SATHEE: Matrices Exercise 04

मात्रिकाएँ अभ्यास 04

प्रश्न:

मैट्रिक्स का रुखवापी ढूंढें, यदि वह मौजूद हो। $[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}]$

उत्तर:

चरण 1: मैट्रिक्स का निर्धारक गणित करें।

मैट्रिक्स का निर्धारक = 1 × 7 - 3 × 2 = 5

चरण 2: क्योंकि निर्धारक 0 के बराबर नहीं है, इन्वर्स मैट्रिक्स मौजूद है।

चरण 3: मैट्रिक्स का पर्यायक गणित करें।

मैट्रिक्स का पर्यायक = $[\begin{matrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix}]$

चरण 4: मैट्रिक्स का निर्धारक से पर्यायक को विभाजित करें।

मैट्रिक्स का रुखवापी = $[\begin{matrix} 7 & \frac{-3}{5} \\ \frac{-2}{5} & 1 \end{matrix}]$

प्रश्न:

दी गई मैट्रिक्स का रुखवापी ढूंढें, यदि वह मौजूद हो। $[\begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix}]$

उत्तर:

चरण 1: मैट्रिक्स का निर्धारक गणित करें।

मैट्रिक्स का निर्धारक = 2 × 3 - 5 × 1 = 1 - 15 = -14

चरण 2: जांचें कि निर्धारक 0 के बराबर नहीं है।

निर्धारक 0 के बराबर नहीं है, इसलिए मैट्रिक्स का रुखवापी मौजूद है।

चरण 3: मैट्रिक्स का पर्यायक गणित करें।

मैट्रिक्स का पर्यायक = $[\begin{matrix} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$

चरण 4: पर्यायक मैट्रिक्स को निर्धारक से विभाजित करें।

मैट्रिक्स का रुखवापी =

कॉन्टेंट का हिंदी संस्करण:

सवाल:

मात्रिका का उलट, यदि वह मौजूद है, ढूंढें। $[\begin{matrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

उत्तर:

चरण 1: मात्रिका का निर्धारक खोजें।

मात्रिका का निर्धारक = 4 × 4 - 5 × 3 = 16 - 15 = 1

चरण 2: क्योंकि निर्धारक 0 नहीं है, इसलिए मात्रिका का उलट मौजूद है।

चरण 3: मात्रिका का पर्यायी का गणना करें।

मात्रिका का पर्यायी = $[\begin{matrix} 4 & - 5 \\ - 3 & 4 \end{matrix}]$

चरण 4: निर्धारक के द्वारा पर्यायी को विभाजित करें, ताकि मात्रिका का उलट मिले।

मात्रिका का उलट = $[\begin{matrix} 4 & - 5 \\ - 3 & 4 \end{matrix}]$

मात्रा सूची का इन्वर्स खोजें, यदि यह मौजूद है। $[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix}]$

जवाब:

चरण 1: मैट्रिक्स के गणक को गणित करें।

$[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix}]$

गणक = 3 * 2 - (-1) * (-4) = 10

चरण 2: यह जांचें कि गणक गैर-शून्य है या नहीं।

गणक 10 है, जो गैर-शून्य है। इसलिए, मैट्रिक्स का इन्वर्स मौजूद है।

चरण 3: मैट्रिक्स का परिप्रेक्ष्य गणना करें।

$[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix}]$

परिप्रेक्ष्य = $[\begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{matrix}]$

चरण 4: गणक से परिप्रेक्ष्य मैट्रिक्स विभाजित करें।

$[\begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{matrix}]$ /10

इन्वर्स = $[\begin{matrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.1 & 0.3 \end{matrix}]$

प्रश्न:

सभी मैट्रिक्सों का रिवर्स खोजें, यदि यह मौजूद हो। $[\begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$

उत्तर:

स्टेप 1: मैट्रिक्स का निर्धारक (determinant) प्राप्त करें।

मैट्रिक्स का निर्धारक 5 है।

स्टेप 2: मैट्रिक्स का रिवर्स (inverse) प्राप्त करें।

मैट्रिक्स का रिवर्स निर्धारक (5) से भाग करके मिलता है $[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{matrix}]$ ।

इसलिए, मैट्रिक्स का रिवर्स है $[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{matrix}]$ /5।

प्रश्न:

मैट्रिक्स का रिवर्स खोजें, यदि यह मौजूद हो। $[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

उत्तर:

स्टेप 1: मैट्रिक्स का निर्धारक (determinant) प्राप्त करें।

निर्धारक = 2 - 1 = 1

स्टेप 2: चूंकि निर्धारक शून्य नहीं है, इसलिए मैट्रिक्स को पलटा जा सकता है।

स्टेप 3: मैट्रिक्स का सम्प्रेषण प्राप्त करें।

$[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$

स्टेप 4: सम्प्रेषण को 1/निर्धारक से गुणा करें।

$[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \div 1]$

स्टेप 5: मैट्रिक्स का रिवर्स है

$[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$

प्रश्न:

मैट्रिक्स A और B एक-दूसरे के उल्टा होंगे, केवल अगर A AB = BA B AB = 0, BA = I C AB = BA = 0 D AB = BA = I हों।

उत्तर:

A) मैट्रिक्स A और B एक-दूसरे के उल्टा होंगे, केवल अगर A × B = B × A

B) A × B × A = B × A × B = 0

C) B × A × B = A × B × A = 0

D) A × B × A = B × A × B = I (यहां I पहचान मैट्रिक्स है)

मानक प्रपत्र-नक्शा का मुद्रण कैसे करें?

उत्तर: मानक प्रपत्र-नक्शा का मुद्रण करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

मानक प्रपत्र-नक्शा खुलाएं जिसे आप मुद्रण करना चाहते हैं.
“फ़ाइल” विकल्प पर क्लिक करें और “मुद्रित करें” चुनें.
प्रिंटर को चुनें जिसमें आप मुद्रण करना चाहते हैं.
मुद्रण सेटिंग्स को संपादित करें, जैसे कि पृष्ठ का आकार, ओरिएंटेशन, मार्जिन, आदि.
“मुद्रण” बटन पर क्लिक करें और मानक प्रपत्र-नक्शा मुद्रित करने के लिए प्रिंट प्रिव्यू देखें.
मानक प्रपत्र-नक्शा सफलतापूर्वक मुद्रित हो जाएगा।

सुनिश्चित करें कि आपके पास पहले से ही एक प्रिंटर स्थापित है और मुद्रण को बंद करने के लिए पर्याप्त कागज और टोनर उपलब्ध है।

मैट्रिक्स का प्रतिद्वंद्वी खोजें, यदि वह मौजूद हो। $[\begin{matrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix}]$

उत्तर: चरण 1: मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें।

निर्धारक = 2 × 1 × 3 + 0 × 0 × (-1) + 5 × (-1) × 0 = 6

चरण 2: जांचें कि निर्धारक शून्य नहीं है।

क्योंकि निर्धारक शून्य नहीं है, इसलिए मैट्रिक्स का प्रतिद्वंद्वी होता है।

चरण 3: मैट्रिक्स की परावर्तनिका खोजें।

अगर मात्रिका का रिवर्स होता है, तो उसका मात्रक ढूंढ़ें। $[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix}]$

जवाब: चरण 1: मात्रिका का मात्रक निकालें।

गुणक = 3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1

चरण 2: मात्रिका का आंशिक निकालें।

आंशिक = $[\begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix}]$

चरण 3: आंशिक को मात्रक से विभाजित करें।

रिवर्स = $[\begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix}] / 1$

रिवर्स = $[\begin{matrix} 2/1 & -1/1 \\ -5/1 & 3/1 \end{matrix}]$

अतः, दिए गए मात्रिका का रिवर्स $[\begin{matrix} 2/1 & -1/1 \\ -5/1 & 3/1 \end{matrix}]$ है।

मान्य होने पर, मात्रिका का प्रतिलोम क्या हैं? $[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{matrix}]$

उत्तर:

चरण 1: मात्रिका का निर्धारक की गणना करें।

निर्धारक = 27 - 53 = 1

चरण 2: मात्रिका का सहायक गणना करें।

$[\begin{matrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{matrix}]$

चरण 3: सहायक मात्रिका के प्रत्येक तत्व को निर्धारक से भाग करें।

$[\begin{matrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{matrix}]$ /1 =

$[\begin{matrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{matrix}]$

चरण 4: दी गई मात्रिका का प्रतिलोम है:

$[\begin{matrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{matrix}]$

प्रश्न:

Step 1: Calculate the determinant of the given matrix.

Determinant = (2 × 2) - (1 × 4) = 0

Step 2: Since the determinant is 0, the inverse of the matrix does not exist.

चरण 1: प्रारूप में मैट्रिक्स दुबारा लिखें $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}]$

चरण 2: मैट्रिक्स का निर्धारक गणित करें।

$| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} | = 2 - 8 = - 6$

चरण 3: जांचें कि निर्धारक 0 नहीं है।

निर्धारक -6 है, जो 0 नहीं है। इसलिए, मैट्रिक्स का प्रतिलोम मौजूद है।

चरण 4: सूत्र का उपयोग करके मैट्रिक्स का प्रतिलोम गणित करें $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = * \frac{[\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]}{ad - bc}$

$[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}] = * \frac{[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 4 & 2 \end{matrix}]}{2 - 8}$

चरण 5: प्रतिलोम मैट्रिक्स को सरल बनाएं।

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