प्रायिकता अभ्यास 03
Question:
करण: एक कॉर्पोरेशन के बोर्ड ऑफ़ डायरेक्टर्स पद के लिए दो समूहों की प्रतिस्पर्धा हो रही है। पहले और दूसरे समूह की जीत की संभावनाएं बारीकी से 0.6 और 0.4 हैं। इसके अलावा, यदि पहला समूह जीतता है, तो नए उत्पादन की प्रावधानिक संभावना 0.7 है और यदि दूसरा समूह जीतता है तो समर्पित संभावना 0.3 होती है। दूसरे समूह द्वारा प्रस्तुत किए गए नए उत्पादन की प्रावधानिक संभावना का पता लगाएं।
Answer:
हमें निम्नलिखित की संभावना निकालनी है: पहले समूह की जीत की संभावना: P(A) = 0.6 दूसरे समूह की जीत की संभावना: P(B) = 0.4 यदि पहला समूह जीतता है, तो नए उत्पादन की संभावना: P(C|A) = 0.7 यदि दूसरा समूह जीतता है, तो संबंधित संभावना: P(C|B) = 0.3
दूसरे समूह द्वारा प्रस्तुत किए गए नए उत्पादन की संभावना: P(B|C) = (P(B) * P(C|B)) / (P(A) * P(C|A) + P(B) * P(C|B))
P(B|C) = (0.4 * 0.3) / (0.6 * 0.7 + 0.4 * 0.3)
P(B|C) = 0.2 / 0.9
P(B|C) = 0.2222
Question:
कॉलेज में स्टूडेंट्स में से 60% हॉस्टल में रहें हैं और 40% डे स्कॉलर्स हैं (हॉस्टल में न रहते हुए)। पिछले साल के परिणाम रिपोर्ट में यह जाना गया है कि हॉस्टल में रहने वाले सभी छात्रों में से 30% A ग्रेड प्राप्त करते हैं और डे स्कॉलर्स में से 20% A ग्रेड प्राप्त करते हैं। वर्ष के अंत में, कॉलेज से एक छात्र का एक बिना सम्प्रदायिक रूप से चुना जाता है और उसके पास A ग्रेड होता है, तो उसकी संभावना है कि छात्र हॉस्टल में है?
Answer:
दिया गया है,
कॉलेज में कुल संख्या छात्रों = 100% हॉस्टल में रहने वाले छात्रों की संख्या = 60% हॉस्टल में न रहने वाले छात्र (डे स्कॉलर्स) = 40%
हॉस्टल में रहने वाले छात्रों के द्वारा हासिल किए गए A ग्रेड = 30% डे स्कॉलर्स द्वारा प्राप्त किए गए A ग्रेड = 20%
ढूंढें,
छात्र हॉस्टल में होने की संभावना = ?
समाधान:
P(H) = छात्र हॉस्टल में होने की संभावना P(D) = छात्र डे स्कॉलर होने की संभावना
P(H) = (छात्र होने पर A ग्रेड प्राप्त करने की संभावना) x (होस्टल में होने की संभावना)
P(H) = (30/100) x (60/100)
P(H) = 0.18
इसलिए, छात्र हॉस्टल में होने की संभावना 0.18 है।
Question:
यदि A और B दो घटनाएं हैं जिसमें A⊂B और P(B)=0 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है? इस प्रश्न में कई सही विकल्प हैं A P(A∣B)=P(A)P(B) B P(A∣B)<P(A) C P(A∣B)≥P(A) D इनमें से कोई भी नहीं है
Answer:
A. P(A∣B)=P(A)P(B) सही है।
Question:
एक थैली में 4 लाल और 4 काले गेंद हैं, दूसरी थैली में 2 लाल और 6 काले गेंद होते हैं। इन दो थैलियों में से एक की ज़रूरत के हिसाब से किया जाता है और वह गेंद निकलती है जो लाल होती है। पहली थैली चुनी जाती है। लाल गेंद निकाली जाती है। पहली थैली से गेंद निकलने की संभावना ढूंढें।
विषयः प्रायिकता = (पहले थैले के चयन की प्रायिकता * पहले थैले से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता) / किसी भी दो थैलियों से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = (2/3 * 1/2) / (6/12) = 2/6 = 1/3
प्रश्न:
एक निर्माता के पास तीन मशीन ऑपरेटर A, B और C हैं। पहले ऑपरेटर A 1% बिगड़ते हुए आइटम बनाते हैं, जबकि दूसरे दो ऑपरेटर B और C 5% और 7% बिगड़ते हुए आइटम बनाते हैं। A को 50% समय काम करते हैं, B को 30% समय काम करते हैं और C को 20% समय काम करते हैं। एक बिगड़ती आइटम बनाई जाती है, ऐसा होने की प्रायिकता जो A द्वारा उत्पन्न हुई थी, वह क्या है?
उत्तर:
चरण 1: प्रत्येक ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न किए गए कुल आइटम की संख्या की गणना करें।
A = कुल आइटम का 50% B = कुल आइटम का 30% [continued]
प्रश्न: A वाक्यिकता बात करो हैड के उभरने की संभावना 54 है। एक सिक्का फेंका जाता है। A का दावा है कि एक हैड दिखाई देता है। वास्तविक रूप से हैड था उसकी संभावना कीया होगी?
उत्तर: A 54
प्रश्न: एक उर्ण में 5 लाल और 5 काले गेंद हैं। एक गेंद मनमाने से निकाली जाती है, उसका रंग नोट किया जाता है और उसे उर्ण में वापस रखा जाता है। इसके अलावा, नोट किए गए रंग के 2 अतिरिक्त गेंद उर्ण में डाली जाती हैं और फिर से एक गेंद मनमाने से निकाली जाती है। दूसरी गेंद लाल होने की संभावना क्या है?
उत्तर: चरण 1: उर्ण से पहली गेंद मनमाने से निकाली जाती है, जिसकी संभावना 5/10 या 0.5 होती है।
चरण 2: 2 अतिरिक्त लाल गेंदें उर्ण में डाली जाती हैं, इसलिए अब उर्ण में 7 लाल गेंद और 5 काले गेंद हैं।
चरण 3: दूसरी बार उर्ण से लाल गेंद निकालने की संभावना 7/12 या 0.583 होती है।
प्रश्न: एक बीमा कंपनी ने 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों को बीमित किया है। एक दुर्घटना की संभावनाएं 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमित व्यक्ति में से एक दुर्घटना में पड़ता है। उसकी संभावना क्या है कि वह एक स्कूटर चालक है?
उत्तर: चरण 1: कुल बीमित व्यक्तियों की कुल संख्या = 2000 + 4000 + 6000 = 12000
चरण 2: दुर्घटना की कुल संभावना = 0.01 + 0.03 + 0.15 = 0.19
चरण 3: स्कूटर चालक की दुर्घटना की संभावना = 0.01
चरण 4: दुर्घटना की संभावना, बीमित व्यक्तियों के अंतर्गत स्कूटर चालक की संभावना = 0.01/0.19 = 0.0526
प्रश्न: एक कारख़ाने में दो मशीन A और B हैं। पिछले रेकॉर्ड के अनुसार, मशीन A ने उत्पाद के वस्त्रों का 60% और मशीन B ने 40% उत्पन्न किए हैं। और, मशीन A द्वारा उत्पन्न हुए वस्त्रों में 2% दोषी होते हैं और मशीन B द्वारा उत्पन्न हुए वस्त्रों में 1% दोषी होते हैं। सभी वस्त्रों को एक स्टॉकपाइल में रखा जाता है और फिर से उसमें से एक वस्त्र यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और जब पता चलता है कि वह दोषी है तो वह मशीन B द्वारा उत्पन्न हुई है, तो यह क्या संभावना होगी?
उत्तर:
-
मशीन A ने उत्पाद के वस्त्रों का 60% और मशीन B ने 40% उत्पन्न किया है।
-
मशीन A द्वारा उत्पन्न हुए वस्त्रों में 2% दोषी होते हैं और मशीन B द्वारा उत्पन्न हुए वस्त्रों में 1% दोषी होते हैं।
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सभी वस्त्रों को एक स्टॉकपाइल में रखा जाता है और फिर से एक वस्त्र यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह दोषी होने पर पता चलता है।
-
यह संभावना होगी कि वह मशीन B द्वारा उत्पन्न हुई है, वह 40% x 1% = 0.4%।
प्रश्न: एक मल्टीपल-च्वच्वाईस परीक्षा में सवाल का उत्तर देते समय, एक छात्र को या तो उत्तर पता होता है या वह अंदाजा लगाता है। 3/4 को उत्तर पता होने की संभावना माना जाता है और 1/4 को अँदाज़े से जो उत्तर देते हैं, उसे सही होने की संभावना होती है। छात्र जो अँदाज़े से उत्तर देता है, उसे पता होता है कि उसका उत्तर प्रश्न से 1/4 के संभावित होने की संभावना होती है। उस छात्र को पता होता है कि उत्तर उसने दिया है, तो संभावना क्या होगी कि छात्र को उत्तर पता है?
उत्तर: उत्तर: दिया गया है: P(उत्तर पता है) = 3/4 P(अँदाज़े से उत्तर देता है) = 1/4 P(सही | अँदाज़े से उत्तर देता है) = 1/4
पूछा जाता है: P(उत्तर पता है | सही)
बेज़ का प्रयोग करके: P(उत्तर पता है | सही) = (P(सही | उत्तर पता है) * P(उत्तर पता है)) / P(सही)
P(सही) = P(सही | उत्तर पता है) * P(उत्तर पता है) + P(सही | अँदाज़े से उत्तर देता है) * P(अँदाज़े से उत्तर देता है)
P(सही) = (1 * 3/4) + (1/4 * 1/4)
P(सही) = 3/4 + 1/16
P(सही) = 13/16
P(उत्तर जानता है | सही) = (1 * 3/4) / (13/16)
P(उत्तर जानता है | सही) = 3/13
प्रश्न:
एक प्रयोगशाला रक्त परीक्षण, एक नििश्चित बीमारी को प्रदर्शित करने के लिए 99% प्रभावी है जब यह मौजूद होता है। हालांकि, साथ ही परीक्षा 0.5% स्वस्थ व्यक्ति में गलत-सकारात्मक परिणाम भी देती है (अर्थात, यदि एक स्वस्थ व्यक्ति को परीक्षण किया जाता है, तो 0.005 की संभावना के साथ परीक्षा इसका मतलब देगी कि उसके पास यह बीमारी है)। अगर प्राकृतिक रूप से 0.1 प्रतिशत जनसंख्या में यह बीमारी होती है, तो यदि उसके परीक्षण परिणाम सकारात्मक होता है, तो एक व्यक्ति के पास बीमारी होने की संभावना क्या है?
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: सकारात्मक परीक्षण के दिए गए परिणाम के आधार पर एक व्यक्ति के पास बीमारी होने की संभावना की गणना करें:
P(बीमारी | सकारात्मक परीक्षण) = P(सकारात्मक परीक्षण | बीमारी) * P(बीमारी) / P(सकारात्मक परीक्षण)
चरण 2: सकारात्मक परीक्षण की संभावना की गणना करें:
P(सकारात्मक परीक्षण) = P(सकारात्मक परीक्षण | बीमारी) * P(बीमारी) + P(सकारात्मक परीक्षण | बीमारी नहीं है) * P(बीमारी नहीं है)
चरण 3: दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
P(बीमारी | सकारात्मक परीक्षण) = 0.99 * 0.001 / (0.99 * 0.001 + 0.005 * 0.999)
चरण 4: समीकरण को सरल करें:
P(बीमारी | सकारात्मक परीक्षण) = 0.1647
प्रश्न:
एक पैक कार्ड के 52 कार्ड में से एक कार्ड खो गया है। पैक के शेष कार्डों में से, दो कार्ड निकाले जाते हैं और उन्हें दोनों ही हीरों की पायीं गई। यदि खो गए कार्ड की दावा है कि वह एक हीरा है, तो खो गए कार्ड हीरा होने की संभावना p है तो 100p में p का वास्तविक मान दर्ज करें
उत्तर:
चरण 1: खो गए कार्ड की हीरा होने की संभावना निर्धारित करें। इसे पैक में हीरों की कार्ड में से हिस्सों की संख्या (13 हीरे) का पैक में कार्डों की कुल संख्या (52 कार्ड) से विभाजित करके पता लगाया जा सकता है।
चरण 2: निर्दिष्ट एकांश को 100 से गुणा करके संभावना की संख्या निर्धारित करें। इससे हमें प्रतिशत में खो गए कार्ड हीरा होने की संभावना मिलेगी।
चरण 3: परिणाम को समीकरण 100p में दर्ज करें, जहां p खो गए कार्ड हीरा होने की संभावना है।
उत्तर: 100p = 100 x (13/52) = 25%
