SATHEE: Matrices Miscellaneous Solutions

मैट्रिक्स विविध समाधान

प्रश्न:

यदि A और B समान क्रमण वाले वर्गमात्रिकाएँ हैं जिनके लिए AB=BA है, तो सारणीबद्ध मेंनड़ी द्वारा सिद्ध करें कि $\begin{matrix} {AB}^{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} B^{n} & A \end{matrix}$ । इसके अलावा, सारणीबद्ध मेंनड़ी द्वारा सिद्ध करें कि $\begin{matrix} {(AB)}^{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} A^{n} & B^{n} \end{matrix}$ हर n∈N के लिए।

उत्तर:

आधार मामला: n = 1 मान लें। तब $\begin{matrix} {AB}^{1} \end{matrix}$ =AB और $\begin{matrix} B^{1} & A \end{matrix}$ =BA होगा। क्योंकि AB = BA, आधार मामला सत्य है।
मान लें कि $\begin{matrix} {AB}^{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} B^{n} & A \end{matrix}$ किसी n∈N के लिए।
सिद्ध करें कि $\begin{matrix} {AB}^{n+1} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} B^{n+1} & A \end{matrix}$ ।

सारणीबद्ध मेंनड़ी के द्वारा, $\begin{matrix} {AB}^{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} B^{n} & A \end{matrix}$ होगा।

इसलिए, $\begin{matrix} {AB}^{n+1} \end{matrix}$ =AB $\begin{matrix} B^{n} & A \end{matrix}$ =BA $\begin{matrix} B^{n} & A \end{matrix}$ = $\begin{matrix} B^{n+1} & A \end{matrix}$

सिद्ध करें कि $\begin{matrix} {(AB)}^{n} \end{matrix}$ =<math xmlns = “http://www.w3.

प्रश्न:

मात्रिका A विमिर्द और द्विविमिर्द दोनों है,

$[\begin{matrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{matrix}]$

Now, we need to prove the statement is true for n = k+1.

$\begin{matrix} A^{k + 1} \end{matrix}$ = $A^{k}$ A

= $[\begin{matrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} (1 + 2 k) (3) - (-4) (k) & (1 + 2 k) (-4) - (-4) (1) \\ (k) (3) + (1) (-4) & (k) (-4) + (1) (1) \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 3 + 6 k - 4 k & -4 1 + 2 k - 1.4 k \\ k . 3 - 4 & k . -4 - 1 . -4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 k + 1 & -4 . k - 4 . k \\ k . 3 + 1 & k . -4 - 1 . -4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 k + 2 & -4 1 + 2 k - 1.4 k \\ k . 3 + 1 & k . -4 - 1 . -4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 . k & -4 - 1.2 . k \\ k . 3 + 1.1 & k . -4 - - 1.4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 . k & -4 . - 1.2 . k \\ k . 3 + 1.1 & k . -4 - - 1.4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2k + 2 & -4 . - 1 . 2k \\ k . 3 + 1.1 & k . -4 - - 1.4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 k + 2 & -4 . - 1.2 k \\ k . 3 + 1.1 & k . -4 - 1.4 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 1 + 2 k + 2 & -4 . - 1.2 k \\ k <mo
Prem wants to tell the story of the reptiles to the people of his village because he believes that it is an important and fascinating tale that can educate and entertain his fellow villagers. He may also want to share the knowledge and lessons he has learned from the story, and help his community discover and appreciate the beauty and diversity of reptiles. Additionally, by sharing stories, Prem may be fostering a sense of unity and connection within his village, as storytelling often brings people together and strengthens community bonds.
अगर A एक वर्ग मैट्रिक्स हो जितना कि \begin{matrix} A^{2} \end{matrix} =A, तो \begin{matrix} {(I+A)}^{3} \end{matrix} −7A बराबर होगा A A B I−A C I D 3A \end{matrix}$

एक निर्माता तीन उत्पाद x, y, z उत्पन्न करता है जिन्हें वह दो बाजारों में बेचता है। वार्षिक बिक्री नीचे दिखाई गई हैं: बाजार उत्पाद I 10,000 2,000 18,000 II 6,000 20,000 8,000 (a) यदि उत्पाद x, y और z की इकाई विक्रय मूल्य Rs.2.50, Rs.1.50 और Rs.1.00 होती हैं, तो संयोजन बीजगणित की सहायता से प्रत्येक बाजार में कुल आय की गणना करें। (b) यदि उपरोक्त तीन वस्त्रों की इकाई लागत Rs.2.00, Rs.1.00 और 50 पैसे होती है तो ग्रॉस लाभ निकालें।

Answer:

उत्तर: (a) संयोजन बीजगणित की सहायता से प्रत्येक बाजार में कुल आय निकाली जा सकती है। A को ले चूके हो, [2.50 1.50 1.00]

बाजार I: A x [10,000 2,000 18,000]T = [50,000 30,000 18,000]T = Rs.98,000

बाजार II: A x [6,000 20,000 8,000]T = [30,000 30,000 8,000]T = Rs.68,000

(b) संयोजन बीजगणित की सहायता से प्रत्येक बाजार में ग्रॉस लाभ निकाला जा सकता है। B को ले चूके हो, [2.00 1.00 0.50]

बाजार I: B x [10,000 2,000 18,000]T = [20,000 2,000 9,000]T = Rs.31,000

बाजार II: B x [6,000 20,000 8,000]T = [12,000 20,000 4,000]T = Rs.36,000

यदि A = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1], साबित करें कि A^n = [3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1); 3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1); 3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1)], n∈N

उत्तर: साबित करें:

हम न की मान्यता के आधार पर इस प्रयास को प्रमोट करेंगे।

आधार केस:

n = 1 के लिए, A = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1]

A^1 = [3^(1-1) 3^(1-1) 3^(1-1); 3^(1-1) 3^(1-1) 3^(1-1); 3^(1-1) 3^(1-1) 3^(1-1)] = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1]

जो A के बराबर है।

इंदुक्टिव स्टेप:

किसी k के लिए मानें, A^k = [3^(k-1) 3^(k-1) 3^(k-1); 3^(k-1) 3^(k-1) 3^(k-1); 3^(k-1) 3^(k-1) 3^(k-1)]

सवाल:

यदि

[\begin{matrix} X & -5 & -1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix}]

[\begin{matrix} X \\ 4 \\ 1 \end{matrix}]

=0 है, तो x क्या है?

उत्तर:

पहले मैट्रिक्स को स्केलर एक्स से गुणा करें: $[\begin{matrix} X & -5X & -X \end{matrix}]$
दूसरे माध्यम को पहली स्टेप के परिणाम में जोड़ें: $[\begin{matrix} X & -5X & -X \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$
तीसरे माध्यम को दूसरे परिणाम के बराबर सेट करें: $[\begin{matrix} X & -5X & -X \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}]$
एक्स के लिए साधारित करें: $[\begin{matrix} X & -5X & -X \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix}]$

X = -1

सवाल:

मात्रिक्स A= $[\begin{matrix} 1 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{matrix}]$ के लिए x, y, z की मान ढूंढें जब मात्रिक्स A’A=I में संतुष्टि की समीकरण को पूरा करते हैं.

उत्तर:

हमें A’A ढूंढ़ना होगा। A’A = $[\begin{matrix} 1 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{matrix}]$
हमें A’A का उल्टा ढूंढ़ना होगा

क्या कोण्टेंट का hi हिंदी संस्करण है: A’A^-1 = $[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2y} & \frac{1}{z} \\ \frac{1}{x} & 1 & \frac{1}{-z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{-y} & 1 \end{matrix}]$

हम अब x, y, z के लिए समाधान कर सकते हैं: x = 1/x y = 1/y z = 1/z

प्रश्न:

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रेखीय समीकरण समूह को हल करें। 2x−y=−2 3x+4y=3

उत्तर:

चरण 1: समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में पुनर्लेखित करें।

[2 -1] [x] = [-2] [3 4] [y] [3]

चरण 2: समकोण मैट्रिक्स के अभिलंबक में प्रतिलिपि का गुणन करें।

[2 -1] [x] [1 1/2] [x] [1/2] [3 4] [y] x [0 1/4] [y] = [3/4]

चरण 3: x और y के लिए हल करें।

x = 1/2 y = 3/4

प्रश्न:

लेट A= $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ , दिखाएं कि $\begin{matrix} {(aI+bA)}^{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} a^{n} & I \end{matrix}$ + $\begin{matrix} {na}^{n-1} & bA \end{matrix}$ , यहां I क्रम का पहचानक मैट्रिक्स है और n∈N

उत्तर:

जवाब:

A = $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$
I = $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$
aI+bA = $[\begin{matrix} a + b 0 & b 1 \\ 0 + b 0 & a 0 \end{matrix}]$
(aI+bA)^n = $\begin{matrix} {(aI+bA)}^{n} \end{matrix}$
(aI+bA)^n = $\begin{matrix} a^{n} & I & + & {na}^{n-1} & bA \end{matrix}$

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