लीनियर प्रोग्रामिंग अभ्यास ०२
उत्तर: पूरी क्षमता पर काम करने के लिए, फैक्ट्री को कितने टेनिस रैकेट और क्रिकेट बैट बनाने चाहिए, इसकी संख्या की गणना करें।
कदाचित् एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए कुल घंटों में योगदान की की जरूरत होती है = 4.5 घंटे
कदाचित् एक क्रिकेट बैट बनाने के लिए कुल घंटों में योगदान की की जरूरत होती है = 4 घंटे
चरबी 1: उपभोक्ता को हिस्सा टाइम शेड्यूल करने से पहले प्रति आइटम की कुल समय गणना करें।
एक पेडस्टल लैंप बनाने के लिए, ग्राइंडिंग / कटिंग मशीन पर 2 घंटे और स्प्रेयर पर 3 घंटे लगते हैं, इसलिए एक लैंप बनाने में कुल 5 घंटे लगते हैं।
ताड़की/कटिंग मशीन पर एक छाया बनाने के लिए 1 घंटा और स्प्रेयर पर 2 घंटे लगते हैं, इसलिए एक छाया बनाने के लिए कुल समय 3 घंटे लगते हैं।
चरण 2: एक दिन में बनाए जा सकने वाले उत्पादों की अधिकतम संख्या की गणना करें।
स्प्रेयर के लिए कम से कम 20 घंटे और कटिंग / कट करने की मशीन के लिए अधिकतम 12 घंटे उपलब्ध हैं।
इसलिए, एक दिन में बनाए जा सकने वाले लैंप्स की अधिकतम संख्या है (20 घंटे / 5 घंटे) = 4 लैंप।
एक दिन में बनाए जा सकने वाले छायाएँ की अधिकतम संख्या है (12 घंटे / 3 घंटे) = 4 छायाएँ।
चरण 3: एक दिन में कमाई जा सकने वाला अधिकतम लाभ की गणना करें।
एक लैंप की बिक्री से लाभ Rs.5 है और एक छाया से लाभ Rs.3 है।
इसलिए, एक दिन में कमाई जा सकने वाला अधिकतम लाभ है (4 लैंप्स x Rs.5) + (4 छायाएँ x Rs.3) = Rs.32।
चरण 4: लाभ को अधिकतम करने के लिए दैनिक उत्पादन की योजना बनाएं।
निर्माता को दैनिक उत्पादन में 4 लैंप्स और 4 छायाएँ बनाने चाहिए ताकि उसका लाभ अधिकतम हो।
प्रश्न: एक प्रकार का केक 200 ग्राम आटा और 25 ग्राम चरबी की आवश्यकता है, और एक दूसरे प्रकार का केक 100 ग्राम आटा और 50 ग्राम चरबी की आवश्यकता है। यदि यह संभव है कि पर्याप्त मात्रा में अन्य सामग्री की कमी न होने की स्थिति में, तो 5 किलोग्राम आटा और 1 किलोग्राम चरबी से कितने अधिकतम केक बनाए जा सकते हैं?
उत्तर: चरण 1: आटा और चरबी की उपलब्ध मात्रा निर्धारित करें।
5 किलोग्राम आटा और 1 किलोग्राम चरबी उपलब्ध हैं।
चरण 2: उपलब्ध आटा और चरबी को ग्राम में परिवर्तित करें।
5 किलोग्राम आटा = 5,000 ग्राम आटा
1 किलोग्राम चरबी = 1,000 ग्राम चरबी
चरण 3: प्रत्येक केक के लिए आवश्यक आटा और चरबी की राशि की गणना करें।
एक प्रकार के केक के लिए 200 ग्राम आटा और 25 ग्राम चरबी की आवश्यकता है।
एक दूसरे प्रकार के केक के लिए 100 ग्राम आटा और 50 ग्राम चरबी की आवश्यकता है।
चरण 4: दिए गए मात्रा में आटा और चरबी से बनाए जा सकने वाले केक की अधिकतम संख्या की गणना करें।
पहले प्रकार के केक के लिए:
5,000 ग्राम आटा ÷ 200 ग्राम आटा = 25 केक
1,000 ग्राम चरबी ÷ 25 ग्राम चरबी = 40 केक
दूसरे प्रकार के केक के लिए:
5,000 ग्राम आटा ÷ 100 ग्राम आटा = 50 केक
1,000 ग्राम चरबी ÷ 50 ग्राम चरबी = 20 केक
चरण 5: बनाए जा सकने वाले अधिकतम केक की संख्या निर्धारित करें।
बनाए जा सकने वाले अधिकतम केक की संख्या 25 है, क्योंकि यह उपलब्ध आटा और चरबी के साथ बनाई जा सकने वाली अधिकतम केक की कम संख्या है।
प्रश्न:
एक व्यापारी ने योजना बनाई है कि वह दो प्रकार के पर्सनल कंप्यूटर बेचेगा, एक डेस्कटॉप मॉडल और एक पोर्टेबल मॉडल जो कि 25,000 रुपये और 40,000 रुपये का मूल्य होगा। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटर की कुल मासिक मांग 250 इकाइयाँ से अधिक नहीं होगी। यदि वह अपनी लाभ अधिकतम करना चाहता है तो उसे 70 लाख रुपये से अधिक निवेश नहीं करना है और अगर डेस्कटॉप मॉडल पर उसका लाभ 4,500 रुपये है और पोर्टेबल मॉडल पर उसका लाभ 5,000 रुपये है।
उत्तर:
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व्यापारी का कुल बजट 70 लाख रुपये है।
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कंप्यूटर की अधिकतम मासिक मांग 250 इकाइयाँ है।
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डेस्कटॉप मॉडल की कीमत 25,000 रुपये है और पोर्टेबल मॉडल की कीमत 40,000 रुपये है।
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डेस्कटॉप मॉडल पर लाभ रुपये 4500 है और पोर्टेबल मॉडल पर लाभ रुपये 5000 है।
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व्यापारी को अपने बजट को पार न करते हुए जितने अधिक संख्या में डेस्कटॉप मॉडल रखने चाहिए।
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व्यापारी खर्च के बिना 25 लाख रुपये में 250 डेस्कटॉप मॉडल की स्टॉक कर सकता है (25000 x 250 = 25 लाख)।
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बचे हुए बजट, 45 लाख रुपये, पोर्टेबल मॉडल खरीदने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
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व्यापारी 45 लाख रुपये में 1125 पोर्टेबल मॉडल खरीद सकता है (40000 x 1125 = 45 लाख)।
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अतः, व्यापारी को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए 250 डेस्कटॉप मॉडल और 1125 पोर्टेबल मॉडल स्टॉक करने चाहिए।
प्रश्न: एक निर्माता मूय और दंडे उत्पादित करता है। एक पैकेज मूय बनाने के लिए मशीन A पर 1 घंटा की कार्यक्षमता और मशीन B पर 3 घंटे लगते हैं। एक पैकेज दंडे बनाने के लिए मशीन A पर 3 घंटे की कार्यक्षमता और मशीन B पर 1 घंटा लगते हैं। मूय पर पैकेज पर लाभ, 17.50 रुपये है और दंडे पर पैकेज पर लाभ, 7.00 रुपये है। अधिकतम लाभ के लिए प्रतिदिन कितने पैकेज बनाएं जानें, यदि वह अधिकतम 12 घंटे तक मशीनों को चलाएगा?
उत्तर: चरण 1: x = दिन में बनाई गई मूय के पैकेज की संख्या और y = दिन में वन दंडे के पैकेज की संख्या को प्रतिष्ठान किया जाना चाहिए।
चरण 2: उद्देश्य फ़ंक्शन लिखें।
उद्देश्य है कि लाभ को अधिकतम करें, जो निम्न द्वारा दिया गया है: लाभ = 17.50x + 7.00y
चरण 3: सीमाएं लिखें।
सीमाएं निम्न द्वारा दी गई हैं:
- मशीन A पर समय: 1x + 3y ≤ 12
- मशीन B पर समय: 3x + 1y ≤ 12
- नकारात्मकता नहीं: x ≥ 0, y ≥ 0
चरण 4: ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके समस्या को हल करें।
इस समस्या को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि का उपयोग किया जा सकता है। समाधान है x = 4 और y = 4, इसलिए निर्माता को प्रतिदिन 4 मूय के पैकेज और 4 दंडे के पैकेज बनाने चाहिए ताकि वह अपना लाभ अधिकतम कर सके।
प्रश्न: निम्न रूपरेखा द्वारा निर्धारित संभावित क्षेत्र के कोने बिंदु: 2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 15, xy ≥ 0 हैं (0,0), (5,0), (3,4) और (0,5)। Z = px + qy होने की स्थिति पर p और q की अवस्था ताकि Z का अधिकतम (3,4) और (0,5) पर हो, क्या है A. p=q B. p=2q C. p=3q D. q=3p
उत्तर: A. p=q
प्रश्न: एक कारख़ाना टेनिस रैकेट और क्रिकेट बल्ला बनाता है। एक टेनिस रैकेट को बनाने में 1.5 घंटे मशीन का समय और 3 घंटे करीगर का समय लगता है जबकि एक क्रिकेट बल्ला को बनाने में 3 घंटे मशीन का समय और 1 घंटे करीगर का समय लगता है। एक दिन में, कारख़ाने के पास ज्यादातर 42 घंटे मशीन का समय और 24 घंटे करीगर का समय की उपलब्धता होती है। यदि एक रैकेट पर लाभ और एक बल्ला पर लाभ 20 और 10 रुपये है, तो कारख़ाने का अधिकतम लाभ क्या होगा जब यह पूरी क्षमता पर काम करेगा?
उत्तर:
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x को टेनिस रैकेट के पैकेजों की संख्या और y को क्रिकेट बल्ला के पैकेजों की संख्या के रूप में प्रतिष्ठित करें।
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उपलब्धता के दिए गए 42 घंटे मशीन का समय और 24 घंटे करीगर का समय से अधिक संख्यक समय यहां उपयोग किया जाना चाहिए।
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इसलिए, सीमाओं की समीक्षा की जाएगी: 1.5x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24
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उद्देश्य फ़ंक्शन है: Z को अधिकतम करें = 20x + 10y
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उपरोक्त रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान है: x = 14, y = 8
कंटेंट: 6. इसलिए, पूर्ण क्षमता पर कारख़ाने का अधिकतम लाभ Rs.280 है (20x + 10y = 2014 + 108 = 280).
प्रश्न:
एक आहार में कम से कम 80 यूनिट विटामिन ए और 100 यूनिट मिनरल होने चाहिए। दो खाद्य पदार्थ F1 और F2 उपलब्ध हैं। खाद्य पदार्थ F1 का मूल्य Rs.4 प्रति खाद्य है और F2 का मूल्य Rs.6 प्रति खाद्य है। एक खाद्य पदार्थ F1 में 3 यूनिट विटामिन ए और 4 यूनिट मिनरल होते हैं। एक खाद्य पदार्थ F2 में 6 यूनिट विटामिन ए और 3 यूनिट मिनरल होते हैं। इसे एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के रूप में सारगर्भित करें। जो इन दोनों खाद्य पदार्थों का मिश्रण हो और मिनरल पोषण आवश्यकताएं पूर्ण करता है, उसके लिए न्यूनतम खर्च का पता लगाएँ?
जवाब:
x = खाद्य F1 की इकाई की संख्या y = खाद्य F2 की इकाई की संख्या
उद्देश्य संख्या: खर्च को कम करें = 4x + 6y
माद्यमता: 3x + 6y ≥ 80 4x + 3y ≥ 100 x, y ≥ 0
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या: खर्च को कम करें = 4x + 6y इसके लिए संबंधित: 3x + 6y ≥ 80 4x + 3y ≥ 100 x, y ≥ 0
प्रश्न:
रेश्मा को दो प्रकार के भोजन पी और क्यू को ऐसे मिश्रण में मिलाने की इच्छा है जिससे मिश्रण की विटामिन आवश्यकता में कम से कम 8 यूनिट विटामिन ए और 11 यूनिट विटामिन बी हों। खाद्य P की कीमत Rs. 60/kg है और खाद्य Q की कीमत Rs. 80/kg है। खाद्य P में प्रति किलोग्राम 3 यूनिट विटामिन ए और 5 यूनिट विटामिन बी होते हैं जबकि खाद्य Q में प्रति किलोग्राम 4 यूनिट विटामिन ए और 2 यूनिट विटामिन बी होते हैं। मिश्रण की न्यूनतम लागत का पता लगाएं।
जवाब:
चरण 1: मिश्रण में विटामिन ए और बी की कुल यूनिटों की गणना करें।
कुल यूनिट विटामिन ए = (खाद्य P के 3 यूनिट/kg) + (खाद्य Q के 4 यूनिट/kg) कुल यूनिट विटामिन बी = (खाद्य P के 5 यूनिट/kg) + (खाद्य Q के 2 यूनिट/kg)
चरण 2: न्यूनतम मात्रा में खाद्य P और खाद्य Q की आवश्यकता पूरी करने के लिए योग्यतम खाद्य P और खाद्य Q की गणना करें।
कम से कम खाद्य P की आवश्यकता = (8 यूनिट विटामिन ए)/(खाद्य P के 3 यूनिट/kg) = 2.67 kg कम से कम खाद्य Q की आवश्यकता = (11 यूनिट विटामिन बी)/(खाद्य Q के 2 यूनिट/kg) = 5.5 kg
चरण 3: मिश्रण की न्यूनतम लागत की गणना करें।
मिश्रण की न्यूनतम लागत = (2.67 kg खाद्य P x Rs. 60/kg) + (5.5 kg खाद्य Q x Rs. 80/kg) = Rs. 476
