त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्न
प्रश्न:
रेखा r के किसान (−1,-5,-10) से रेखा और समस्ती बिंदु के संबंधबद्ध बिंदु की दूरी ढ़ूंढ़ें =(2i^−j^+2k^)+λ(3i^+4j^+2k^) और सीधे r r⋅(i^−j^+k^)=5
उत्तर:
चरण 1: रेखा और समस्ती बिंदु के संबंधबद्ध बिंदु का ढहाए में खोजें
बिंदु का ढहाए इस प्रमेय को सॉल्व करके प्राप्त किया जा सकता है:
2i^−j^+2k^+λ(3i^+4j^+2k^)=i^−j^+k^
इसे सरल बनाने के लिए:
λ=−2
लैम्बदा के इस मूल्य को ढहाए के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम ढहाए का बिंदु प्राप्त करते हैं:
P=(−2,−10,−4)
चरण 2: रेखा और समस्ती बिंदु के संबंधबद्ध बिंदु से बिंदु (−1,−5,−10) की दूरी ढ़ूंढ़ें
दो बिंदुओं के बीच की दूरी को दूरी का सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
d=√((x2−x1)^2+(y2−y1)^2+(z2−z1)^2)
यहां (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) बिंदुओं के संदर्भ हैं।
सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:
d=√((−1−(−2))^2+((−5−(−10))^2+((−10−(−4))^2
d=√9+25+36
d=√70
इसलिए, दो बिंदुओं के बीच की दूरी √70 है।
प्रश्न:
निम्नलिखित दो रेखाओं के लाइन (1,2,−4) से होकर हो और ऊपरी हो व्यास वक्य का संदर्भ सवार हो एवं - और z−-से हो। x−8/3=y+19/-16=z−10/7 और x−15/3=y−29/8=z−5/-5.
उत्तर:
- दिए गए दो रेखाओं के दिशा संकेतों का पता लगाएं:
रेखा 1: (8/3, -19/16, 10/7) रेखा 2: (15/3, 29/8, 5/-5)
- दो दिशा संकेतों का क्रॉस उत्पादन निकालने के लिए दो दिशा संकेतों के दिशा संकेतों का पता लगाएं:
(8/3, -19/16, 10/7) X (15/3, 29/8, 5/-5) = (-335/24, -145/16, 175/24)
- दिए गए बिंदु (1,2,-4) से होकर होने वाली और ऊपरी लगने वाले दो रेखाओं का वैक्टर संकेत निकालें:
फलक वक्य का वैक्टर संकेत: r = (1,2,-4) + t(-335/24, -145/16, 175/24)
यहां t एक वास्तविक संख्या है।
प्रश्न:
यदि बिंदु (1,1,p) और (-3,0,1) त्रिकोणमिति r⋅(3i^+4j^−12k^)+13=0 से यक्तिष्ठ होते हैं तो p की मान पता करें।
उत्तर:
दिया गया है, बिंदुओं: (1,1,p) और (-3,0,1) त्रिकोणमिति: r⋅(3i^+4j^−12k^)+13=0
चरण 1: दो बिंदुओं की दूरी का प्राप्त करें।
बिंदु (1,1,p) से त्रिकोणमिति की दूरी = |r⋅(3,4,-12)+13|/√(3^2+4^2+(-12)^2)
बिंदु (-3,0,1) से त्रिकोणमिति की दूरी = |r⋅(-3,0,-12)+13|/√(3^2+4^2+(-12)^2)
चरण 2: दो दूरियों को एक-दूसरे के बराबर सेट करें और p के बराबरी के लिए हल करें।
|r⋅(3,4,-12)+13|/√(3^2+4^2+(-12)^2) = |r⋅(-3,0,-12)+13|/√(3^2+4^2+(-12)^2)
|r⋅(3,4,-12)+13| = |r⋅(-3,0,-12)+13|
3r+4(-12r)+13 = -3r+13
-12r = 0
r = 0
बिन्दु (1,1,p) के समीकरण में r की मान घात करते हुए,
|0⋅(3,4,-12)+13|/√(3^2+4^2+(-12)^2) = 13/√(3^2+4^2+(-12)^2)
इसलिए, p = 13/√(3^2+4^2+(-12)^2)
प्रश्न:
यदि बिंदुओं A,B,C,D के संदर्भ (1,2,3),(4,5,7),(−4,3,−6) और (2,9,2) हैं, तो रेखा AB और CD के बीच का कोण ढ़ूंढ़ें
उत्तर:
चरण 1: रेखा AB और CD के वैक्टर की गणना करें।
AB = (4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)
CD = (2-(-4), 9-3, 2-(-6)) = (6, 6, 8)
चरण 2: वैक्टरों का मात्रा गणना करें।
|AB| = √(3^2 + 3^2 + 4^2) = √34
|CD| = √(6^2 + 6^2 + 8^2) = √100
चरण 3: वैक्टरों का निम्नानुसार गुणन करें।
AB.CD = (36) + (36) + (4*8) = 84
उत्तर: Step 1: (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा का दिशा वेक्टर ढूंढें।
रेखा का दिशा वेक्टर = (3i - j + k) - (i - j + 2k) = 2i + 2j - k
Step 2: रेखा के लिए एक बिंदु चुनें, जैसे (1,2,3).
Step 3: रेखा का वेक्टर समीकरण निर्धारित करें.
वेक्टर समीकरण: r = (1,2,3) + t(2i + 2j - k), यहाँ t एक कोई भी पूर्णांक हो सकता है।
उत्तर:
- दिए गए विमानों के लिए सामान्य शीर्षक बनाने के लिए सामान्य वेक्टर निर्धारित करें।
विमान x+2y+3z=5 का सामान्य वेक्टर: (1,2,3)
विमान 3x+3y+z=0 का सामान्य वेक्टर: (3,3,1)
- दो सामान्य वेक्टर का क्रॉस उत्पाद ढूंढें।
क्रॉस उत्पाद = (1,2,3) x (3,3,1) = (-5,6,-3)
- विमान की समीकरण ढूंढने के लिए बिंदु-सामान्य आकार का उपयोग करें।
बिंदु-सामान्य आकार: ax + by + cz = d
विन्यास: चर(1,2,3) द्वारा पार होने वाली खरोंच का नियमित वेगवही खण्ड ढूंढें | जवाब:
- प्रथम प्रकार की प्राथमिक पहचान: चरों(1,2,3) द्वारा पार होनेवाली खण्ड की खुदरा वेगवाली खण्ड प्राप्त कीजिये। इसलिए, खण्ड की खुदरा वेगवाली (a,b,c) द्वारा दिया जाएगा।
धारित्रि 2: (1,2,3) द्वारा होने वाले और त्रिज्या r के लिए लंबक ज्यामिति का सामान्य वेगबल प्राप्त होता है जो (a,b,c) × (1,2,3) = (b-2c, c-a, a-b) द्वारा दिया जाता है।
धारित्रि 3: (1,2,3) द्वारा होने वाले और त्रिज्या r के लिए लंबक ज्यामिति का वेग समीकरण दिया जाता है जो (x-1,y-2,z-3) · (b-2c, c-a, a-b) = 0।
प्रश्न:
.(i^+2j^−5k^)+9=0
उत्तर:
धारित्रि 1: (i^2 + 2j^-5k^) + 9 = 0
धारित्रि 2: i^2 + 2j^-5k^ = -9
धारित्रि 3: i^2 = -9 - 2j^-5k^
धारित्रि 4: i^2 = -9 - 2j^5k^
धारित्रि 5: i^2 = -9 - 2j^5(-k)
धारित्रि 6: i^2 = -9 - 2j^-5k
प्रश्न:
मूल्यांकन परस्परता और मूलस्थान से गुजरती एक सीधी रेखा का समीकरण ढूंढें
उत्तर:
धारित्रि 1: रेखा का स्लोप निर्धारित करें। क्योंकि रेखा x-अक्ष के परालल है, इसलिए रेखा का स्लोप 0 होता है।
धारित्रि 2: रेखा का समीकरण निर्धारित करें। एक स्लोप 0 और मूलस्थान से गुजरती रेखा का समीकरण y = 0 है।
