उलटे त्रिकोणमितीय कार्यों का अभ्यास 02
प्रश्न:
कोस-1(कोस7π/6) का मान बराबर है
A 67π
B 65π
C 3π
D 6π
उत्तर:
चरण 1: कोस-1(x) को कोस(x) का उल्टा कहा जाता है, इसलिए हमें वह कोण ढूंढ़ना होगा जिसका कोसाइन कोस7π/6 के बराबर होता है।
चरण 2: कोस7π/6 = कोस(7π/6) = कोस(5π/4)
चरण 3: इसलिए, कोस^−1(कोस7π/6) का मान 5π/4 के बराबर होता है।
उत्तर: B 65π
प्रश्न:
sin(π/3−sin^-1(−1/2)) के मान ढूंढ़ें A 21 B 31 C 41 D 1
उत्तर:
उत्तर: B
चरण 1: इन्वर्स साइन कार्यकारी का उपयोग करें और sin^-1(−1/2) का मान ढूंढ़ें।
sin^-1(−1/2) = -π/6
चरण 2: समीकरण में sin^-1(−1/2) की वर्तनी की मान्यता चयन करें।
sin(π/3−sin^-1(−1/2)) = sin(π/3+π/6)
चरण 3: कैलकुलेटर का उपयोग करें और sin(π/3+π/6) का मान ढूंढ़ें।
sin(π/3+π/6) = 0.5
चरण 4: परिणाम को उत्तर विकल्पों के साथ तुलना करें।
0.5 का परिणाम उत्तर विकल्प B के नजदीकी है, जो 31 है। इसलिए, सही उत्तर B है।
प्रश्न:
sin^-1(sin2π/3) के मान ढूंढ़ें
उत्तर:
चरण 1: याद रखें कि sin^-1(x) साइन कार्यकारी का उल्टा है, और इसे x के बराबर इंगिता में मान देता है जिसका साइन x के बराबर होता है।
चरण 2: sin2π/3 की गणना करें। इसका मान होता है sin(2π/3) = √3/2.
चरण 3: इस मान को इंवर्स साइन फ़ंक्शन में प्रविष्ट करें। इससे हमें sin^-1(√3/2) = π/3 मिलता है।
इसलिए, उत्तर π/3 है।
प्रश्न:
यदि tan^-1(x−1/x−2)+tan^-1(x+1/x+2)=π/4 है, तो x की मान ढूंढ़ें।
उत्तर:
-
tan^-1 (x−1/x−2) + tan^-1 (x+1/x+2) = π/4
-
tan^-1 (x−1/x−2) = π/4 - tan^-1 (x+1/x+2)
-
tan (π/4 - tan^-1 (x+1/x+2)) = x−1/x−2
-
tan (π/4) tan^-1 (x+1/x+2) = x−1/x−2
-
1 tan^-1 (x+1/x+2) = x−1/x−2
-
tan^-1 (x+1/x+2) = x−1/x−2
-
x+1/x+2 = x−1/x−2
-
x^2-2x-1 = 0
-
(x-1)(x+1) = 0
-
x = 1
प्रश्न:
यदि sin(sin^-1 1/5+cos^-1 x)=1 है, तो x की मान ढूंढ़ें।
उत्तर:
चरण 1: समीकरण को पुनर्लेखित करें sin(sin^-1 1/5+cos^-1 x)=1
चरण 2: इंवर्स ट्रिगनोमेट्रिक आईडेंटिटी का उपयोग करें ताकि cos^-1 x = sin^-1 1 - sin^-1 1/5 मिले
चरण 3: sin^-1 1/5 के लिए 1/5 को प्रतिस्थापित करें
चरण 4: x की मान ढूंढ़ें x = cos^-1 (sin^-1 1 - 1/5) को प्रतिस्थापित करें
चरण 5: x के मान की गणना करें, जो लगभग 0.636 है।
प्रश्न:
सिद्ध करें: 3cos^-1x=cos^-1(4x^3−3x),x∈[1/2,1]
उत्तर:
दिया गया है: 3cos^-1x=cos^-1(4x^3−3x),x∈[1/2,1]
चरण 1: y = 4x^3−3x लें
चरण 2: दिए गए समीकरण में y का प्रतिस्थापन करें
3cos^-1x = cos^-1y
चरण 3: सूत्र cos^-1x = 2cos^-1(x/2 + 1/2) का उपयोग करें
3cos^-1x = 2cos^-1(y/2 + 1/2)
चरण 4: समीकरण को सरल बनाएँ
3cos^-1x = 2cos^-1[(4x^3−3x)/2 + 1/2]
चरण 5: समीकरण में x = 1/2 को प्रतिस्थापित करें
Step 1: संक्षेप में दिए गए अभिव्यक्ति का अंश निरूपण करें।
tan1/2[sin−1 2x/1+x2] = tan1/2[sin−1 (2x/(1+x2))]
Step 2: संक्षेप में दिए गए अभिव्यक्ति के मामले को सरल बनाएँ।
cos^−1 1−y2/1+y2 = cos−1 (1−y2/(1+y2))
Step 3: दिए गए अभिव्यक्ति में x और y के मान को स्थानांतरित करें।
tan1/2[sin−1 (2x/(1+x2))]/cos−1 (1−y2/(1+y2))
Step 4: दिए गए शर्त के लिए अभिव्यक्ति का मूल्य मान्याकरण करें।
tan1/2[sin−1 (2x/(1+x2))]/cos−1 (1−y2/(1+y2)),∣x∣<1,y>0 और xy<1
प्रश्न: यदि तन−1(तन3π/4) का मान −π/k है, तो k क्या है?
उत्तर: तन−1(तन3π/4) = -π/k
तन3π/4 = -तनπ/k
3π/4 = -π/k
k = 4/3
प्रश्न: तन−1√3−कॉट−1(−√3) का मान क्या है? A π B −2π C 0 D 23
उत्तर:
चरण 1: तन−1√3 का मान ढूंढें
उत्तर: तन−1√3 = π/3
चरण 2: कॉट−1(−√3) का मान ढूंढें
उत्तर: कॉट−1(−√3) = −π/3
चरण 3: तन−1√3−कॉट−1(−√3) का मान निर्णय करें
उत्तर: तन−1√3−कॉट−1(−√3) = π/3 + (−π/3) = 0
इसलिए, उत्तर है C) 0.
प्रश्न: tan-1[2कोस(2सिन^−1 1/2)] का मान ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: sin-1 1/2 का मान ढूंढें sin-1 1/2 = 30°
चरण 2: 2कोस(2सिन-1 1/2) का मान ढूंढें 2कोस(2सिन-1 1/2) = 2कोस(60°)
चरण 3: 2कोस(60°) का मान ढूंढें 2कोस(60°) = √3
चरण 4: tan-1[√3] का मान ढूंढें tan-1[√3] = 60°
प्रश्न: 3साइन-1x=साइन-1(3x−4x3),x∈[−1/2,1/2] का मान सिद्ध करें
उत्तर:
-
दिया गया है, 3साइन-1x=साइन-1(3x−4x3),x∈[−1/2,1/2]
-
हमें सिद्ध करना है कि 3साइन-1x=साइन-1(3x−4x3)
-
y=साइन-1x का स्थान ले लें
-
तब, x=साइनy
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दिए गए समीकरण में x=साइनy को बदलते हैं, हमें मिलता है 3साइन-1(साइनy)=साइन-1(3साइनy−4साइनy3)
-
सरलीकरण करते हैं, हमें मिलता है 3y=साइन-1(3साइनy−4साइनy3)
-
दोनों पक्षों की घात लाते हैं, हमें मिलता है 9y^2=3साइनy−4साइनy3
-
व्यवस्था करते हैं, हमें मिलता है 3साइनy−9y2=−4साइनy3
-
दोनों पक्षों के वर्गमूल निकालने के बाद, हमें मिलता है साइनy−3y=−2साइनy3
-
सरलीकरण के बाद, हमें मिलता है 3y=साइनy−2साइनy3
-
इसलिए, 3साइन-1x=साइन-1(3x−4x3),x∈[−1/2,1/2] सिद्ध है.
प्रश्न: cot(tan-1a+cot-1a) का मान ढूंढें
उत्तर: चरण 1: पहले, cot(tan-1a) = 1/a तत्व का प्रयोग करें
चरण 2: दिए गए समीकरण में 1/a को स्थानांतरित करें ताकि मिले:
cot(tan-1a+cot-1a) = cot(tan-1a + 1/a)
चरण 3: cot(A + B) = cot A cot B - 1 समीकरण का प्रयोग करें
चरण 4: पहले A और B के लिए उपयोग करने के लिए समीकरण में मान स्थानांतरित करें:
cot(tan-1a+cot-1a) = cot(tan-1a) cot(1/a) - 1
चरण 5: cot(tan-1a) के मान को चरण 1 से स्थानांतरित करें:
cot(tan-1a+cot-1a) = (1/a) cot(1/a) - 1
चरण 6: अभिव्यंजक को सरल करने के लिए अभिव्यंजक का उपयोग करें:
cot(tan-1a+cot-1a) = 1 - 1/a^2
प्रश्न: फ़ंक्शन को सरलतम रूप में लिखें: tan^−1(cosx−sinx/cosx+sinx),0<x<π
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: नामकारक को सरल करें: cosx+sinx = sin(x+π/2)
चरण 2: सरलीकृत मामूली मेनोमीनेटर का उपयोग करके सम्बन्धित कार्यका सुधार करें: तन-1(कोसएक्स−सिनएक्स/सिन(एक्स+π/2)), 0<एक्स<π
चरण 3: पहचान का उपयोग करके संबंधों का उपयोग करना tan-1(यू/व) = 1/2(tan-1(यू) − tan-1(व)): 1/2(tan-1(कोसएक्स−सिनएक्स) − tan-1(सिन(एक्स+π/2))), 0<एक्स<π
सवाल: सरलतम रूप में कार्य का लिखें: तन^−1x/√a2−x2,∣x∣<a
जवाब: तन-1(x/√a2−x2)
सवाल: सरलतम रूप में कार्य का लिखें: तन-1(√1−कोसएक्स/1+कोसएक्स),एक्स<π
जवाब: चरण 1: तन-1(√1−कोसएक्स/1+कोसएक्स),एक्स<π
चरण 2: तन-1((1-कोसएक्स)/(1+कोसएक्स)),एक्स<π
चरण 3: तन-1((1-2कोस^2एक्स+1)/(2कोसएक्स)),एक्स<π
चरण 4: तन-1(2कोस^2एक्स-1)/(2कोसएक्स),एक्स<π
चरण 5: तन-1(2कोसएक्स(कोसएक्स-1))/(2कोसएक्स),एक्स<π
चरण 6: तन-1(कोसएक्स-1),एक्स<π
सवाल: सिद्ध करें: तन-1 2/11+तन-1 7/24=तन-1 1/2
जवाब: चरण 1: तन-1 2/11 और तन-1 7/24 दोनों को एक ही डेनामेटर में परिवर्तित करें।
तन-1 2/11 = तन-1 (22/44) तन-1 7/24 = तन-1 (77/168)
चरण 2: दोनों संख्याओं के नियामकों को जोड़ें और डेनामेटर को ठीक रखें।
तन-1 (22/44) + तन-1 (77/168) = तन-1 (99/168)
चरण 3: भिन्न को उसके सरलतम रूप में परिवर्तित करें।
तन-1 (99/168) = तन-1 (1/2)
चरण 4: दावा सिद्ध करें।
तन-1 2/11 + तन-1 7/24 = तन-1 1/2
सवाल: सरलतम रूप में कार्य का लिखें: तन-1(3a2x−x3/a3−3ax2),a>0;−a/√3≤x≤a/√3
जवाब:
-
मेनोमीनेटर को सरलीकृत करें: a^3−3ax^2 = a(a2 - 3x2)
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फ़ंक्शन को इस रूप में पुनर्लेखित करें: तन-1((3a2x−x3)/a(a2 - 3x2))
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पेशेवर से एक एक निकालें a में से। टन-1(a(3x - x3)/a(a - x)(a + x))
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उपयुक्त में सरल करें निकालें। उत्कृष्ट अवसर टन-1(a(3x - x3)/a(a - x)(a + x))
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विपरीत में a से एक एक निकालें अ इसलिए उपयुक्त सरल करें। तन-1((3x - x3)/(a2 - x2))
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राइट करें सरलतम रूप में फ़ंक्शन को। तन-1((3x - x3)/(a2 - x2)), a > 0; -a/√3 ≤ x ≤ a/√3
