सवाल:

स्थान वेक्टर -i^+1^​/2j^​+4k^, i^+1^​/2j^+4k^, i^−1^​/2j^​+4k^ और −i^−1^​/2j^​+4k^ के समकोण A, B, C और D के रेखा. A 21​ B 1 C 2 D 4

उत्तर:

उत्तर: D 4

सवाल:

दिखाएं कि बिंदु A (1,2,7), B (2,6,3) और C (3,10,-1) एक ही रेखांकन हैं।

उत्तर:

चरण 1: वेक्टर AB की गणना करें। AB = (2-1, 6-2, 3-7) = (1, 4, -4)

चरण 2: वेक्टर AC की गणना करें। AC = (3-1, 10-2, -1-7) = (2, 8, -8)

चरण 3: वेक्टर AB और AC का क्रॉस उत्पादन गणना करें। AB x AC = (1 x 8 - 4 x 2, 4 x 2 - 1 x 8, -4 x 8 - (-4) x 2) = (6, -12, 32)

चरण 4: यदि क्रॉस उत्पादन शून्य के बराबर है, तो बिंदुओं को एक ही रेखांकन कहें। क्योंकि AB और AC का क्रॉस उत्पादन शून्य के बराबर नहीं है, बिंदु A, B और C एक ही रेखांकन नहीं हैं।

सवाल:

यदि एक इकाई वेक्टर एक कोण π​/3 के साथ i^, π​/4 के साथ j^​ और k^ के साथ एक एक्यूट कोण बनाता है, तो θ और इसके बाद, a के घटक ढूंढें।

उत्तर:

1. क्योंकि a एक इकाई वेक्टर है, इसका माग्नीट्यूड 1 है।

2. डॉट उत्पाद का उपयोग करके, हम a और k^ के बीच के कोण θ को ढूंढ सकते हैं।

a•k^ = |a||k^|cosθ

1•1cosθ = cosθ

θ = cos-1(1)

θ = 0°

3. अब हम a के घटक ढूंढ सकते हैं।

a = (cosπ​/3, cosπ​/4, cos0°)

a = (1/2, √2/2, 1)

सवाल:

x और y की मान ढूंढें ताकि वेक्टर 2i^+3j^​ और xi^+yj^​ के बराबर हों

उत्तर:

चरण 1: दो वेक्टरों को आपस में बराबर समायें: 2i^+3j^ = xi^+yj^

चरण 2: समीकरण के दोनों ओर से xi^ को घटाएं: 2i^+3j^ - xi^ = xi^+yj^ - xi^

चरण 3: समीकरण के बाएं ओर को सरल बनाएं: 2i^ - xi^ + 3j^ = yj^

चरण 4: समीकरण के बाएं ओर पर xi^ को अलग करें: xi^ = 2i^ - 3j^

चरण 5: मूल समीकरण में xi^ के लिए व्यापकता सुरक्षित करें: 2i^+3j^ = (2i^ - 3j^) + yj^

चरण 6: समीकरण के बाएं ओर को सरल बनाएं: 2i^ + 3j^ = 2i^ - 3j^ + yj^

चरण 7: समीकरण के बाएं ओर पर yj^ को अलग करें: yj^ = 3j^

चरण 8: मूल समीकरण में yj^ के लिए व्यापकता सुरक्षित करें: 2i^+3j^ = xi^ + (3j^)

चरण 9: समीकरण में xi^ के लिए व्यापकता सुरक्षित करें: 2i^+3j^ = (2i^ - 3j^) + (3j^)

चरण 10: सरल बनाएं और समीकरण को हल करें: 2i^+3j^ = 2i^ + 0j^

चरण 11: अंतिम समाधान है x = 2 और y = 3।

सवाल:

निम्नलिखित के रूप में सच या झूठ के रूप में जवाब दें। (i) a और -a समकोणी हैं (ii) दो समकोणी वेक्टर हमेशा माग्निट्यूड में समान होते हैं। (iii) समान माग्निट्यूड वाले दो वेक्टर समकोणी होते हैं। (iv) समान माग्निट्यूड वाले दो समकोणी वेक्टर समान होते हैं।

उत्तर:

(i) झूठ (ii) झूठ (iii) झूठ (iv) सच

सवाल:

दिखाएं कि वेक्टर 2i^−j^​+k^,i^−3j^​−5k^ और 3i^−4j^​−4k^ ट्रायंगल के तीनों कोणों के रेखा हैं।

उत्तर:

चरण 1: वेक्टरों के बीच उत्पाद का गणन करें: 2i^−j^+k^⋅i^−3j^−5k^ = 2i^2−j^2−5k^2 = 2−1−5 = -4

चरण 2: वेक्टरों के बीच उत्पाद का गणना करें: 2i^−j^+k^⋅3i^−4j^−4k^ = 6i^2−4j^2−4k^2 = 6−4−4 = -2

चरण 3: वेक्टरों के बीच उत्पाद का गणना करें: i^−3j^−5k^⋅3i^−4j^−4k^ = 3i^2−4j^2−4k^2 = 3−4−4 = -5

चरण 4: प्याथागोरियन सिद्धांत का उपयोग करके वेक्टरों की लंबाई का गणना करें:

a × (b + c) = (a1i + a2j + a3k) × (b1i + b2j + b3k) + (a1i + a2j + a3k) × (c1i + c2j + c3k)

Step 3: Simplify the equation

a × (b + c) = (a1b2 - a2b1)i^ + (a1b3 - a3b1)j^ + (a2b3 - a3b2)k^

• (a1c2 - a2c1)i^ + (a1c3 - a3c1)j^ + (a2c3 - a3c2)k^

Step 4: Rearrange the terms

a × (b + c) = (a1b2 - a2b1)i^ + (a2b3 - a3b2)k^ + (a1c2 - a2c1)i^ + (a2c3 - a3c2)k^ + (a1b3 - a3b1)j^ + (a1c3 - a3c1)j^

Step 5: Combine like terms

a × (b + c) = [(a1b2 - a2b1) + (a1c2 - a2c1)]i^ + [(a1b3 - a3b1) + (a1c3 - a3c1)]j^ + [(a2b3 - a3b2) + (a2c3 - a3c2)]k^

Step 6: Simplify the equation

a × (b + c) = [(a1b2 + a1c2) - (a2b1 + a2c1)]i^ + [(a1b3 + a1c3) - (a3b1 + a3c1)]j^ + [(a2b3 + a2c3) - (a3b2 + a3c2)]k^

Step 7: Factor out a1, a2, a3

a × (b + c) = [a1(b2 + c2) - a2(b1 + c1)]i^ + [a1(b3 + c3) - a3(b1 + c1)]j^ + [a2(b3 + c3) - a3(b2 + c2)]k^

Step 8: Rewrite the equation as a sum of two cross products

a × (b + c) = [(a1b2 - a2b1)i^ + (a1b3 - a3b1)j^ + (a2b3 - a3b2)k^] + [(a1c2 - a2c1)i^ + (a1c3 - a3c1)j^ + (a2c3 - a3c2)k^]

Step 9: Use the definition of cross product

a × (b + c) = a × b + a × c

Therefore, we have shown that a × (b + c) = a × b + a × c.

Translate the following sentence into Hindi: “I love to travel and explore new places.”

Answer: “मुझे यात्रा करने और नई जगहों की खोज करने का बहुत प्यार है।”

Find the angle between two vectors a and b with magnitudes √3 and 2, respectively having a⋅b=√6 Answer required

Answer:

1. पहले, दो वेक्टर a और b के बीच डॉट प्रोडक्ट की गणना करें। इसे एक्लीमैंटली एक दूसरे के साथ गुणा करके किया जाता है। a⋅b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = √3*2 = √6

2. अगले, दो वेक्टरों के माग निर्धारित करें। एक वेक्टर का माग वेक्टर की लंबाई होता है, जो प्यथागोरस के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। वेक्टर a का माग √3 है और वेक्टर b का माग 2 है।

3. अंत में, दो वेक्टरों के बीच कोण का सूत्र उपयोग करें, जो है: θ = cos-1(a⋅b/|a|*|b|)

4. a⋅b और |a||b| के लिए मान डालकर हमें मिलता है: θ = cos-1(√6/(√32)) = cos-1(1/3) = 60°

इसलिए, दो वेक्टरों के बीच कोण 60° है।

प्रश्न:

वे वेक्टर a और b ऐसे हों, जिनके लिए ∣a∣=3 और ∣b∣=2/3, तो a×b एक इकाई वेक्टर है, अगर a और b के बीच कोण है A π​/6 B π​/4 C π​/3 D π/2

उत्तर:

उत्तर: B π/4

प्रश्न:

दिखाएं कि वेक्टर i^+j^​+k^ अक्षों OX,OY और OZ के समान प्रमुख है।

उत्तर:

चरण 1: यदि एक वेक्टर के लिए कहा जाता है कि वह अक्षों OX,OY और OZ के समान प्रमुख है तो इसका मतलब होता है कि उसके अक्षों OX,OY और OZ कोण एक समान होते हैं।

चरण 2: वेक्टर i^+j^​+k^ के अक्षों OX,OY और OZ के कोणत्व हैं 1,1 और 1।

चरण 3: चरण 2 में वेक्टर i^+j^​+k^ के अक्षों OX,OY और OZ के कोणत्व समान होते हैं, इसलिए वह वेक्टर i^+j^​+k^ अक्षों OX,OY और OZ के समान प्रमुख है।

प्रश्न:

यदि a and b दो एक ही रेखांकन वेक्टर हों, तो निम्नलिखित में से कौन सही है? A. b =λa, किसी यद्रक λ के लिए B. a =±b C. a और b के संबंधित घटक समान होते हैं D. a और b दोनों वेक्टर एक ही दिशा में होते हैं, लेकिन अलग-अलग अभिकर्ण होते हैं

उत्तर:

A. b = λa, किसी यद्रक λ के लिए सही है B. a = ±b गलत है C. a और b के संबंधित घटक समान होते हैं सही है D. a और b दोनों वेक्टर एक ही दिशा में होते हैं, लेकिन अलग-अलग अभिकर्ण होते हैं सही है।

प्रश्न:

यदि (2i^+6j^​+27k^)×(i^+λj^​+μk^)=0, तो λ और μ को खोजें

उत्तर:

1. (2i^+6j^​+27k^)×(i^+λj^​+μk^) = 0

2. 2i^+6j^​+27k^+i^λj^​+μk^ = 0

3. i^(2+λ) + j^(6+μ) + k^(27+μ) = 0

4. i^(2+λ) = 0, j^(6+μ) = 0, k^(27+μ) = 0

5. 2+λ = 0, 6+μ = 0, 27+μ = 0

6. λ = -2, μ = -6

प्रश्न:

निशान A(1,2,-3) और B(-1,-2,1) को जोड़ने वाले वेक्टर के दिशा गोल्यात्मक कोसाइन ढ़ूंढें।

उत्तर:

चरण 1: निशान A और B को जोड़ने वाले वेक्टर को ढ़ूंढें।

वेक्टर AB = (A - B) = (1, 2, -3) - (-1, -2, 1) = (2, 4, -4)

चरण 2: वेक्टर AB का मागणी ढूंढें।

|AB| = √(2^2 + 4^2 + (-4)^2) = √36 = 6

चरण 3: वेक्टर AB के दिशा-कोसाइन्स ढूंढें।

कोस एल्फा = 2/6, कोस बीटा = 4/6, कोस गामा = -4/6

प्रश्न:

निम्नलिखित को मापो के अनुसार ब्रह्मा तथा वेक्टर वाचक। (i) 10 kg (ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम (iii) 40o (iv) 40 वाट (v) 10−19 कूलोंब (vi) 20 मीटर/सेकंड^2

उत्तर:

(i) 10 kg - ब्रह्मा (ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम - वेक्टर (iii) 40o - ब्रह्मा (iv) 40 वाट - ब्रह्मा (v) 10−19 कूलोंब - ब्रह्मा (vi) 20 मीटर/सेकंड^2 - वेक्टर

Answer: Vector = 8(5/√29)i^−8(1/√29)j^+8(2/√29)k^

Step 2: Use Heron’s formula to calculate the area of the triangle.

s = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 2.24 + 5) / 2 = 6.12

Area = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC)) = √(6.12(6.12-5)(6.12-2.24)(6.12-5)) = √(6.12(1.12)(3.88)(1.12)) = √25.256 = 5.025

3. 71(6i^+2j^−3k^): To show that this vector is a unit vector, we must calculate the magnitude of the vector. We can do this by using the Pythagorean Theorem:

|71(6i^+2j^−3k^)|=sqrt[(6^2)+(2^2)+(−3^2)]=sqrt[36+4+9]=sqrt[49]=7

Therefore, the magnitude of the vector is 7, and to make it a unit vector, we must divide it by 7:

71(6i^+2j^−3k^)=7/7(6i^+2j^−3k^)=1(6i^+2j^−3k^)

To show that these three vectors are mutually perpendicular to each other, we can calculate the dot product between each pair of vectors. If the dot product is zero, then the vectors are perpendicular.

Dot product of 71(2i^+3j^+6k^) and 71(3i^−6j^+2k^): (23)+ (3(-6))+ (6*2)=0

Dot product of 71(2i^+3j^+6k^) and 71(6i^+2j^−3k^): (26)+ (32)+ (6*(-3))=0

Dot product of 71(3i^−6j^+2k^) and 71(6i^+2j^−3k^): (3*6)+ ((-6)2)+ (2(-3))=0

Since the dot product is zero for all pairs of vectors, we can conclude that these three vectors are mutually perpendicular to each other.

३. ७१(६आई^+२ज^−३क^):इस वेक्टर को एक इकाई वेक्टर के रूप में दिखाने के लिए, हमें इस वेक्टर के माग्नीट्यूड की गणना करनी होगी। हम इसे पाइथागोरस उपयोग करके कर सकते हैं:

|७१(६आई^+२ज^−३क^)|=√[(६^२)+(२^२)+(−३^२)]=√[३६+४+९]=√[४९]=७

इसलिए, वेक्टर का माग्नीट्यूड ७ है, और इसे एक इकाई वेक्टर बनाने के लिए, हमें इसे ७ से विभाजित करना होगा:

७१(६आई^+२ज^−३क^)=७/७(६आई^+२ज^−३क^)=१(६आई^+२ज^−३क^)

इन्हें मिलकर मानवर्ती हैं, हमें हर वेक्टर के बीच का गुणा क्रमांक परिकलित करना होगा। यदि दो वेक्टरों के बीच का गुणा क्रमांक ० होता है, तो वे आपस में लगतार होते हैं।

७१(२आई^+३ज^+६क^)•७१(३आई^−६ज^+२क^)=७१^२(२•३ + ३•−६ + ६•२)=७१^२(६−१८+१२)=७१^२(०)=०

७१(२आई^+३ज^+६क^)•७१(६आई^+२ज^−३क^)=७१^२(२•६ + ३•२ + ६•−३)=७१^२(१२+६−१८)=७१^२(०)=०

७१(३आई^−६ज^+२क^)•७१(६आई^+२ज^−३क^)=७१^२(३•६ + −६•२ + २•−३)=७१^२(१८−१२−६)=७१^२(०)=०

इसलिए, ये तीन वेक्टर आपस में मानवर्ती हैं।

प्रश्न:

एक ही दिशा में दो अलग वेक्टर लिखें

उत्तर:

वेक्टर 1: <३, ४>

वेक्टर 2: <६, ८>

प्रश्न:

एक ही मात्रा वाले दो भिन्न वेक्टर लिखें

उत्तर:

वेक्टर 1: (३, ४) वेक्टर 2: (-३, ४)

प्रश्न:

निम्नलिखित वेक्टरों के माग्नीट्यूड का गणना करें: a =इ^+ज^​+क^;b =२इ^−७ज^​−३क^;c =१​/√३इ^+१​/√३ज^​−१​/√३क^

उत्तर:

a. |a| = √(१^२ + १^२ + १^२) = √३

b. |b| = √((२^२) + (-७^२) + (-३^२)) = √५८

c. |c| = √(१/३^२ + १/३^२ + (-१/३^२)) = √(२/३)

प्रश्न:

दिए गए वेक्टरों के लिए, a =२इ^−ज^​+२क^ और b =−इ^+ज^​−क^, a +b कि दिशा में इकाई वेक्टर ढूंढें

उत्तर:

चरण 1: दिए गए वेक्टरों a और b को जोड़ें। a \n+b \n= २इ^−ज^​+२क^−इ^+ज^​−क^

चरण 2: वेक्टर अभिव्यक्ति को सरल करें। a \n+b \n= ३इ^−२ज^​+क^

चरण 3: वेक्टर a \n+b \n के माग्नीट्यूड का पता लगाएँ। |a \n+b \n| = √(३इ^)२+(−२ज^)२+(क^)२

|a \n+b \n| = √१४

चरण 4: वेक्टर a \n+b \n की दिशा में इकाई वेक्टर की गणना करें। a \n+b \n| = ३ / √१४इ^−२ / √१४ज^​+१ / √१४क^

इसलिए, वेक्टर a \n+b \n की दिशा में इकाई वेक्टर ३ / √१४इ^−२ / √१४ज^​+१ / √१४क^ है।

प्रश्न:

यदि a एक गैरशून्य वेक्टर है जिसका माग्निट्यूड ′a′ है और λ एक गैरशून्य स्केलर है, तो λa एक इकाई वेक्टर होगा यदि A λ=1 B λ=−1 C a=∣λ∣ D a=1/∣λ∣

उत्तर:

A λ=1

प्रश्न:

P(२,३,४) और Q(४,१,२) बिंदुओं को जोड़ने वाले वेक्टर के मध्य बिन्दु के स्थानीय वेक्टर का पता लगाएं।

उत्तर:

चरण 1: P और Q को जोड़ने वाले वेक्टर की गणना करें। वेक्टर PQ = (४-२, १-३, २-४) = (२, -२, -२)

चरण 2: वेक्टर PQ की माग्निट्यूड का पता लगाएं। |PQ| = √(२² + (-२)² + (-२)²) = √८

चरण 3: वेक्टर PQ का इकाई वेक्टर पाएं। PQ का इकाई वेक्टर = (२/√८, -२/√८, -२/√८)

चरण 4: वेक्टर PQ का मध्य बिन्दु पाएं। PQ का मध्य बिन्दु = (२ + ४)/२, (३ + १)/२, (४ + २)/२ = (३, २, ३)

अद्यतित करें Step 2: घटनी (डॉट) उत्पाद का पता लगाएँ।

घटनी (डॉट) उत्पाद = (12) + (-1-7) + (3*1) = 12

Step 3: वर्गफल (cross product) उत्पाद का पता लगाएं।

वर्गफल (cross product) उत्पाद = |a x b| = |(-11 - 32) + (1*-7 - 32) + (17 - (-1)*(-7))| = |-2 - 13 + 14| = 1

Step 4: परलोकघात उपासीख (cosine formula) का उपयोग करके परलोकघात का क्षेत्र निकालें।

क्षेत्र = |वर्गफल (cross product) उत्पाद| = |1| = 1

इसलिए, परलोकघात का क्षेत्र 1 है।

कंटेंट का हिंदी संस्करण: a . b = (12) + (-1-7) + (3*1) = 11

स्टेप 3: वेक्टर a और b के बीच का कोण ढूंढें।

कोण = आरक्कोस (11/√(11)*√(50)) = आरक्कोस(11/50) = 0.7536

स्टेप 4: चतुर्भुज के क्षेत्रफल को ढूंढें।

क्षेत्रफल = |a| * |b| * sin(कोण) = √(11) * √(50) * sin(0.7536) = 25.8

प्रश्न:

वेक्टर i^−j^​ की वेक्टर i^+j^​ पर परावर्तन ढूंढें।

उत्तर:

1. वेक्टर i^+j^​ की घन प्रतिष्ठा निर्धारित करें:

i^+j^​ = (1/√2) i^ + (1/√2) j^​

2. वेक्टर i^−j^​ और (1/√2) i^ + (1/√2) j^​ का समयवेग के गुणन-योग को गणना करें:

i^−j^​ · (1/√2) i^ + (1/√2) j^​ = (1/√2) i^−j^​ · i^ + (1/√2) i^−j^​ · j^​

3. समयवेग को सरल रूप में लायें:

(1/√2) i^−j^​ · i^ + (1/√2) i^−j^​ · j^​ = (1/√2) (1 - 0) + (1/√2) (0 - 1)

4. i^−j^​ के ऊपर i^+j^​ का परावर्तन ढूंढें:

वेक्टर i^−j^​ का परावर्तन i^+j^​ पर = (1/√2) - (1/√2) = 0

प्रश्न:

वेक्टर a =3i^+2j^​+2k^ और b =i^+2j^​−2k^ को प्रतिपर पर एकक वेक्टर ढूंढें।

उत्तर:

1. वेक्टर a+b के प्रतिपर एकक वेक्टर का पता लगाने के लिए, हमे ये ज्ञात करना होगा की वेक्टर a और b का क्रॉस प्रोडक्ट ढूंढ़ना होगा।

2. वेक्टर a और b का क्रॉस प्रोडक्ट इस वाक्य में दिया जाता है a x b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)।

3. ऊपरी समय a और b की वाक्य में मानों की जगह भरकर, हमे इस वाक्य के तहत a x b = (2(-2) - (-2)(2), (-2)(3) - (3)(-2), (3)(2) - (2)(2)) = (4, -6, 6) प्राप्त होता है।

4. a+b के प्रतिपर एकक वेक्टर को पाने के लिए, हमे ऊपरी वेक्टर को उसके माग्निट्यूड से भाग करना होगा। ऊपरी वेक्टर a x b का माग्निट्यूड निम्नानुसार होता है |a x b| = √(42 + (-6)2 + 62) = √(40)।

5. इसलिए, a+b के प्रतिपर एकक वेक्टर को (4/√(40), -6/√(40), 6/√(40)) लिया जा सकता है।

6. उसी तरह, a-b के प्रतिपर एकक वेक्टर को पाने के लिए, हमे वेक्टर a और -b का क्रॉस प्रोडक्ट ढूंढ़ना होगा।

7. वेक्टर a और -b का क्रॉस प्रोडक्ट इस वाक्य में दिया जाता है a x (-b) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)।

8. ऊपरी समय a और -b की वाक्य तहत, हम इस वाक्य के तहत a x (-b) = (2(2) - (-2)(2), (-2)(3) - (3)(2), (3)(-2) - (2)(-2)) = (-4, 6, -6) ढूंढ़ते हैं।

9. a-b के प्रतिपर एकक वेक्टर को पाने के लिए, हमे ऊपरी वेक्टर को उसके माग्निट्यूड से भाग करना होगा। ऊपरी वेक्टर a x (-b) का माग्निट्यूड निम्नानुसार होता है |a x (-b)| = √(-42 + 62 + (-6)2) = √(40)।

10. इसलिए, a-b के प्रतिपर एकक वेक्टर को (-4/√(40), 6/√(40), -6/√(40)) लिया जा सकता है।

प्रश्न:

माहों के नामों के बाद क्यों उन्हें नामित किया गया था?

उत्तर:

1. “वे” किससे संदर्भित है?
2. “वे” और माहों के नामों के बीच का कनेक्शन क्या है?