संभावना अभ्यास 04
प्रश्न:
दो नंबर यादृच्छिकता से चुने जाते हैं (बिना पुनर्स्थापन के) पहले छह सकारात्मक पूर्णांक। X को बड़ा चुने गए दो नंबरों को संकेत करता है। E(X) ढूंढें।
उत्तर:
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दो नंबरों को सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6} से चुना जा सकता है।
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यद्यपि नंबर यादृच्छिक रूप से और पुनर्स्थापन के बिना चुने जाते हैं, लेकिन किसी भी दो नंबरों को चुनने की संभावना बराबर होती है।
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X को बड़ा चुने गए दो नंबरों को संकेत करें। X के संभावित मान 2, 3, 4, 5 और 6 हैं।
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X का अपेक्षित मान फ़ॉर्मूला E(X) = ∑xP(x) द्वारा दिया जाता है, जहां x X के संभावित मान है और P(x) उस मान को प्राप्त करने की संभावना है।
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किसी विशेष मान को प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6} से दो नंबरों के सभी संभावित संयोजनों का ध्यान देना होगा।
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सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6} से दो नंबरों के 15 संभावित संयोजन हैं।
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किसी मान X की प्राप्ति की संभावना उस मान X की प्राप्ति करने वाले संयोजनों की संख्या को संख्या कर संख्या के कुल संयोजनों से विभाजित करने द्वारा दी जाती है।
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उदाहरण के लिए, X = 2 प्राप्ति की संभावना 3/15 है, क्योंकि X = 2 वाले तीन संयोजन (यानी, (1,2), (2,1), (2,2)) कर सकते हैं।
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उसी प्रकार, X = 3 प्राप्ति की संभावना 4/15 है, X = 4 प्राप्ति की संभावना 3/15 है, X = 5 प्राप्ति की संभावना 2/15 है और X = 6 प्राप्ति की संभावना 1/15 है।
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इस प्रकार, X का अपेक्षित मान E(X) = ∑xP(x) = (23/15) + (34/15) + (43/15) + (52/15) + (6*1/15) = 3.4 होता है।
प्रश्न:
एक सिक्के के दो बरसने में सिक्के के सिर की संख्या का प्रायिक वितरण ढूंढें।
उत्तर:
(i) एक सिक्के के दो बरसने में सिक्के के सिर की संख्या का प्रायिक वितरण निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया जाता है:
सिक्कों की संख्या संभावना 0 1/4 1 2/4 2 1/4
प्रश्न:
एक साथ दो पासे फेंके गए। यदि X से प्रभावित होने वाले पाँच संकेत की संख्या को निर्देशित करता है, तो X की आशा क्या है?
उत्तर:
कदम 1: दो पासों को एक साथ फेंकने पर कुल संभव नतीजों की संख्या का गणना करें।
जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है, तो 36 संभव नतीजे होते हैं।
कदम 2: दो पासों में से दो पासे जो छह का नतीजा दिखाएं की संख्या की गणना करें।
जब दो पासे छह दिखाते हैं तो उनमें 4 संभव नतीजे होते हैं (6-6, 6-1, 1-6, 6-6)।
कदम 3: दो पासों को एक साथ फेंकने पर छह का नतीजा मिलने की संभावना की गणना करें।
दो पासों को एक साथ फेंकने पर छह का नतीजा मिलने की संभावना 1/36 होती है।
कदम 4: X का आशा का गणना करें।
X की आशा = (4*1/36) = 1/9
प्रश्न:
एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी उम्र 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र ऐसे चुना जाता है कि प्रत्येक का चयन करने की समान संभावना हो और चयनित छात्र की उम्र X दर्ज की जाती है। यादृच्छिक मान X का प्रायिक वितरण क्या है? X का औसत, विचलन और मानक डिविएशन क्या है?
उत्तर:
यादृच्छिक मान X का प्रायिक वितरण:
बंदूक वाली एक सिक्का ऐसा होता है कि सिर 3 गुना ताल के लिए होने की संभावना होती है। यदि सिक्का दो बार फेंका जाता है, तो तालों की संख्या का प्रायिकता वितरण ढूंढें।
उत्तर:
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इसे संख्या को प्रतियोगी परिवर्तनी(random variable) के रूप में प्रस्तुत किया जाए, जो तालों की संख्या को प्रतिष्ठा करता है।
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X 0, 1, या 2 मान को प्राप्त कर सकता है।
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0 ताल प्राप्त करने की संभावना (3/4)2 = 9/16 होती है।
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1 ताल प्राप्त करने की संभावना 2(3/4)(1/4) = 3/8 होती है।
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2 ताल प्राप्त करने की संभावना (1/4)2 = 1/16 होती है।
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इसलिए, X का प्रायिकता वितरण है:
X=0: 9/16
X=1: 3/8
X=2: 1/16
प्रश्न:
एक टोकरी में 5 लाल और 2 काले गेंद होते हैं। दो गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। X को काले गेंदों की संख्या का प्रतियोगी परिवर्तनी संख्या माना जाता है। X के संभावित मान क्या हैं? क्या X एक यादृच्छिक परिवर्तनी है? A 0,1,2 B 3,5,7 C 7,7,8 D 1,5,7
उत्तर:
A 0,1,2; हाँ, X एक यादृच्छिक परिवर्तनी है।
प्रश्न:
यादृच्छिक परिवर्तनी X का प्रायिकता वितरण P(X) निम्न रूप में होता है, जहां k कोई संख्या होती है : P(X)={k, अगर X=0 2k, अगर X=1 3k, अगर X=2 0, अगर विपरीत का हो} (a) k की मान निर्धारित करें (b) P(X<2), P(X≤2), P(X≥2) ढूंढें।
उत्तर:
(a) k की मान निर्धारित करने के लिए, हमें X के प्रत्येक मानों के लिए संभावनाओं को जोड़ना होगा, जो कि 0, 1, और 2 हैं। इससे हमें k + 2k + 3k = 1 मिलता है, इसलिए k = 1/6 होता है।
(b) P(X<2) = P(X=0) = k = 1/6. P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) = k + 2k = 1/2. P(X≥2) = P(X=2) = 3k = 1/2.
प्रश्न:
एक पासा पर लिखे गए नंबरों की प्राप्त यादृच्छिक गणित की माध्यिका है: A 1 B 2 C 5 D 38
उत्तर:
उत्तर: B 2
प्रश्न:
30 प्रकार के बत्ती में से जिनमें से 6 खाराब होती हैं, 4 बत्ती बदल कर लिए जाते है। खराब बत्ती की संख्या का प्रायिकता वितरण ढूंढें।
उत्तर:
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कोई ऐसी यादृच्छिक परिवर्तनी X को लेटर के रूप में चुनें, जो खराब बत्ती की संख्या को प्रतिष्ठा करता है।
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X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 और 4 हैं।
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0 खराब बत्तियों को निकालने की संभावना (24/30)4 = 0.25 है।
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1 खराब बत्ती को निकालने की संभावना (6/30) * (24/30)3 = 0.3 है।
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2 खराब बत्तियाँ निकालने की संभावना (6/30)2 * (24/30)2 = 0.2 है।
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3 खराब बत्तियाँ निकालने की संभावना (6/30)3 * (24/30) = 0.15 है।
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4 खराब बत्तियाँ निकालने की संभावना (6/30)4 = 0.03 है।
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खराब बत्ती की संख्या का प्रायिकता वितरण निम्न रूप में दिया जाता है:
X = 0, P(X = 0) = 0.25
X = 1, P(X = 1) = 0.3
X = 2, P(X = 2) = 0.2
X = 3, P(X = 3) = 0.15
X = 4, P(X = 4) = 0.03
प्रश्न:
उत्तर: E(X) = 00.3 + 10.7 = 0.7
Var(X) = (0-0.7)2*0.3 + (1-0.7)2*0.7 = 0.21
सवाल: एक पंचमी में तीन बार एक इंसान ने सिक्का फेंका, उसमें से मुख्य बारिश की संख्या का मतलब निकालें।
उत्तर: चरण 1: एक निष्पादन में तीन बार एक सिक्का फेंकने के संभावित निष्कर्षों को निर्धारित करें।
उत्तर: एक सिक्का तीन बार फेंकने के संभावित नतीजे हैं: मुख-मुख-मुख, मुख-मुख-ताल, मुख-ताल-ताल, ताल-ताल-ताल, ताल-ताल-मुख, ताल-मुख-मुख।
चरण 2: संभावित निष्कर्षों की कुल संख्या की गणना करें।
उत्तर: एक सिक्का तीन बार फेंकने के छ: संभावित निष्कर्ष हैं।
चरण 3: मुख्य चरणों की संख्या का गणना करें।
उत्तर: चार मुख्य नतीजे हैं जो मुख्य-मुख्य-मुख्य, मुख्य-मुख्य-ताल, मुख-ताल-ताल, ताल-मुख-मुख है।
चरण 4: मुख्य संख्या की औसत निकालें।
उत्तर: औसत मुख्य संख्या 4/6, यानी 2/3 है।
सवाल: समझौते के एक निशाने का प्रतिष्ठान आयोजित हुआ, जिसमें 70% सदस्य पक्ष में हैं और 30% विपक्ष के बारे में हैं। एक सदस्य बेतार चुनें और हम X=0 लेंगे अगर उसने विरोध किया हो और X=1 लेंगे अगर वह पक्ष में हैं। E(X) और Var(X) ढूंढें।
उत्तर: E(X) = 00.3 + 10.7 = 0.7
Var(X) = (0-0.7)2*0.3 + (1-0.7)2*0.7 = 0.21
सवाल: निशाने को फेंकने पर मुख्य संख्या का मान निर्धारित करें, जहां X मुख्य संख्या को दर्शाता है।
उत्तर: चरण 1: एक पंचमी में एक निशाने को फेंकने के संभावित निष्कर्षों की सूची बनाएं।
संभावित निष्कर्ष = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
चरण 2: संभावित निष्कर्षों की कुल संख्या की गणना करें।
उत्तर: एक पंचमी में एक निशाने को फेंकने के लिए छ: संभावित निष्कर्ष होते हैं।
चरण 3: मुख्यता की संख्या की गणना करें।
उत्तर: मुख्यता की संख्या के चार संभावित निर्णय हैं: 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,0,1 , 0,0,1,0
चरण 4: मुख्यता की औसत संख्या की गणना करें।
उत्तर: मुख्यता की औसत संख्या 4/6, यानी 2/3 है।
सवाल: स्कूटी फेंक दी गई, जब एक सिक्का पांच छक्के के एक सेट में फेंका। X के रूप में महत्वपूर्ण संख्या ढूंढें जो सिक्के और पेढ़ में प्राप्त कर रहा है। 9,7,4,0 0,2,4,6 6,7,7,2 6,4,2,0
उत्तर: उत्तर: 0,2,4,6
सवाल: X का मान निर्धारित करें, जब दो समान के शब्दों के नमूने से भाग लिया जाता है, जहां X एस की संख्या को दर्शाता है। फिर E(X) का मान पता करें। A 37/221 B 5/13 C 1/13 D 2/13
उत्तर: उत्तर: D 2/13
सवाल: एक सिक्के को दो बार फेंकने पर सफलताओं की संख्या के प्राप्ति की संभावना वितरण ढूंढें, जहां एक सफलता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है (i) 4 से अधिक संख्या (ii) कम से कम एक सिक्के पर छे।
उत्तर: उत्तर:
चरण 1: एक सिक्के को दो बार फेंकने के संभावित निष्कर्षों की सूची बनाएं।
निष्कर्ष = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
चरण 2: सफलताएं की संख्या की गणना करें। उत्तर: सफलताएं की संख्या = 11 (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)
चरण 3: प्रत्येक नतीजे की संभावना की गणना करें। कुल नतीजों की गणना = 36
सफलता की संभावना = 11/36
चरण 4: संभावना वितरण टेबल बनाएं।
नतीजा
कॉंटेंट का हिंदी संस्करण है: = [49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16] / 36 = 205 / 36 = 5.69444
स्टेप 3: एक्स का मानक विचलन (standard deviation) की गणना करें।
एक्स का मानक विचलन = √5.69444 = 2.3818
