षण के खिलाफ काम हानि शून्य होती है। (e) सर्वश्रेष्ठ बिना घर्षण वाले घटित होते हुए एक पूरी दररोज़ी ढल जाने वाले प्लेट
उत्तर:
(a) सही। घुमते हुए, घर्षण की शक्ति केंद्रीय धमनि की गति की दिशा में ही काम करती है क्योंकि यह घुमने में शरीर की मदद करती है।
(b) गलत। घुमते हुए संपर्क के बिंदु में क्षणिक गति शून्य नहीं होती है क्योंकि संपर्क के बिंदु का तत्वावधान घट रहा है घुमवाने की वजह से।
(c) गलत। घुमते हुए संपर्क के बिंदु में क्षणिक त्वरण शून्य नहीं होती है क्योंकि संपर्क के बिंदु का तत्वावधान घट रहा है घुमवाने की वजह से।
(d) सही। पूर्ण घुमावन गति के लिए, घर्षण के खिलाफ काम हानि शून्य होती है क्योंकि शरीर का पिचकना नहीं होता है, इसलिए किसी भी घर्षण के खिलाफ काम नहीं किया जाता है।
(e) गलत। एक सविस्तृष्टता रहित रेखण में चल रहा चक्की घुमावने की गति होती है, न कि घर्षण की गति।
१. शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बल (एफजी) की गणना करें। इसके लिए शरीर का भार (एम) को गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा (जी) से गुणा करें। एफजी = एमजी
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Calculate the normal force (Fn) exerted by the inclined plane on the body. This can be done by multiplying the mass of the body by the component of the gravitational force perpendicular to the inclined plane. Fn = mg cos(θ)
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Calculate the frictional force (Ff) acting on the body. This can be done by multiplying the coefficient of friction (μ) between the body and the inclined plane by the normal force. Ff = μFn
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Calculate the net force (Fnet) acting on the body along the inclined plane. This can be done by subtracting the frictional force from the component of the gravitational force parallel to the inclined plane. Fnet = mg sin(θ) - Ff
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Calculate the torque (τ) exerted on the body about its axis of rotation. This can be done by multiplying the radius of gyration (k) squared by the net force acting on the body. τ = k^2 * Fnet
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Calculate the angular acceleration (α) of the body. This can be done by dividing the torque by the moment of inertia (I) of the body. α = τ / I
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Calculate the final angular velocity (ω) of the body at the bottom of the inclined plane. This can be done by multiplying the angular acceleration by the time it takes for the body to reach the bottom of the inclined plane (t). ω = α * t
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Calculate the linear velocity (v) of translation of the body at the bottom of the inclined plane. This can be done by multiplying the angular velocity by the radius of the body. v = ω * R
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Substitute the value of angular acceleration (α) from step 6 into the equation for torque (τ) in step 5, and solve for angular velocity (ω). ω = (k^2 * (mg sin(θ) - Ff)) / I
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Substitute the value of angular velocity (ω) from step 9 into the equation for linear velocity (v) in step 8, and solve for v^2. v^2 = (ω * R)^2 = ((k^2 * (mg sin(θ) - Ff)) / I * R)^2 = (k^2 * (mg sin(θ) - μmg cos(θ)))^2 / I^2 * R^2
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Simplify the equation by substituting the moment of inertia (I) of the body with the formula for moment of inertia of a rolling body. I = (1/2) * m * R^2
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Substitute the simplified equation for v^2 into the equation in the question. v^2 = (2gh) / (1 + k^2 / R^2)
Therefore, the velocity v of translation of a rolling body at the bottom of an inclined plane of a height h is given by v^2 = (2gh) / (1 + k^2 / R^2).
२. शरीर पर कार्य करने वाली साधारित बल (एफएन) की गणना करें। इसका कारण शरीर के नार्मल त्वरण (ए) को शरीर के मास (एम) से गुणा करके किया जा सकता है। एफएन = एमए
३. शरीर पर घुमाव (टी) की गणना करें। इसका कारण बल (एफ) को शरीर के समांतर प्रमाण (के) से गुणा करके किया जा सकता है, शरीर के एक समताआक्ष के लिए। टी = एफके
४. शरीर का घुमाव त्वरण (एल्फा) की गणना करें। इसका कारण घुमाव (टी) को शरीर के क्षमता के साथ विभाजित करके किया जा सकता है। α = टी/आई
५. शरीर का रैखिक त्वरण (ए) की गणना करें। इसका कारण घुमाव त्वरण (एल्फा) को शरीर के त्रिज्या (आर) से गुणा करके किया जा सकता है। ए = एल्फा आर
६. शरीर की वेग (वी) की गणना करें। इसका कारण रैखिक त्वरण (ए) को समय (टी) से गुणा करके किया जा सकता है, जब शरीर ढलवाई योजना के नीचे पहुंचता है। वी = एटी
७. शरीर की अंतिम वेग (वी) की गणना करें। इसका कारण वेग (वी) के लिए समीकरण v^2=2gh/1+k^2/R^2 को हल करके किया जा सकता है। वी = √2gh/1+k^2/R^2
प्रश्न:
एक आदमी एक घूमते हुए प्लेटफ़ॉर्म पर खड़ा होता है, अपने हाथों को बढ़ाकर हॉरिज़ॉन्टली फ़ैलाए हुए हर हाथ में 5 किलोग्राम वजन होता है। प्लेटफ़ॉर्म की संक्षेप गति 30 परिवर्तन प्रति मिनट है। इसके बाद आदमी अपने हाथों को अपने शरीर के पास लाते हैं, प्रति वजन से अक्ष के दूरी को 90 सेमी से 20 सेमी बदलते हुए। आदमी के साथ प्लेटफ़ॉर्म की क्षमता मोमेंट को स्थिर और एक समान लेकर ली जा सकती है, इसे 7.6 किलोग्राम मीटर के बराबर मान लिया जा सकता है। (क) नई कोणीय गति क्या होगी? (घटना को नजरअंदाज़ करें) (ख) क्या किनेटिक ऊर्जा प्रक्रिया में संचयित होती है? यदि नहीं, तो परिवर्तन कहाँ से होता है?
उत्तर:
(क) नई कोणीय गति इस समीकरण व्याप्त हो सकती है: आधारभूत क्षमता (I) \omega = I\omega’ जहां I क्षमता है, \omega प्रारंभिक कोणीय गति है, और \omega’ नई कोणीय गति है।
I\omega = I\omega’ 7.6 किलोग्राम मीटर^2 * (30 परिवर्तन/मिनट) = 7.6 किलोग्राम मीटर^2 * \omega'
\omega’ = 30 परिवर्तन/मिनट
(ख) किनेटिक ऊर्जा प्रक्रिया में संचयित नहीं होती है क्योंकि आदमी वजनों पर काम कर रहा है, जिससे उनकी किनेटिक ऊर्जा बदल जाती है। किनेटिक ऊर्जा के परिवर्तन आदमी द्वारा किए गए काम से होता है।
प्रश्न:
(क) समांतर अच्छाछा का सिद्धांत सिद्ध करें। (संकेत: xy तस्वीर में एक ओरिजिन से उठी और तस्वीर के साथ समांतर अक्ष के एक बिंदु (एक्स, वाई) की दूरी का वर्ग है x^2+y^2). (ख) समान अक्ष अच्छाया का सिद्धांत सिद्ध करें। (संकेत: यदि माध्यम बिंदु को आधार माना जाए, तो ∑mi ri=0 होता है।)
उत्तर:
(क) समांतर अक्ष के सिद्धांत का प्रमाण दें:
P एक ऐसा बिंदु हो जो xy तस्वीर में (x, y) के संबंध में होता है।
हमें प्रमाणित करना है कि P से x-अक्ष से दूरी का वर्ग बराबर है P से y-अक्ष से दूरी का वर्ग।
d1 प्रमाण यह है कि P से x-अक्ष से दूरी है और d2 प्रमाण यह है कि P से y-अक्ष से दूरी है।
हमें प्रमाणित करना है कि d1^2 = d2^2
O xy तस्वीर में मूल बिंदु है।
P1 x-अक्ष के लिए उस बिंदु को लें जिसकी दूरी OP1 = d1 होती है
P2 y-अक्ष के लिए उस बिंदु को लें जिसकी दूरी OP2 = d2 होती है
पायथागोरस उपयोगी पद्धति के अनुसार,
OP^2 = OP1^2 + OP2^2
P की बिंदु की संकेतांकों का प्रयोग करते हुए,
(x^2 + y^2) = (d1^2) + (d2^2)
इसलिए, d1^2 = d2^2
A car is traveling at a constant speed of 60 km/hr. If it takes 3 hours to reach its destination, what is the total distance traveled by the car?
Answer:
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Convert the speed from km/hr to m/s: 60 km/hr = 60,000 m/3,600 s = 16.67 m/s
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Calculate the total distance traveled by the car: distance = speed x time = 16.67 m/s x 3 hr = 50 km
Therefore, the total distance traveled by the car is 50 km.
उत्तर: (a) चक्र पर कार्यरत घर्षण की ताकत फ्रिक्शन = यूएस * महा * ग्रा है उस दिए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करके हमे मिलता है: फ्रिक्शन = 0.25 * 10 * 9.8 = 24.5 N
(b) घर्षण के खिलाफ कार्य को रोलिंग के दौरान किया गया कार्य को W = फ्रिक्शन * दूरी का स्वतंत्रता से निर्धारित किया जा सकता है, जहां फ्रिक्शन चक्र पर कार्यरत घर्षण है, और d यात्रित दूरी है। कार्य द्वारा चलाया गया दूरी नहीं दी गई है, इसलिए हम फ्रिक्शन के खिलाफ किये गए कार्य को नहीं निर्धारित कर सकते हैं।
(c) जहां सीढ़ी शुरू हो जाती है और सहीरूप से नहीं हिलती है, उस समय पर चक्र पर चकमा लगने वाली थी और उसे पहचानने के लिए μs = tanθ के समीकरण का उपयोग किया जा सकता है, जहां मुस स्टैटिक घर्षण संतुलन है, और θ तल का कोण है। दिए गए मूल्यों का प्रतिस्थापन करने पर हमे मिलता है:
tanθ = 0.25
इसलिए, θ = tan-1(0.25) = 14.0°
