वेक्टर विविध अभ्यास (Vektor Vividh Abhyas)
सवाल:
प्रिंसेस को उसकी उदासी से निकाला क्या था?
जवाब:
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पहले, महत्वपूर्ण है कि समझा जाए कि प्रिंसेस को उदासी क्यों हो रही थी।
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प्रिंसेस की उदासी का कारण शुद्ध केंद्रित होने पर पता चलने पर, यह निर्धारित किया जा सकता है कि उसकी उदासी से उसे क्या निकाल सकता था।
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संभावित समाधान में दोस्तों के साथ समय बिताना, शौकों में लगना या एक साहसिक यात्रा पर जाना जैसी गतिविधियां शामिल हो सकती हैं।
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सबसे अंत में, प्रिंसेस की उदासी का ठीक समाधान व्यक्ति और विशिष्ट परिस्थितियों पर निर्भर करेगा।
सवाल:
एक इकाई यूनिट वेक्टर XY- प्लेन का, x− ध्रुव के सकारात्मक दिशा के 30∘ के कोण बनाने वाला लिखें।
जवाब:
X-Y प्लेन में एक इकाई वेक्टर जो x− -
प्रश्न:
बिंदु P (x1, y1, z1) और Q (x2, y2, z2) को जोड़ने वाले वेक्टर के तंक के घटक और मान ढूंढें।
जवाब:
चरण 1: दो बिंदुओं के x-निर्देशांत में अंतर की गणना करें: x2 - x1।
चरण 2: दो बिंदुओं के y-निर्देशांत में अंतर की गणना करें: y2 - y1।
चरण 3: दो बिंदुओं के z-निर्देशांत में अंतर की गणना करें: z2 - z1।
चरण 4: पदार्थ के घटक की गणना करें, चरण 1-3 में गणना की गयी अंतर के वर्ग की जड़ मान का वर्गमूल्य लेकर:
√(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
चरण 5: पदार्थ के मान की गणना करें, घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल्य लेकर:
√(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
सवाल:
एक यूनिट वेक्टर होने के लिए x का मान पता करें जिसके लिए x(i^+j^+k^) है।
जवाब:
चरण 1: एक यूनिट वेक्टर एक ऐसा वेक्टर है जिसका मान 1 होता है। इसलिए, हमें x(i^+j^+k^) का मान पता करने के लिए x(i^+j^+k^) का मान ढूंढना होगा।
चरण 2: वेक्टर का मान निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पता लगाया जा सकता है: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)।
चरण 3: सूत्र में i^+j^+k^ को प्रयोग करने के लिए नए निर्देशांत x- और y- के समाधान को प्राप्त करने के लिए: |x(i^+j^+k^)| = √(x² + x² + x²) = √(3x²)।
चरण 4: मान को 1 के बराबर सेट करें और x के लिए हल करें।
|x(i^+j^+k^)| = 1
√(3x²) = 1
3x² = 1
x² = 1/3
x = √(1/3)
सवाल:
एक लड़की 4 किमी पश्चिम की ओर चलती है, फिर उसे उत्तर की दिशा में 30° के कोण की ओर 3 किमी चलती है और रुक जाती है। लड़की की प्रारंभिक यात्रा के बिंदु से विस्थापन का निर्धारण करें।
जवाब:
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लड़की का प्रारंभिक यात्रार्थ आदि (0,0) है।
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वह पश्चिम की ओर 4 किमी चलती है, इसलिए उसके नए निर्देशांक (-4,0) होते हैं।
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फिर वह उत्तर की दिशा में 30° के कोण की ओर 3 किमी चलती है। नए निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, हम त्रिकोणमिति अनुपात (sine और cosine) का उपयोग करते हैं।
sin 30° = 3/r cos 30° = 4/r
यहां r लड़की की स्थानांतरण की मात्रा (या दूरी) है।
इसलिए, r = 4√3
त्रिकोणमिति अनुपातों का उपयोग करके, हम लड़की की स्थान के नए x- और y-निर्देशांकों को प्राप्त कर सकते हैं।
x = -4 + 4√3 cos 30° = -4 + 4√3 (4/r) = -4 + 16/√3
y = 0 + 4√3 sin 30° = 0 + 4√3 (3/r) = 12/√3
- महिला का प्रारंभिक बिंदु से स्थानांतरण उस दो बिंदुओं को जोड़ने वाले वेक्टर की औसतन होती है, जो पायथागोरस के सिद्धांत द्वारा दी जाती है।
विस्थापन = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
= √((-4 + 16/√3)2 + (12/√3)2)
= √(256/3 + 144/3)
= √(400/3)
= 20√3 इकाई
सवाल:
यदि a=b+c, तो क्या सच है कि ∣a∣=∣b∣+∣c∣? अपना उत्तर साबित कीजिए।
उत्तर:
नहीं, ∣a∣=∣b∣+∣c∣ यह सत्य नहीं है।
इस जवाब को साबित करने के लिए, हम एक उदाहरण पर नजर डाल सकते हैं। लेट ए=2, बी=-1 और सी=1 हो।
तब ए=बी+सी, यानी ए=2।
हालांकि, ∣ए∣=∣2∣=2, जबकि ∣बी∣+∣सी∣=∣-1∣+∣1∣=2+1=3।
क्योंकि ∣ए∣ ≠ ∣बी∣+∣सी∣ है, इसलिए ∣ए∣=∣बी∣+∣सी∣ सत्य नहीं है।
सवाल:
यदि a=i^+j^+k^, b=2i^−j^+3k^ और c=i^−2j^+k^ हैं, तो वेक्टर 2a−b+3c के समानुगुण यूनिट वेक्टर ढूंढें।
उत्तर:
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वेक्टर विस्तार करें: a = i + j + k b = 2i - j + 3k c = i - 2j + k
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समीकरण में वेक्टर स्थानांतरित करें: 2a - b + 3c = 2(i + j + k) - (2i - j + 3k) + 3(i - 2j + k)
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समीकरण को सरल बनाएं: 2a - b + 3c = 2i + 2j + 2k - 2i + j - 3k + 3i - 6j + 3k
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समानों को जोड़ें: 2a - b + 3c = 4i - 5j + 6k
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समीकरण को उसकी मात्रा से विभाजित करें: 2a - b + 3c = (4i - 5j + 6k) / √(42 + 52 + 62)
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समीकरण को सरल बनाएं: 2a - b + 3c = (4/√77)i - (5/√77)j + (6/√77)k
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यूनिट वेक्टर वेक्टर 2a - b + 3c के समानुगुण है: (4/√77)i - (5/√77)j + (6/√77)k
