SATHEE: Matrices Exercise 03

मात्रिका अभ्यास 03

प्रश्न:

पता करें 1/2(A+ $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ ) और 1/2(A− $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ ), जब A= $[\begin{matrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{matrix}]$

उत्तर:

A^T पता करें:

A^T = $[\begin{matrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{matrix}]$

1/2(A + A^T) पता करें:

1/2(A + A^T) = $[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & c & 0 \end{matrix}]$

1/2(A - A^T) पता करें:

1/2(A - A^T) = $[\begin{matrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & -c \\ -b & c & 0 \end{matrix}]$

प्रश्न:

जवाब: (i) A+B = $[\begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{matrix}]$

(A+B)^T = $[\begin{matrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{matrix}]$

A^T = $[\begin{matrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{matrix}]$

B^T = $[\begin{matrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{matrix}]$

A^T + B^T = $[\begin{matrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{matrix}]$

$([\begin{matrix} c o s α & s i n α \\ - s i n α & c o s α \end{matrix}]) ([\begin{matrix} c o s α & s i n α \\ - s i n α & c o s α \end{matrix}]) = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

(ii) A’A =

निम्नलिखित प्रत्यूह के प्रतिलोम को ढूंढें: (i) $[\begin{matrix} 5 \\ 1/2 \\ -1 \end{matrix}]$ (ii) $[\begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$ (iii) $[\begin{matrix} -1 & 5 & 6 \\ √3 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{matrix}]$

उत्तर:

(i) $[\begin{matrix} 5 & 1/2 & -1 \end{matrix}]$

(ii) $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix}]$

(iii) $[\begin{matrix} -1 & √3 & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{matrix}]$

B= $[\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

To verify that (AB)′=B′A′, first compute AB:

AB= $[\begin{matrix} 1 & -4 & 3 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} -1 & 10 & 11 \end{matrix}]$

Taking the transpose of AB:

(AB)′= $[\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 11 \end{matrix}]$

Now compute B′A′:

B′= $[\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}]$

A′= $[\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}]$

B′A′= $[\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 11 \end{matrix}]$

Therefore, (AB)′=B′A′ is verified.

(ii) A= $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]$ , B= $[\begin{matrix} 1 & 5 & 7 \end{matrix}]$

To verify that (AB)′=B′A′, first compute AB:

AB= $[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 10 & 14 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} 1 & 5 & 7 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 20 & 34 & 48 \end{matrix}]$

Taking the transpose of AB:

(AB)′= $[\begin{matrix} 20 \\ 34 \\ 48 \end{matrix}]$

Now compute B′A′:

B′= $[\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}]$

A′= $[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$

B′A′= $[\begin{matrix} 20 \\ 34 \\ 48 \end{matrix}]$

Therefore, (AB)′=B′A′ is verified.

देखें, (A+A′) = $[\begin{matrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{matrix}]$ , which is equal to its transpose. So, (A+A′) is a symmetric matrix.

(ii) To verify that (A−A′) is a skew symmetric matrix, we need to show that its transpose is equal to the negation of itself.

(A−A′) = $[\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

Transposing (A−A′) gives us $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix}]$

We can see that this is equal to the negation of (A−A′), so (A−A′) is a skew symmetric matrix.

अगर A, B एक ही क्रम के symmetric मैट्रिक्स हैं, तो AB−BA का उत्तर एक शून्य प्रतिष्ठान है।

उत्तर: C शून्य प्रतिष्ठान मैट्रिक्स

प्रश्न:

निम्नलिखित मैट्रिक्स को एक symmetric और एक skew symmetric मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करें: (i) [ 3 5 1 -1 ] (ii) [ 6 -2 2 -2 3 -1 2 -1 3 ] (iii) [ 3 3 -1 -2 -2 1 -4 -5 2 ] (iv) [ 1 5 -1 2 ]

उत्तर:

The given matrix A is:

[1 -1 5]
[-1 2 1]
[5 1 3]

Let’s find the transpose of matrix A:

AT =

[1 -1 5]
[-1 2 1]
[5 1 3]

Since A = AT, the matrix A is symmetric.

(ii) A matrix A is skew symmetric if A = -AT, where AT is the transpose of A.

The given matrix A is:

[0 1 -1]
[-1 0 1]
[1 -1 0]

Let’s find the transpose of matrix A:

AT =

[0 -1 1]
[1 0 -1]
[-1 1 0]

Then, -AT =

[0 1 -1]
[-1 0 1]
[1 -1 0]

Since A = -AT, the matrix A is skew symmetric.

इसलिए, (A+B)′ = A′+B′ होता है।

(ii) To verify that (A−B)′=A′−B′, we need to calculate (A−B)′ and A′−B′ separately and then compare them.

(A−B)′ = $[\begin{matrix} 4 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & -3 \end{matrix}]$

A′−B′ = $[\begin{matrix} 4 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & -3 \end{matrix}]$

इसलिए, (A−B)′ = A′−B′ होता है।

Since (A+B)′=A′+B′, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (i) सत्य है।

(ii) (A−B)′=A′−B′ की पुष्टि करने के लिए, हमें (A−B)′ और A′−B′ को अलग-अलग कैलकुलेट करके उन्हें तुलना करनी होगी।

(A−B)′ = $[\begin{matrix} 4 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]$

A′−B′ = $[\begin{matrix} 4 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]$

Since (A−B)′=A′−B′, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (ii) सत्य है।

प्रश्न:

यदि A′= $[\begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}]$ और B= $[\begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}]$ हैं, तो (A+2B)′ की प्राप्त करें।

उत्तर:

चरण 1: A और 2B जोड़ें ताकि (A + 2B) प्राप्त करें A + 2B = $[\begin{matrix} -3 & 6 \\ 3 & 6 \end{matrix}]$

चरण 2: (A + 2B) का प्रतिस्थापन पाएं (A + 2B)′ = $[\begin{matrix} -3 & 3 \\ 6 & 6 \end{matrix}]$

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