प्रायिकता अभ्यास 05
प्रश्न:
एक छात्र की संभावना कि वह कोई तैराक नहीं है 51 यूनिट है। तब पांच छात्रों में से चार तैराक होने की संभावना होगी A 5C4(4/5)4 1/5 B (4/5)4 1/5 C 5C1 1/5(4/5)4 D इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
उत्तर: C 5C1 1/5(4/5)4
प्रश्न:
एक बैग में 0 से 9 तक के उद्दीपित दस गेंदों हैं। यदि बैग से लगातार शीघ्रतापूर्वक चार गेंद निकाली जाती हैं, तो क्या संभावना है कि उनमें से कोई भी दिग्गज 0 संकेतित नहीं होगा?
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: बैग से लगातार चार गेंद निकालने पर संभावित परिणामों की कुल संख्या का गणना करें।
क्योंकि बैग में 10 गेंद हैं और प्रत्येक गेंद का चयन एक से अधिक बार हो सकता है, इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या 10x10x10x10 = 10,000 होती है।
चरण 2: चार गेंदों में से कोई भी दिग्गज 0 संकेतित नहीं है, ऐसे संभावित परिणामों की संख्या की गणना करें।
क्योंकि दस गेंदों में से 9 गेंद ऐसी होती हैं जिनमें दिग्गज 0 संकेतित नहीं होती है, ऐसे संभावित परिणामों की संख्या 9x9x9x9 = 6,561 होती है।
चरण 3: चार गेंदों में से कोई भी दिग्गज 0 संकेतित नहीं होने की संभावना की गणना करें।
चार गेंदों में से कोई भी दिग्गज 0 संकेतित नहीं होने की संभावना 6,561/10,000 = 0.6561 या 65.61% होती है।
प्रश्न:
मान लीजिए कि X का बाइनोमियल वितरण B = 6,1/2 है। दिखाएं कि X=3 सबसे संभावित परिणाम है। (संकेत: P(X=3) सभी P(xi), xi=0,1,2,3,4,5,6 में सबसे अधिक है)
उत्तर:
चरण 1: बाइनोमियल वितरण B = 6,1/2 इसका अर्थ है कि यादृच्छिक प्रतिष्ठा चक्र X में 6 परीक्षण होते हैं और सफलता की संभावना 1/2 है।
चरण 2: प्रत्येक परिणाम की संभावना, P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4), P(X=5) और P(X=6) की गणना करें।
चरण 3: प्रत्येक परिणाम की संभावनाओं की तुलना करें और सबसे संभावित को निर्धारित करें।
चरण 4: सबसे संभावित परिणाम X=3 है क्योंकि P(X=3) सभी P(xi), xi=0,1,2,3,4,5,6 में सबसे अधिक है।
प्रश्न:
एक सिंगल डाइस के 6 फेंकने में कम से कम 2 छक्कों की संभावना बताओ
उत्तर:
a+b = 6
प्रश्न:
परीक्षा में सच-झूठे प्रकार के 20 प्रश्न पूछे जाते हैं। मान लें कि एक छात्र अपने उत्तर तय करने के लिए एक इंसाफीकरण चाल फेकता है। यदि सिक्का सिर पर गिरता है, तो वह ‘सच’ का यह उत्तर देता है, यदि यह खाट पर गिरता है, तो वह ‘झूठ’ का उत्तर देता है। यह संभावना ज्ञात करें कि उसे कम से कम 12 प्रश्न सही उत्तर देने की संभावना क्या है।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: एक प्रश्न सही उत्तर देने की संभावना का पता लगाएं। P(प्रश्न सही उत्तर देने की संभावना) = P(सिक्का सिर पर गिरता है) = 0.5
चरण 2: 12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना का पता लगाएं। P(12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना) = P(सिक्का सिर पर गिरता है)^12 = 0.5^12 = 0.000244140625
चरण 3: कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना का पता लगाएं। P(कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना) = 1 - P(12 से कम प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना) = 1 - (1 - P(12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की संभावना)) = 1 - (1 - 0.000244140625)
कृपया अपना सवाल प्रदान करें।
विषय-सूची:
- एक विशाल बड़े आइटम बल्क में 5% दोषप्रद आइटम हैं। 10 आइटमों के एक नमूने में यह संभावना क्या है कि अधिकतम एक दोषप्रद आइटम शामिल होंगे?
उत्तर:
- बड़े आइटम बल्क में कुल आइटमों की कुल संख्या निर्णय करें:
n = बड़े आइटम बल्क में कुल आइटमों की संख्या
n का 5% = 0.05n
0.05n = दोषप्रद आइटम
n = 0.05n / 0.05
n = 1 / 0.05
n = 20
- 10 आइटमों के नमूने में दोषप्रद आइटमों की संख्या निर्णय करें:
x = 10 आइटमों के नमूने में दोषप्रद आइटमों की संख्या
10 का 5% = 0.05 x 10
0.05 x 10 = दोषप्रद आइटम
x = 0.05 x 10 / 0.05
x = 10 / 0.05
x = 200
- 10 आइटमों के नमूने में अधिकतम एक दोषप्रद आइटम शामिल होने की संभावना निर्णय करें:
10 आइटमों के नमूने में अधिकतम एक दोषप्रद आइटम शामिल होने की संभावना =
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
P(x = 0) = (20C0) (0.95)10 (0.05)^0
P(x = 0) = 1 (0.95)10 (1)
P(x = 0) = 0.5987
P(x = 1) = (20C1) (0.95)9 (0.05)1
P(x = 1) = 20 (0.95)9 (0.05)
P(x = 1) = 0.3829
P(x ≤ 1) = 0.5987 + 0.3829
P(x ≤ 1) = 0.9816
प्रश्न: एक अच्छी तरह से मिश्रित ताश के 52 कार्डों की एक बड़ी संख्या में 5 कार्डों को अद्यतित किए बिना चुना जाता है। क्या है जो संभावना है कि (i) पांच कार्ड सभी पानी हैं? (ii) केवल 3 कार्ड पानी होती हैं? (iii) कोई भी पानी नहीं है?
उत्तर: (i) पांच कार्ड सभी पानी होने की संभावना है (1/4)5 = 1/1024।
(ii) केवल 3 कार्ड पानी होने की संभावना है (1/4)3 x (3/4)2 = 27/1024।
(iii) कोई भी पानी न होने की संभावना है (3/4)5 = 243/1024।
प्रश्न: तीन में से एक उत्तर के साथ एकाधिकरण विषयक परीक्षा में प्रश्न, एक उम्मीदवार का गिंतगणित में क्या संभावना है कि वह तीन या अधिक सही उत्तर प्राप्त करेंगे?
उत्तर: उत्तर: चरण 1: संभावित परिणामों की कुल संख्या निर्णय करें। प्रत्येक प्रश्न के लिए 3 संभावित उत्तर हैं, इसलिए कुल संभावित परिणामों की संख्या 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 है।
चरण 2: उन परिणामों की संख्या का निर्धारण करें जहां उम्मीदवार को 4 या उससे अधिक सही उत्तर मिलें। प्रत्येक प्रश्न के लिए 3 संभावित परिणाम हैं, इसलिए यदि उम्मीदवार चार या उससे अधिक प्रश्नों का सही उत्तर देता है, तो 3 x 3 x 3 x 3 = 81 संभावित परिणाम हो सकते हैं।
चरण 3: संभावना का निर्धारण करें। सिर्फ भ्रम में प्रश्नों के सही उत्तर देने का व्यक्ति 81/243 = 0.33 या 33% की संभावना है।
प्रश्न: किसी व्यक्ति ने 50 लॉटरी में एक संख्या खरीदी है, जिसमें प्रत्येक लॉटरी में उनकी जीत की संभावना 1/100 है। जीतने की संभावना क्या होगी? (a) कम से कम एक बार (b) केवल एक बार (c) कम से कम दो बार?
उत्तर: a) कम से कम एक बार जीतने की संभावना है 1 - (99/100)50 = 0.632
b) केवल एक बार जीतने की संभावना है (1/100) * (99/100)49 = 0.315
c) कम से कम दो बार जीतने की संभावना है 1 - (99/100)49 - (1/100) * (99/100)49 = 0.317
