सम्बन्ध और कार्यों का अभ्यास 02
हिंदी संस्करण:
प्रश्न:
बीजगणितीय संरचना के अनुसार, A और B हो सेट हैं। दिखाएँ कि f: A×B→B×A एक ऐसा चित्रकार फलन है जहाँ f(a,b) = (b,a) हो।
उत्तर:
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f एक बीजगणितीय फलन है इसे दिखाने के लिए, हमें पहले प्रमाणित करना होगा कि यह दोनों प्रविष्टि हेतु फलों का एकांतर है और सर्वसाधारण है।
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f एकांतर को दिखाने के लिए, हमें दिखाना होगा कि सभी a1, a2 ∈ A के लिए, और सभी b1, b2 ∈ B के लिए, यदि f(a1, b1) = f(a2, b2) तो a1 = a2 और b1 = b2 होता है।
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मानिए f(a1, b1) = f(a2, b2)। तब (b1, a1) = (b2, a2) होता है। क्योंकि किसी सेट में तत्वों के क्रम का महत्व नहीं होता है, इससे प्राप्त होता है कि b1 = b2 और a1 = a2। इसलिए, f एकांतर है।
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f को सर्वसाधारण होने के लिए दिखाना होगा कि सभी b1, b2 ∈ B के लिए, ऐसा a1, a2 ∈ A होता है जिससे f(a1, b1) = f(a2, b2) होता है।
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b1, b2 ∈ B को लेट ले। तब हम a1 = b2 और a2 = b1 को परिभाषित कर सकते हैं। फिर f(a1, b1) = f(b2, b1) = (b1, b2) होता है। इसलिए, f सर्वसाधारण है।
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f अपार्थिविक और भारतीय दोनों होने के कारण, यह एक ऐसा चित्रकार फलन है।
प्रश्न:
बीजगणितीय संरचना के अनुसार, एक महाविद्यालय की पुस्तकालय में सभी पुस्तकों के सेट A में परिभाषित संबंध R={(x,y):x और y के पन्नों की संख्या समान है} एकत्ता संज्ञा है। कृपया दिखाएं कि यह एकत्ता संज्ञा है।
उत्तर:
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एकत्ता संज्ञा होने के लिए, हमें पहले प्रमाणित करना होगा कि यह प्रतिस्वरूपी, सममिति और पारस्परिकता है।
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प्रतिस्वरूपता: संबंध कृपया कर किसी भी पुस्तक x के लिए, x के अच्छे ख़ास पन्नों की संख्या के समान होते हैं। इसलिए, (x,x) R में है। यह दिखाता है कि R प्रतिस्वरूपी है।
Translate into Hi: 3. Symmetric: A relation is symmetric if, for every pair of elements (x,y), if x is related to y then y is related to x. In this case, if two polygons P1 and P2 have the same number of sides, then P2 has the same number of sides as P1, and vice versa. Therefore, R is symmetric.
For any element a in A, |a-a| = 0, which is even. Therefore, (a,a) belongs to R for all a in A. Thus, R is reflexive.
Symmetric: For any elements a and b in A, if (a,b) belongs to R, then |a-b| is even. Since |a-b| = |-(a-b)| = |-a+b| = |b-a|, it follows that (b,a) also belongs to R. Thus, R is symmetric.
Transitive: For any elements a, b, and c in A, if (a,b) and (b,c) belong to R, then |a-b| and |b-c| are even. Since the sum of two even integers is even, |a-b| + |b-c| = |a-c| is also even. Therefore, (a,c) belongs to R. Thus, R is transitive.
Since R is reflexive, symmetric, and transitive, it is an equivalence relation.
- Show that all the elements of {1,3,5} are related to each other and all the elements of {2,4} are related to each other. But no element of {1,3,5} is related to any element of {2,4}.
The elements 1, 3, and 5 are all odd numbers. The difference between any two odd numbers is always even. Therefore, all the elements of {1,3,5} are related to each other.
Similarly, the elements 2 and 4 are both even numbers. The difference between any two even numbers is always even. Therefore, all the elements of {2,4} are related to each other.
However, an odd number is never related to an even number, since the difference between an odd number and an even number is always odd. Therefore, no element of {1,3,5} is related to any element of {2,4}.
Hence, all points related to P=(0,0) lie on the circle passing through P with origin as the centre.
इसका अर्थ है कि (0,0) के सभी बिंदु स्थल से उत्पन्न सभी बिंदु संबंधी बिंदु हैं जिनकी स्थलस्थान समूल के बिंदु से समान दूरी पर है।
इसलिए, (0,0) से संबंधित सभी बिंदुओं का सेट मूल से प्रवेश करने वाले (0,0) के मध्य से गुजरने वाले वृत्त है।
सवाल:
N→N परिभाषित f:N→N के लिए f(n)={n+1/2,अगर n विषम है n/2अगर n भी है} सभी के लिए n∈N के लिए लिखें। देंढ़ीय आवेदन के बहुपदी जो इसके जवाब में है। जस्टिफाई करें।
जवाब:
उत्तर: नहीं, फ़ंक्शन f अनुसार्धक नहीं है।
इसे साबित करने के लिए, हमें दिखाना होगा कि या तो फ़ंक्शन अप्रेषण के लिए या तो अनुप्रेषण के अनुप्रेषण नहीं है।
फ़ंक्शन अप्रेषण नहीं होने का प्रदर्शन करने के लिए, हम डोमेन में दो अलग-अलग तत्व ले सकते हैं, उदाहरण के लिए n=3 और n=4। हम देखते हैं कि f(3)=2 और f(4)=2, इसलिए दिखाता है कि f(3) = f(4)। इसका अर्थ है कि फ़ंक्शन अप्रेषण नहीं है।
फ़ंक्शन अप्रेषण नहीं होने का प्रदर्शन करने के लिए, हम कोडोमेन में कोई भी तत्व ले सकते हैं, उदाहरण के लिए y=2 के लिए। हम देखते हैं कि फ़ंक्शन f(n)=2 इस तत्व के लिए कोई तत्व नहीं है। इसका अर्थ है कि फ़ंक्शन अनुप्रेषण नहीं है।
इसलिए, फ़ंक्शन f अनुसाधारण नहीं है।
सवाल:
A={1,2,3}, B={4,5,6,7} और f=(1,4),(2,5),(3,6) एक ऐसा कार्य है जो A से B का एक फ़ंक्शन है। दिखाएं वचन है।
जवाब:
चरण 1: पहले, हमे यह परिभाषित करना होगा कि एक फ़ंक्शन के लिए क्या अर्थ होता है कि वह वन-वन है। फ़ंक्शन एफ़ एक व्यष्टि होती है यदि किसी भी दो तत्वों के लिए डोमेन में, अगर एफ़(ए) = एफ़(ब) हो तो चरण 1: हम आंशिक खंड के लिए दिया गया फ़ंक्शन f देखेंगे, जो A के तत्वों को B के तत्वों से जोड़ता है। हम देख सकते हैं कि A के हर तत्व के लिए, एक ऐसा अद्यतन तत्व B में होता है जिसके साथ यह संबंध है। उदाहरण के लिए, 1 को 4 के लिए, 2 को 5 के लिए, और 3 को 6 के लिए जोड़ता है।
चरण 3: क्योंकि अद्यतन निर्धारित है, हम निष्कर्ष कर सकते हैं कि फ़ंक्शन f एक-एक है।
सवाल:
L एक्सवाई तस्वीर में सभी रेखाओं का सेट हो और R L के एल संबंध होने के रूप में परिभाषित होती है जिसे R={(L1,L2):L1 L2 सेंटर के रूप में समानांतर हैं} कहा जाता है। दिखाएं कि R एक समानता संबंध है। रेखा y=2x+4 से संबंधित सभी रेखाओं का सेट ढूंढ़ें।
जवाब:
उत्तर: R एक समानता संबंध है क्योंकि यह स्वतः, सममिति और ऐसतत्ती है।
स्वतः: L1 एक रेखा है तो L1 L1 से समानांतर है। सममिति: यदि L1 L2 से समानांतर है, तो L2 L1 से समानांतर है। ऐसतत्ती: यदि L1 L2 से समानांतर है और L2 L3 से समानांतर है, तो L1 L3 से समानांतर है।
य=2x+4 से संबंधित सभी रेखाओं का सेट वो सभी रेखाएं है जो XY तस्वीर में y=2x+4 रेखा के साथ समानांतर हैं।
सवाल:
A=R−3 है और B=R−1 है। A से B तक F:A→B के द्वारा परिभाषित f(x)=(x−2/x−3) फ़ंक्शन का विचार करें। क्या f एक-एक और ऊपर है। अपने उत्तर की आपातकालीनता करें
जवाब:
उत्तर: नहीं, f एक-एक और ऊपर नहीं है।
f एक-एक नहीं होने का प्रदर्शन करने के लिए, हम दिखा सकते हैं कि दो अलग-अलग तत्व x₁ और x₂ A में ऐसे होते हैं कि f(x1)=f(x2)।
हमारे पास है: f(x1)=(x1−2/x1−3) और f(x2)=(x2−2/x2−3)।
To show that R is not transitive, we need to find a,b,c∈A such that (a,b)∈R, (b,c)∈R, but (a,c)∉R.
Let a=1, b=2, and c=3. Then, (1,2)∈R since 1≤2^2, and (2,3)∈R since 2≤3^2. However, (1,3)∉R since 1≰3^2. Therefore, R is not transitive.
In conclusion, the relation R in the set R of real numbers defined as R={(a,b):a≤b^2} is neither reflexive, nor symmetric, nor transitive.
यहां प्रदर्शित करने के लिए की आप R को transitive नहीं है, हमें ऐसे ए, ब, सी ∊ ए ढूंढ़ने की आवश्यकता है जो (ए, ब) ∊ र, (ब, सी) ∊ र है, लेकिन (ए, सी) ∉ र है। देखिए: अ = 2, बी = 3, और सी = 4। तब, (2,3) ∊ आर क्योंकि 2 ≤ 3^2 और (3,4) ∊ आर क्योंकि 3 ≤ 4^2। हालांकि, (2,4) ∉ आर क्योंकि 2 ≠ 4 2 । इसलिए, आर transitive नहीं है।
सवाल:
R में R में परिभाषित रिश्ता R={(वि,ब)}:अ≤ब, reflexive और transitive है, लेकिन symmetric नहीं है यह दिखाएं।
उत्तर:
Reflexive: R={(वि,ब)}:अ≤ब वि=ब यहां जाने के लिए इसलिए, (वि,वि) ∊ आर (वि,वि) ∊ आर, यहां R reflexive है।
Transitive: (वि,ब) ∊ आर और (ब,सी) ∊ आर लेने के लिए इसलिए अ≤ब और ब≤सी है अ≤ब और ब≤सी, अ≤सी है इसलिए, (अ,सी) ∊ आर है (अ,सी) ∊ आर, यहां R transitive है।
Not Symmetric: (वि,ब) ∊ आर लेने के लिए अ≤ब है (ब,वि) ∊ आर लेने के लिए अ≤ब है अ≤ब और ब≤अ है, इसलिए अ≠ब है इसलिए, (वि,ब) ∉ आर है (वि,ब) ∉ आर, यहां R symmetric नहीं है।
सवाल:
सेट {1,2,3,4,5,6} में परिभाषित संबंध R की जांच करें जहां R={(ए,ब):ब=ए+1}, रिफ्लेक्सिव, सिमिट्रिक है या ट्रांसिटिव है।
उत्तर:
रिफ्लेक्सिव: एक संबंध R यदि (ए,ए) संबंध में मौजूद है जो कि सेट में सभी ए के लिए है।
इस संबंध की रिफ्लेक्सिवता की जांच करने के लिए, हमें जांचना होगा कि क्या (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) और (6,7) रिश्ता में मौजूद हैं।
क्योंकि इनमें से कोई भी जोड़ी संबंध में मौजूद नहीं है, R रिफ्लेक्सिव नहीं है।
सिंम्टांट्रिक: एक संबंध R यदि (ए,ब) संबंध में मौजूद है जो कि सेट में सभी ए और ब के लिए है और (ब,ए) भी संबंध में मौजूद है।
यह संबंध सिमिट्रिक है या नहीं की जांच करने के लिए, हमें जांचना होगा कि क्या (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) और (6,7) रिश्ता में मौजूद हैं।
क्योंकि इनमें से कोई भी जोड़ी संबंध में मौजूद नहीं है, R सिमिट्रिक नहीं है।
ट्रांसिटिव: एक संबंध R यदि (ए,ब) और (ब,सी) संबंध में मौजूद है जो कि सेट में सभी ए, ब और सी के लिए है और (ए,सी) भी संबंध में मौजूद है।
यह संबंध ट्रांसिटिव है की जांच करने के लिए, हमें जांचना होगा कि (1,2) और (2,3), (2,3) और (3,4), (3,4) और (4,5), (4,5) और (5,6) और (5,6) और (6,7) रिश्ता में मौजूद हैं।
क्योंकि इनमें से कोई भी जोड़ी संबंध में मौजूद नहीं है, R ट्रांसिटिव नहीं है।
