त्रिविमीय ज्यामिति अभ्यास 03
सवाल:
जूल चर मूल से 7 इकाइयों की दूरी पर होने वाला एक समतल (plane) का वेक्टर समीकरण ढूंढें और वो समतल शीर्षबिंदु पर लंब हो। साथ ही जिसमे विचारिज्ञ वेक्टर 3i+5j−6k^ हो|
जवाब:
स्टेप 1: समतल का आम वेक्टर ढूंढें।
आम वेक्टर = 3i + 5j - 6k
स्टेप 2: आम वेक्टर का माग्निट्यूड ढूंढें।
माग्निट्यूड = √(3^2 + 5^2 + (-6)^2) = √(9 + 25 + 36) = √70
स्टेप 3: आम वेक्टर का इकाई वेक्टर ढूंढें।
इकाई वेक्टर = (3/√70)i + (5/√70)j + (-6/√70)k
स्टेप 4: समत्पलक का वेक्टर समीकरण ढूंढें।
समत्पलक का वेक्टर समीकरण = r. (3/√70)i + (5/√70)j +(-6/√70)k = 7
सवाल:
निम्न में से एकल समत्पलक (plane) का वेक्टर समीकरण ढूंढें जो दो समत्पलकों के प्रांस(प्रस्थान) बीने गुजरने वाला हो। r.(2i^+2j^−3k^)=7 और r.(2i^+5j^+3k^)=9 और बिंदु (2,1,3) से जा गुजरे|
जवाब:
दिया गया है,
समतल 1: 2i + 2j - 3k = 7
समत्पल 2: 2i + 5j + 3k = 9
बिंदु (2,1,3)
स्टेप 1: दो समत्पलों के प्रायोजक का आम वेक्टर ढूंढें जो दोनों समत्पलों के प्रमाण वेक्टर का समष्टि है।
समत्पल 1 का प्रायोजक वेक्टर: n1 = (2,2,-3)
समत्पल 2 का प्रायोजक वेक्टर: n2 = (2,5,3)
n1 और n2 का क्रॉस उत्पत्ति करें:
n1 x n2 = (2,2,-3) x (2,5,3)
=(-13, 6, -2)
इसलिए, दो समत्पलों के प्रांस बीने गुजरने वाले समत्पल का प्रायोजक वेक्टर है n = (-13, 6, -2).
स्टेप 2: दिए गए बिंदु (2,1,3) से गुजरने वाले समत्पल का समीकरण वेक्टर n = (-13, 6, -2) वाला कीजिए।
समत्पल का समीकरण वेक्टर ax + by + cz = d होगा।
हम जानते हैं कि,
ax + by + cz = d
-13x + 6y - 2z = d
ऊपरी समीकरण में दिए गए बिंदु (2,1,3) की संख्या मानों को स्थानांतरित करके, हमें प्राप्त होता है
-13(2) + 6(1) - 2(3) = d
-26 + 6 - 6 = d
-26 = d
इसलिए, दिए गए बिंदु (2,1,3) से गुजरने वाले समत्पल का समीकरण वेक्टर n = (-13, 6, -2) वाला समीकरण है
-13x + 6y - 2z = -26
सवाल:
निम्न में से किन्नर (origin) से चली की लंबक की स्थानांकों को ढूंढें। 3y+4z−6=0 ए (0,24/25,18/25) बी (0,24/25,24/25) सी (0,18/25,24/25) डी इनमें से कोई नहीं
जवाब:
उत्तर: सी (0,18/25,24/25)
सवाल:
निम्न में से दिए गए समत्पलक क्या समांकीय हैं या लंब-लंब हैं, और जो कोई नहीं हैं, उनके बीच के कोण ढूंढें 2x−y+3z−1=0 और 2x−y+3z+3=0.
जवाब:
दोनों समत्पलक एक ही x, y और z प्रेरकों के लिए समान संख्याएं रखते हैं इसलिए वे समांकीय हैं।
सवाल:
निम्न में से दिए गए समत्पलक क्या समांकीय हैं या लंब-लंब हैं, और जो कोई नहीं हैं, उनके बीच के कोण ढूंढें 2x−2y+4z+5=0 और 3x−3y+6z−1=0.
जवाब:
स्टेप 1: दिए गए समत्पलक हैं 2x−2y+4z+5=0 और 3x−3y+6z−1=0.
स्टेप 2: जांचने के लिए कि दिए गए समत्पलक समांकीय हैं या लंब-लंब हैं, हमें उनके आम वेक्टरों को तुलना करनी होगी।
स्टेप 3: पहले समत्पलक का नॉर्मल वेक्टर है (2, -2, 4)। दूसरे समत्पलक का नॉर्मल वेक्टर है (3, -3, 6)।
स्टेप 4: हम देख सकते हैं कि दोनों नॉर्मल वेक्टर समान दिक्कता नहीं हैं, इसलिए समत्पलक ना ही समांकीय हैं और ना ही लंब-लंब हैं।
Step 1: Convert the vector equations into Cartesian form.
2x + 2y - 3z = 5
3x - 3y + 5z = 3
Step 2: Find the normal vectors of the planes.
Normal vector of the first plane: (2, 2, -3)
Normal vector of the second plane: (3, -3, 5)
Step 3: Use the formula for the angle between two planes:
cos θ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂) / (√(a₁² + b₁² + c₁²) * √(a₂² + b₂² + c₂²))
cos θ = (2 * 3 + 2 * (-3) + (-3) * 5) / (√(2² + 2² + (-3)²) * √(3² + (-3)² + 5²))
Step 4: Simplify the equation:
cos θ = (6 - 6 - 15) / (√17 * √43)
cos θ = -15 / (√17 * √43)
Step 5: Calculate the angle:
θ = arccos(-15 / (√17 * √43))
θ ≈ 153.4°
Therefore, the angle between the two planes is approximately 153.4 degrees.
Step 1: To find the intercepts cut off by the plane, we set one variable at a time to zero and solve for the other two variables.
When x = 0, 2(0) + y - z = 5 y - z = 5
When y = 0, 2x + 0 - z = 5 2x - z = 5
When z = 0, 2x + y - 0 = 5 2x + y = 5
Step 2: Solve each equation to find the intercepts.
When y - z = 5, y = 5 + z
When 2x - z = 5, 2x = 5 + z x = (5 + z)/2
When 2x + y = 5, y = 5 - 2x
Therefore, the intercepts cut off by the plane 2x + y - z = 5 are:
- x-intercept: (5 + z)/2, 0, 0
- y-intercept: 0, 5 - 2x, 0
- z-intercept: 0, 0, 5 + z
उत्तर:
स्टेप 1: चार ज्या होने वाले सरणियों के दिशा संकेतकों की तलाश करें।
दिए गए बिंदु A (1,1,0), B (1,2,1) और C (-2,2,-1) हैं।
AB और BC के दिशा संकेतक इस प्रकार होंगे: AB = <1,1,1> और BC = <-3,0,-2>
स्टेप 2: तथा यदि हम (ए. बी॰) और (बी. सी॰) के लिए रेखाओं के दिशा संकेतकों का गुण मेलना है, हमें आवधारणा लगानी चाहिए कि चार ज्या हो आवश्यकताएँ प्रलंबक का नार्मल वेक्टर है, अर्थात्। न = (AB × BC) = <3, -3, 1>
स्टेप 3: विमान की मस्तकी समीकरण खोजें।
विमान की समीकरण शीर्षक और प्रलंबक के किसी भी बिंदु का प्रयोग करके मिला सकता है, अर्थात्।
- समीकरण को एक स्केलर समीकरण के रूप में लिखा गया है।
२. हम इसे बड़ा करके कार्तेशीय समीकरण में बदल सकते हैं।
३. इस प्रकार, दिए गए समतल का कार्तेशीय समीकरण २एक्स + ३वाई - ४ज़ = १ है।
सवाल:
बिंदु (२,३,−५), समतल x+२वाई−२ज़=९
उत्तर:
१. बिंदु पर परिभाषित करें: बिंदु (२,३,-५) २. समतल की परिभाषा करें: x+२वाई-२ज़=९
सवाल:
बिंदु, समतल: (−६,०,०),२एक्स−३वाई+६ज़−२=०।
उत्तर:
१. समतल का समीकरण दिया जा रहा है जैसे २एक्स−३वाई+६ज़−२=०।
२. दिया गया बिंदु है (−६,०,०)।
३. यदि बिंदु समतल पर है तो समतल के समीकरण में बिंदु की संयोजनाओं को भरकर समीकरण के मान के लिए हल करें: २(-६)-३(०)+६(०)-२= -१२-२=-१४
४. समीकरण ० के समान नहीं होने के कारण, बिंदु समतल पर नहीं है।
सवाल:
योग्यता ३ के साथ y-अक्ष पर समतल की समीकरण ढूंढें और ZOX समतल के समानांतर हो।
उत्तर:
उत्तर: चरण १: ZOX समतल की समीकरण है x + y = ०। चरण २: ZOX समतल के समानांतर समतल की समीकरण ढूंढ़ने के लिए हम समीकरण में एक स्थायी योग्यता जोड़ेंगे। चरण ३: y-अक्ष पर योग्यता ३ है, इसलिए स्थायी ३ होना चाहिए। चरण ४: y-अक्ष पर योग्यता ३ की साथ समतल की समीकरण है x + y = ३।
सवाल:
निम्नलिखित मामलों में, मूल से खींची गई लपेट छापने की संयोजित निर्देशित कोणों की निर्देशिकाओं का पता लगाएँ। २एक्स+३वाई+४ज़−१२=० ए (२९२४,४९३६,२९४८) बी (४९२४,४९३६,४९४८) सी (२९२४,२९३६,२९४८) डी (४९२४,२९३६,४९४८)
उत्तर:
ए. (२९२४, २९३६, २९४८)
