त्रिविमीय ज्यामिति अभ्यास 02
##Question: यहां दो रेखाओं के बीच कम से कम दूरी का पता लगाएं
Sorry, but I’m unable to provide the translation for the mathematical symbols and equations you provided.
विषय (i): चरण 1: समीकरणों को Ax+By+Cz=D के रूप में व्यक्त करें पहले समीकरण के लिए: 2x−2=5y−1=−3z+3 A=2, B=5, C=-3, D=3 दूसरे समीकरण के लिए: −1x+2=8y−4=4z−5 A=-1, B=8, C=4, D=-5
चरण 2: दोनों रेखाओं की दिशा कोसाइन्स ढूंढें। पहली रेखा की दिशा कोसाइन्स: l₁ = (2/√14, 5/√14, -3/√14) दूसरी रेखा की दिशा कोसाइन्स: l₂ = (-1/√17, 8/√17, 4/√17)
चरण 3: दोनों रेखाओं के बीच का कोण निकालें उपयोग करके घातांक उत्पादन का सूत्र। दोनों रेखाओं के बीच का कोण = cos⁻¹(l₁.l₂) = cos⁻¹((2/√14)(-1/√17)+(5/√14)(8/√17)+(-3/√14)(4/√17)) = cos⁻¹(−2/14+40/14−12/14) = cos⁻¹(28/14) = cos⁻¹(2) = 60°
विषय (ii): चरण 1: समीकरणों को Ax+By+Cz=D के रूप में व्यक्त करें पहले समीकरण के लिए: 2x=2y=1z A=2, B=2, C=1, D=0 दूसरे समीकरण के लिए: 4x−5=1y−2=8z−3 A=4, B=1, C=8, D=-3
चरण 2: दोनों रेखाओं की दिशा कोसाइन्स ढूंढें। पहली रेखा की दिशा कोसाइन्स: l₁ = (2/√5, 2/√5, 1/√5)
दिशा कोसाइनस द्वितीय रेखा के: l₂ = (4/√17, 1/√17, 8/√17)
स्टेप 3: बिंदु गुणन फ़ॉर्मूला का उपयोग करके दोनों रेखाओं के बीच का कोण ढूंढें। दोनों रेखाओं के बीच कोण = cos⁻¹(l₁.l₂) = cos⁻¹((2/√5)(4/√17)+(2/√5)(1/√17)+(1/√5)(8/√17)) = cos⁻¹(8/5+2/5+8/5) = cos⁻¹(18/5) = cos⁻¹(3.6) = 70.53°
प्रश्न:
निम्नलिखित रेखाओं के बीच का कोण ढूंढें: (i) r=2i^−5j^+k^+λ(3i^−2j^+6k^) और r=7i^−6k^+μ(i^+2j^+2k^) (ii) r=3i^+j^−2k^+λ(i^−j^−2k^) और r=2i^−j^−56k^+μ(3i^−5j^−4k^)
उत्तर:
(i) स्टेप 1: दोनों रेखाओं के दिशा लक्षक ढूंढ़ें।
पहली रेखा का दिशा लक्षक = (3i^−2j^+6k^) दूसरी रेखा का दिशा लक्षक = (i^+2j^+2k^)
स्टेप 2: दो दिशा लक्षक का गुणन ढूंढ़ें।
गुणन = (3i^−2j^+6k^).(i^+2j^+2k^) = 3i^2 + 2ij^−2j^2 + 6ik^+2i^2j^+4j^2k^+2k^2 = 5i^2+2ij^−4j^2+8ik^+4j^2k^+2k^2
स्टेप 3: दो दिशा लक्षक की माप ढूंढ़ें।
पहले वेक्टर की माप = √(3i^2+2j^2+6k^2) = √(9+4+36) = √49 = 7
दूसरे वेक्टर की माप = √(i^2+4j^2+4k^2) = √(1+16+16) = √33 = 5.74
स्टेप 4: सूत्र का उपयोग कर दो रेखाओं के बीच का कोण ढूंढे:
cosθ = (दो वेक्टर का गुणन)/(पहले वेक्टर की माप × दूसरे वेक्टर की माप)
cosθ = (5i^2+2ij^−4j^2+8ik^+4j^2k^+2k^2)/(7×5.74)
cosθ = 0.908
स्टेप 5: इंवर्स कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग कर कोण ढूंढें।
θ = cos^−1(0.908) = 25.8°
इसलिए, दो रेखाओं के बीच का कोण 25.8° है।
(ii) स्टेप 1: दोनों रेखाओं के दिशा लक्षक ढूंढ़ें।
पहली रेखा का दिशा लक्षक = (i^−j^−2k^) दूसरी रेखा का दिशा लक्षक = (3i^−5j^−4k^)
स्टेप 2: दो दिशा लक्षक का गुणन ढूंढ़ें।
गुणन = (i^−j^−2k^).(3i^−5j^−4k^) = i^3−ij^2−2ik^+3i^2j^−5j^2−4jk^−2i^2k^+5j^2k^+8k^3 = i^3−ij^2−6ik^−5j^2−2jk^−2i^2k^+5j^2k^+8k^3
स्टेप 3: दो दिशा लक्षक की माप ढूंढ़ें।
पहले वेक्टर की माप = √(i^2+j^2+4k^2) = √(1+1+16) = √18 = 4.24
दूसरे वेक्टर की माप = √(9i^2+25j^2+16k^2) = √(81+625+256) = √962 = 31.07
स्टेप 4: सूत्र का उपयोग कर दो रेखाओं के बीच का कोण ढूंढे:
cosθ = (दो वेक्टर का गुणन)/(पहले वेक्टर की माप × दूसरे वेक्टर की माप)
cosθ = (i^3−ij^2−6ik^−5j^2−2jk^−2i^2k^+5j^2k^+8k^3)/(4.24×31.07)
cosθ = 0.874
स्टेप 5: इंवर्स कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग कर कोण ढूंढें।
θ = cos^−1(0.874) = 29.2°
इसलिए, दो रेखाओं के बीच का कोण 29.2° है।
प्रश्न:
दोनों रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी ढूंढें: र=2i^−5j^+k^+λ(3i^−2j^+6k^) और r=7i^−6k^+μ(i^+2j^+2k^) (ii) r=3i^+j^−2k^+λ(i^−j^−2k^) और r=2i^−j^−56k^+μ(3i^−5j^−4k^)
उत्तर:
- दोनों रेखाओं की ढाल ढूंढ़ें। पहली रेखा की ढाल -7/6 है।
दो सरल रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी है |
