इंटीग्रल पर्यावरण विविध अभ्यास (Integrals Paryavaran Vividh Abhyas)
सवाल:
फ़ंक्शन 1/(x^2+1)(x^2+4) का ऐंठिंग्रेट कीजिए
उत्तर:
उत्तर: पद 1: फ़ंक्शन को एक भिन्न के रूप में पुनर्लेखित करें: 1/(x^2 + 1) * (x^2 + 4)
पद 2: दो फ़ंक्शनों के गुणन की ऐंत्रिकी के लिए सूत्र का उपयोग करें: (f(x) * g(x)) की ऐंत्रिकी = (f(x) की ऐंत्रिकी) * (g(x) की ऐंत्रिकी)
पद 3: हर फ़ंक्शन को एकदिवसीय रूप में ऐंत्रिकी कीजिए: 1/(x^2 + 1) की ऐंत्रिकी = आर्कटन(x) + C (x^2 + 4) की ऐंत्रिकी = 1/3 x^3 + 4x + C
पद 4: फ़ॉर्मूला में ऐंत्रिकी को प्रतिस्थापित कीजिए: (1/(x^2 + 1) * (x^2 + 4)) की ऐंत्रिकी = (आर्कटन(x) + C) * (1/3 x^3 + 4x + C)
पद 5: अभिव्यक्ति को सरलीकृत कीजिए: (1/(x^2 + 1) * (x^2 + 4)) की ऐंत्रिकी = 1/3 x^3 आर्कटन(x) + 4x आर्कटन(x) + C(1/3 x^3 + 4x + C)
सिनः^8x − कोसः^8x / (1 − (सिन₂x)^२)
- समानार्थक तात्पर्यवाची अभिव्यक्ति (सिनः^8x − कोसः^8x) = (सिनः^4x − कोसः^4x)(सिन²x + कोस²x) इस्तेमाल करें:
(सिनः^4x − कोसः^4x)(सिन²x + कोस²x) / (1 − (सिन₂x)^२)
- (सिनः^4x − कोसः^4x) = (सिन²x + कोस²x)(सिन²x − कोस²x) इस्तेमाल करें:
(सिन²x + कोस²x)(सिन²x − कोस²x)(सिन²x + कोस²x) / (1 − (सिन₂x)^२)
- (सिन²x − कोस²x) = −(2सिनxकॉसx) इस्तेमाल करें:
(सिन²x + कोस²x)(−(2सिनxकॉसx))(सिन²x + कोस²x) / (1 − (सिन₂x)^२)
- अभिव्यक्ति (सिन²x + कोस²x) = 1 इस्तेमाल करें:
−2सिनxकॉसx(सिन²x + कोस²x) / (1 − (सिन₂x)^२)
- अभिव्यक्ति (सिन₂x)^२ = (sinx + cosx)(sinx − cosx) इस्तेमाल करें:
−2सिनxकॉसx(सिन²x + कोस²x) / (1 − (sinx + cosx)(sinx − cosx))
- समानार्थक तात्पर्यवाची अभिव्यक्ति (सिन²x + कोस²x) = 1 इस्तेमाल करें:
−2सिनxकॉसx / (1 − (sinx + cosx)(sinx − cosx))
- अभिव्यक्ति (सिनxकॉसx) = (1/2)sin2x इस्तेमाल करें:
−2(1/2)sin2x / (1 − (sinx + cosx)(sinx − cosx))
- अभिव्यक्ति (sinx + cosx)(sinx − cosx) = sin²x − cos²x इस्तेमाल करें:
−(sin2x) / (1 − (sin²x − cos²x))
- Rewrite the function as e^x/(1+e^x)(2+e^x)
- Rewrite the denominator as (1+e^x)(2+e^x) = (1+e^x)(2+e^x)
- Use partial fraction decomposition to split the fraction into simpler terms: e^x/((1+e^x)(2+e^x)) = A/(1+e^x) + B/(2+e^x)
- Solve for A and B: e^x = A(2+e^x) + B(1+e^x)
- Simplify and solve for A and B: e^x = 2A + Ae^x + B + Be^x
- Equate the coefficients of e^x: A + B = 0 A = 2A + B
- Solve the system of equations to find A and B: A = -B -A = 2A + B
- Solve for A and B: A = -1/3 B = 1/3
- Substitute back into the original equation: e^x/((1+e^x)(2+e^x)) = -1/3(1+e^x) + 1/3(2+e^x)
- Integrate both sides: ∫e^x/((1+e^x)(2+e^x)) dx = ∫-1/3(1+e^x) + 1/3(2+e^x) dx
- Simplify and integrate: ∫e^x/((1+e^x)(2+e^x)) dx = (∫-1/3(1+e^x) dx) + (∫1/3(2+e^x) dx)
- ∫e^x/((1+e^x)(2+e^x)) dx = (-1/3x - 1/3e^x) + (1/3(2x + e^x)) + C
- Simplify the result: ∫e^x/((1+e^x)(2+e^x)) dx = -1/3x - 1/3e^x + 2/3x + 1/3e^x + C
- Combine like terms: ∫e^x/((1+e^x)(2+e^x)) dx = 1/3x + C
स्टेप 1: फ़ंक्शन को e^x/(1+e^x) + e^x/(1+e^x) के रूप में दोहराएं स्टेप 2: प्रत्येक term को अलग-अलग integrate करें स्टेप 3: u-substitution का उपयोग करके e^x/(1+e^x) को u = 1 + e^x के साथ integrate करें स्टेप 4: e^x/(1+e^x) = ln|u| + C स्टेप 5: u-substitution का उपयोग करके e^x/(1+e^x) को u = 2 + e^x के साथ integrate करें स्टेप 6: e^x/(1+e^x) = ln|u| + C स्टेप 7: दो integrals को जोड़ें: ln|u| + ln|u| + 2C = ln|u^2| + 2C
प्रश्न: ∫ dx/e^x+e^−x बराबर है A tan^−1(e^x)+C B tan^−1(e^−x)+C C log(e^x−e^−x)+C D log(e^x+e^−x)+C
उत्तर: उत्तर: D log(e^x+e^−x)+C
प्रश्न: sinx/sin(x−a) फ़ंक्शन को integrate करें
उत्तर:
-
सबसे पहले, substitution u = x−a का उपयोग करें। इससे हमें मिलेगा: ∫sinx/sinu du = ∫sinx/sinu du
-
फ़ॉर्मूला का उपयोग करें: ∫sinx/sinu du = -cosx + c
-
u के लिए पुनर्प्राप्ति करें -cos(x−a) + c
प्रश्न: फ़ंक्शन 1/x^2(x^4+1)^3/4 को integrate करें
उत्तर:
-
अभिव्यक्ति को फिर से लिखें: (1/x^2) * (x^4 + 1)^3/4
-
पावर नियम का उपयोग करें: (1/x^2) * (3x^12 + 3x^8 + 3x^4 + 1)/4
-
integrate करें: (1/x^3) * (x^13/13 + x^9/9 + x^5/5 + x)/4
-
सरलीकरण करें: (1/x^3) * (x^13 + 3x^9 + 3x^5 + 4x)/52
प्रश्न: फ़ंक्शन 1/sin^3xsin(x+α) को integrate करें
उत्तर:
-
1/sin^3x को integrate करें = -1/2sin^2x + C
-
sinx के लिए u का उपयोग करें, du = cosx dx
-
-1/2u^2du को integrate करें = -1/4u^3 + C
-
u = sinx के लिए पुनर्प्राप्ति करें, du = cosx dx
-
-1/4sin^3xcosx dx को integrate करें = -1/4sin^4x + C
-
-1/4sin^4(x+α) dx को integrate करें = -1/5sin^5(x+α) + C
प्रश्न: फ़ंक्शन √1−√x/1+√x को integrate करें
उत्तर:
- निर्ज्ञापन और denominator द्वारा (1+√x) से गुणा करें
√1−√x/1+√x * (1+√x)/(1+√x)
- मिश्रण सरल करें
(1−x)/(1+√x)^2
- dono ओर के अंकन करें
∫(1−x)/(1+√x)^2 dx
- अंकन के लिए अंकन के लिए उपयोग करें
∫uvdx = uv - ∫vdu
Uvs u = 1-x and dv = 1/(1+√x)^2 dx
- U और V का हल करें
du = dx v = -2/3(1+√x)^(-3/2)
- Equation में U और V की गणना करें
∫(1−x)/(1+√x)^2 dx = -2/3(1+√x)^(-3/2) (1-x) - ∫-2/3(1+√x)^(-3/2)dx
- दोनों ओर के अंकन का हल करें
-2/3(1+√x)^(-3/2) (1-x) - (-2/3x(1+√x)^(-3/2) + 2/3(1+√x)^(-1/2))
- सरल करें
2/3(1+√x)^(-1/2) - 2/3x(1+√x)^(-3/2)
प्रश्न: दूसरे लड़के ने रंजी से कहा कि वह अपने आप को ‘समझाने’ के लिए क्या उम्मीद करता था? आपकी राय में, उसने खाने पर यह सवाल पूछना सही या गलत था?
उत्तर: स्टेप 1: दूसरे लड़के ने रंजी से अपने आप को समझाने को कहा, जिसका मतलब था कि वह रंजी से अपनी क्रियाएँ या शब्दों को स्पष्ट करने की उम्मीद कर रहा था।
स्टेप 2: इस सवाल को सही या गलत मानने के लिए संदर्भ के बिना इस स्थिति का ज्ञात करना कठिन है। यह संभव है कि दूसरा लड़का स्थिति के बारे में स्पष्टता प्राप्त करने की कोशिश कर रहा था, या वह रंजी की क्रियाओं या शब्दों पर सवाल उठा रहा था।
स्टेप 3: अंततः, इस सवाल को पूछने वाले के आपत्तिजनक या सही होने का निर्णय पाठक को करना होगा क्योंकि यह एक अभिप्रेत राय है।
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Step 4: Combine the two results: Integral of 1/√x+a+√(x+b) = 2√x + ax + (2/3)(x+b)^(3/2) + C
