लीनियर प्रोग्रामिंग अभ्यास 01
सवाल:
Z=−x+2y को अधिकतम करें, निम्न सीमाओं के अनुसार: x≥3,x+y≥5,x+2y≥6,y≥0
उत्तर:
-
उद्देश्य कार्यक्षमता को Z=-x+2y के रूप में पुनर्लेखित करें
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सीमाओं की पहचान करें: x≥3,x+y≥5,x+2y≥6,y≥0
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समन्वयिका योजना पर सीमाओं को ग्राफ करें
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सीमाओं को पूरा करने वाले क्षेत्रों को छायांकन करके सम्भव्य क्षेत्र ढूंढें
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सम्भव्य क्षेत्र के शिखरों के संयोजन ढूंढें
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प्रत्येक शिखर पर Z की मान की गणना करें
-
Z की सबसे उच्च मान वाले शिखर को सर्वोत्तम समाधान के रूप में चुनें
सवाल:
2x+y≥3,x+2y≥6,x,y≥0 के अनुसार Z=x+2y को कम करें।
उत्तर:
चरण 1: मानक रूप में उद्देश्य फ़ंक्शन और सीमाओं को पुनर्लेखित करें:
छोटद्वारी Z=x+2y
पर करने के लिए 2x+y-3≥0 x+2y-6≥0 x≥0 y≥0
चरण 2: अधिकारी सुविधाओं s1 और s2 को प्रस्तुत करें:
छोटद्वारी Z=x+2y+0s1+0s2
पर करने के लिए 2x+y+(-3)s1≥0 x+2y+(-6)s2≥0 x+0s1+0s2≥0 y+0s1+0s2≥0
चरण 3: आर्टिफिशियल चरों a1 और a2 को प्रस्तुत करें:
छोटद्वारी Z=x+2y+0s1+0s2-a1-a2
पर करने के लिए 2x+y+(-3)s1+a1≥0 x+2y+(-6)s2+a2≥0 x+0s1+0s2-a1≥0 y+0s1+0s2-a2≥0 a1,a2≥0
सवाल:
Z=−3x+4y कम करें, सिमिति के अनुसार: x+2y≤8, 3x+2y≤12, x≥0, y≥0।
उत्तर:
चरण 1: दिए गए सीमा समीकरणों को मानक रूप में लिखें।
x + 2y ≤ 8 —————> -x - 2y ≥ -8
3x + 2y ≤ 12 —————> -3x - 2y ≥ -12
चरण 2: उद्देश्य फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखें।
Z = -3x + 4y —————> -Z = 3x - 4y
चरण 3: वृद्धि सांख्यिकी को लिखें।
[ -1 -2 | -8 ] [ -3 -2 | -12 ] [ 3 4 | 0 ]
चरण 4: प्रणाली को हल करने के लिए गैसीय पूर्वली का उपयोग करें।
[ -1 -2 | -8 ] —> [ -1 -2 | -8 ] —> [ 1 0 | 4 ] [ 0 0 | 0 ] —> [ -3 -2 | -12 ] —> [ 0 1 | 4 ] [ 3 4 | 0 ] —> [ 0 0 | 0 ]
चरण 5: समाधान है x = 4, y = 4, और Z = -12।
सवाल:
Z=5x+10y निम्न सीमाओं के अनुसार कम और अधिकतम करें: x+2y≤120,x+y≥60,x−2y≥0,x,y≥0।
उत्तर:
चरण 1: उद्देश्य फ़ंक्शन Z=5x+10y को एक समीकरण के रूप में लिखें।
चरण 2: बाधाएं x+2y≤120,x+y≥60,x−2y≥0,x,y≥0 को समीकरण के रूप में लिखें।
चरण 3: सीमाओं को एक समन्वयिका की योजना पर ग्राफ़ करें।
चरण 4: संभावित क्षेत्र के शिखरों को ढूंढें। शिखर 1: (0, 60) शिखर 2: (60, 0) शिखर 3: (120, 0)
चरण 5: प्रत्येक शिखर पर उद्देश्य फ़ंक्शन की मान की हिसाब करें। शिखर 1: Z = 300 शिखर 2: Z = 300 शिखर 3: Z = 600
चरण 6: उद्देश्य फ़ंक्शन की न्यूनतम और अधिकतम मानों को निर्धारित करें। न्यूनतम मान: Z = 300 अधिकतम मान: Z = 600
सवाल:
x+2y≥100,2x−y≤0,2x+y≤200;x,y≥0 के अनुसार Z=x+2y कम करें और अधिकतम करें।
उत्तर:
चरण 1: Uddeshy karyakshamata ko Z=x+2y ke roop mein likhen।
चरण 2: Simitioं ko likhen: x+2y≥100,2x−y≤0,2x+y≤200;x,y≥0
चरण 3: Kam karin Z ko samasya ka hal karke:
x+2y≥100 2x−y≤0 2x+y≤200 x,y≥0
चरण 4: Samasyya ka hal karne ke liye badal ke tarike ka upyog karen:
x=200-2y ko pahle samikaran mein dalen: 200-2y+2y≥100 200≥100
Isliye, simitioं ko poora karne mein safal hai.
चरण 5: x=200-2y ko doosre samikaran mein dalen: 2(200-2y)-y≤0 400-4y-y≤0 400-5y≤0
इसलिए, बाध्यता 5y≤400 या y≤80 के समय पूर्ण की जाती है।
चरण 6: तीसरी समीकरण में x=200-2y को स्थानांतरित करें: 2(200-2y)+y≤200 400-2y+y≤200 400-y≤200
इसलिए, बाध्यता y≤200 के समय पूर्ण की जाती है।
चरण 7: अंतिम रूप में, बाध्यताएँ y≤80 और x≤200 के समय पूर्ण की जाती हैं।
चरण 8: Z को कम से कम करने के लिए, वस्तुनिष्ठ तर्क में x=200-2y को स्थानांतरित करें: Z=200-2y+2y Z=200
इसलिए, Z का न्यूनतम मान 200 है।
चरण 9: Z को अधिकतम करने के लिए, वस्तुनिष्ठ तर्क में x=200-2y को स्थानांतरित करें: Z=200-2y+2y Z=400
इसलिए, Z का अधिकतम मान 400 है।
प्रश्न:
Z=3x+5y को कम से कम करें इसलिए x+3y≥3,x+y≥2,x,y≥0 के तहत।
उत्तर:
-
दिए गए बाध्यताओं को मानक रूप में पुनः लिखें: x + 3y ≥ 3 → -x - 3y ≤ -3 x + y ≥ 2 → -x - y ≤ -2
-
वस्तुनिष्ठ तर्क के रूप में उद्देश्य कार्यक्षेत्र को लिखें (x और y के संकेतकों को -1 से गुणा करके): अधिकतम करें Z = -3x - 5y
-
प्रारंभिक सिंप्लेक्स टेबल की स्थापना करें:
| Z | x | y | s1 | s2 | b | | -3 | -1 | -3 | 1 | 0 | -3 | | -5 | -1 | -1 | 0 | 1 | -2 |
-
पाइवट तत्वावधान चुनें: नीचे की पंक्ति और उपरोक्त स्तंभ से पाइवट तत्वावधान का चयन करें (इस मामले में, Z स्तंभ से -3 का चयन करें)।
-
नया टेबल सजाने के लिए पंक्ति परिचालन करें:
| Z | x | y | s1 | s2 | b | | 1 | 1/3 | 1 | -1/3 | 0 | 1 | | 0 | 2/3 | 2 | 1/3 | 1 | 2 |
- विपुलता की जांच करें: x = 1, y = 2 पर सर्वोत्तम समाधान है।
प्रश्न:
Z=5x+3y को अधिकतम करें इसलिए 3x+5y≤15,5x+2y≤10,x≥0,y≥0 के तहत।
उत्तर:
चरण 1: अधिकतम करने के लिए उद्देश्य कार्यक्षेत्र की पहचान करें:
Z = 5x + 3y
चरण 2: बाध्यताओं की पहचान करें:
3x + 5y ≤ 15 5x + 2y ≤ 10 x ≥ 0 y ≥ 0
चरण 3: बाध्यताओं को मानक रूप में पुनः लिखें:
3x + 5y ≤ 15 -3x - 5y ≥ -15
5x + 2y ≤ 10 -5x - 2y ≥ -10
x ≥ 0 -x ≤ 0
y ≥ 0 -y ≤ 0
चरण 4: प्रारंभिक सारणी स्थापित करें:
x y s1 s2 s3 s4 Z
चरण 5: नदियों को बाध्यताओं में जोड़ें:
x y s1 s2 s3 s4 Z 3 5 1 0 0 0 0 5 2 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0
चरण 6: उद्देश्य कार्यक्षेत्र उपस्थित करें:
x y s1 s2 s3 s4 Z 3 5 1 0 0 0 0 5 2 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5
चरण 7: नवीन सारणी बनाने के लिए पंक्ति परिचालन करें:
x y s1 s2 s3 s4 Z 1 3 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5
चरण 8: अधिकता की जांच करें:
समाधान उच्चतम होता है क्योंकि सभी संकेतकों के सीधे स्तंभ में सभी संकेतों में ज़ीरो एक्सप्लिसिट स्तंभ के अंक हैं।
प्रश्न:
x+y को अधिकतम करें जबकि x−y≤−1,x−y≥0,x,y≥0 के तहत।
उत्तर:
- दिए गए बाध्यता समीकरणों को मानक रूप में पुनः लिखें:
x - y ≤ -1 -x + y ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0
- वस्तुनिष्ठ क्षेत्र का निर्माण करें:
वस्तुनिष्ठ क्षेत्र उन सभी बिंदुओं (x, y) का सेट है जो बाध्यता समीकरणों को पूरा करते हैं।
- वस्तुनिष्ठ क्षेत्र के कोने बिंदु ढूंढें:
वस्तुनिष्ठ क्षेत्र के कोने बिंदु (0, 0), (0, -1), (1, 0), और (1, -1) हैं।
- प्रत्येक कोने बिंदु पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मान की गणना करें:
यहां (0, 0) पर: Z = 0 + 0 = 0 यहां (0, -1) पर: Z = 0 + (-1) = -1 यहां (1, 0) पर: Z = 1 + 0 = 1 यहां (1, -1) पर: Z = 1 + (-1) = 0
- इसके लिए विषयक कार्य को अधिकतम करने के लिए कोने की बिंदु का चयन करें:
विषयक कार्य को अधिकतम करने के लिए कोने की बिंदु (1, 0) है।
फल्तु, Z का अधिकतम मान 1 है।
प्रश्न:
अधिकतम करें Z = 3x + 2y के लिए। इसकी शर्त है: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
उत्तर:
चरण 1: विषयक कार्य और शर्तों को मानक रूप में पुनर्लेखित करें।
विषयक कार्य: अधिकतम करें Z = 3x + 2y
शर्तें: x + 2y ≤ 10 3x + y ≤ 15 x, y ≥ 0
चरण 2: शर्तों को आकृति द्वारा ग्राफ़ण करें।
चरण 3: संभावित क्षेत्र खोजें।
चरण 4: संभावित क्षेत्र के कोने बिंदुओं की निर्देशांक ढूंढें।
कोने बिंदु: (0, 0), (0, 5), (5, 0), (2.5, 2.5)
चरण 5: विषयक कार्य में कोने बिंदुओं की निर्देशांक को प्रतिस्थापित करके Z के अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें।
अधिकतम Z: Z = 3(2.5) + 2(2.5) = 12.5
न्यूनतम Z: Z = 3(0) + 2(0) = 0
प्रश्न:
शर्तों के अनुसार अधिकतम करें Z = 3x + 4y। इनकी शर्तें हैं: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
चरण 1: विषयक कार्य को मानक रूप में लिखें: शर्त है: अधिकतम करें Z = 3x + 4y
चरण 2: शर्तों को मानक रूप में लिखें: x + y ≤ 4 x ≥ 0 y ≥ 0
चरण 3: शर्तों के ग्राफ़ को बनाएं।
चरण 4: संभावित क्षेत्र और कोने बिंदुओं की पहचान करें।
संभावित क्षेत्र उन सीमाओं द्वारा सीमित होता है जो x + y = 4, x = 0 और y = 0 से बने हुए हैं। कोने बिंदु हैं (0,0), (0,4) और (4,0)।
चरण 5: प्रत्येक कोने बिंदु पर विषयक कार्य की मान्यता की गणना करें और अधिकतम मान की पहचान करें।
(0,0) पर: Z = 0 (0,4) पर: Z = 16 (4,0) पर: Z = 12
Z का अधिकतम मान 16 है, जो (0,4) पर होता है।
