SATHEE: Determinants Exercise 05

तत्वकारी व्यायाम 05

प्रश्न:

मैट्रिक्स A = < math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">|3211 | ऐसे नंबर्स a और b ढूंढें जो A2 + aA + bI = 0 के बराबर हों

उत्तर:

A = < math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> | 3211 |

A2 की गणना करें:

A2 = < math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> | 7442 |

समीकरण का वाया तय करें:

A2 + aA + bI = < math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> | 7 + a3 + b 4 + a2 + b 4 + a1 + b 2 + a1 + b |

समीकरण का वाया बराबर शून्य सेट करें:

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">7 + a3 + b = 0

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">4 + a2 + b = 0

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">4 + a1 + b = 0

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2 + a1 + b = 0

समीकरण की समस्या को हल करने के लिए a और b ढूंढें:

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a = -7 - 43 - 2 = -111

< math xmlns = “http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b = 7 - 4<

$[\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$ .

To show that $A^{2}$ −5A+7I=O, we will perform the required calculations:

Calculate A^2:

A^2 = $\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}$ * $\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}$

= $\begin{matrix} 10 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix}$

Calculate -5A:

-5A = -5 * $\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}$

= $\begin{matrix} -15 & -5 \\ 5 & -10 \end{matrix}$

Calculate 7I:

7I = 7 * $\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}$

= $\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}$

Calculate $A^{2}$ −5A+7I:

$A^{2}$ −5A+7I = $\begin{matrix} 10 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix}$ - $\begin{matrix} -15 & -5 \\ 5 & -10 \end{matrix}$ + $\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}$

= $\begin{matrix} 32 & 15 \\ -17 & 20 \end{matrix}$

Since $A^{2}$ −5A+7I = $0$ , we have:

$A^{- 1}$ = $\begin{matrix} 32 & 15 \\ -17 & 20 \end{matrix}$

Hence, $A^{-1}$ = $\begin{matrix} 32 & 15 \\ -17 & 20 \end{matrix}$ .

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: $[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}]$

यह साबित करने के लिए कि A2 − 5A + 7I = 0

चरण 1: A2 की गणना करें

A2 = $[\begin{matrix} 9 & 3 \\ -3 & 4 \end{matrix}]$

चरण 2: -5A की गणना करें

-5A = $[\begin{matrix} -15 & -5 \\ 5 & -10 \end{matrix}]$

चरण 3: A2 − 5A की गणना करें

A2 − 5A = $[\begin{matrix} 24 & 8 \\ 2 & 14 \end{matrix}]$

चरण 4: 7I की गणना करें

7I = $[\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}]$

चरण 5: A2 − 5A + 7I की गणना करें

A2 − 5A + 7I = $[\begin{matrix} 31 & 8 \\ 2 & 21 \end{matrix}]$

चरण 6: साबित करें कि A2 − 5A + 7I = 0

A2 − 5A + 7I = $[\begin{matrix} 31 & 8 \\ 2 & 21 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

इसलिए, A2 − 5A + 7I = 0

चरण 7:

प्रश्न:

मैट्रिक्स A= $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ का पूरक क्या है?

उत्तर:

हल: चरण 1: मैट्रिक्स A के निर्धारक की गणना करें। मैट्रिक्स A के निर्धारक = (1 x 4) - (2 x 3) = -2

चरण 2: मैट्रिक्स A का पूरक गणना करें। मैट्रिक्स A का पूरक = $[\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}]$

चरण 3: मैट्रिक्स A के निर्धारक को मैट्रिक्स A के पूरक से विभाजित करें।

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: मैट्रिक्स ए का जोड़ीदार (परावर्तित) में विभाजक A / मैट्रिक्स ए का गुणक = $[\begin{matrix} 2 & 1 / 2 \\ 3 / 2 & - 1 / 2 \end{matrix}]$

इसलिए, मैट्रिक्स A की जोड़ीदार (परावर्तित) है $[\begin{matrix} 2 & 1 / 2 \\ 3 / 2 & - 1 / 2 \end{matrix}]$

प्रश्न: मैट्रिक्स A = $[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}]$ की जोड़ीदार खोजें

उत्तर: चरण 1: मैट्रिक्स A का परिवर्तन ढंग तय करें।

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \end{matrix}]$

चरण 2: परिवर्तन की हैण-घटक मैट्रिक्स ढंग की गणना करें।

$[\begin{matrix} 1 & - 3 & - 1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ - 2 & - 5 & 1 \end{matrix}]$

चरण 3: हैण-घटक मैट्रिक्स को मैट्रिक्स A के अपवर्तक के साथ गुणित करें।

मान ठहराएँ: ठहराएँ(ए) = ए

मैट्रिक्स A का जोड़ीदार निम्नानुसार है:

$[\begin{matrix} 1 / a & - 3 / a & - 1 / a \\ - 2 / a & 2 / a & 2 / a \\ - 2 / a & - 5 / a & 1 / a \end{matrix}]$

प्रश्न: माईट्रिक्स का उलट, यदि हैणा। $[\begin{matrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{matrix}]$ की कीमत।

उत्तर: चरण 1: माईट्रिक्स का निर्धारक गणना करें।

निर्धारक = (-1)(2) - (5)(-3) = 11

नमूने के Step 2: संबंधक 0 नहीं है, अतः मैट्रिक्स का प्रतिलोम अस्तित्व होता है।

Step 3: मैट्रिक्स का उपस्थित पता करें।

$[\begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & -1 \end{matrix}]$

Step 4: मैट्रिक्स के निर्देशक से निर्देशक का उपयोग करके प्रतिलोम का पता लगाएं।

$[\frac{[\begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & -1 \end{matrix}]}{11}]$

इसलिए, मैट्रिक्स का प्रतिलोम है $[\begin{matrix} 2 & -5 \\ -3 & -1 \end{matrix}] / 11$ ।

प्रश्न:

A एक nonsingular वर्ग मैट्रिक्स हो, आदेश 3×3। तो ∣adjA∣ A ∣A∣ B $∣ A ∣^{2}$ C $∣ A ∣^{3}$ D 3∣A∣

उत्तर:

A. A∣A∣ B. $∣ A ∣^{2}$ C. $∣ A ∣^{3}$ D. 3∣A∣

उत्तर: A. A∣A∣

प्रश्न:

मैट्रिक्स, A के को-कारक खोजें, A= $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cosα & sinα \\ 0 & sinα & -cosα \end{matrix}]$

उत्तर:

Step 1: मैट्रिक्स A के निर्देशक की गणना करें।

A का निर्देशक = (1 × cosα × (-cosα)) + (0 × sinα × sinα) + (0 × 0 × cosα) = -cos²α

Step 2: मैट्रिक्स A के को-कारक गणना करें।

मैट्रिक्स A के को-कारक निम्नलिखित होते हैं:

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -sinα & cosα \\ 0 & cosα & sinα \end{matrix}]$

प्रश्न:

अगर A एक पलटवार्ती मैट्रिक्स है और आदेश 2 कि, तो det $\begin{matrix} {(A)}^{-1} \end{matrix}$ बराबर है A det(A) B det(A) C 1 D 0

उत्तर: A) det $\begin{matrix} {(A)}^{-1} \end{matrix}$ = 1/det(A)

B) det(A) B det(A) = (det(A)) $()$

C) (det(A)) $()$ = 1

इसलिए, det $\begin{matrix} {(A)}^{-1} \end{matrix}$ = 1 / det(A) = 1

सवाल:

अगर A = $[\begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]$ है, तो सत्यापित करें कि $\begin{matrix} A^{3} \end{matrix}$ - $\begin{matrix} {6A}^{2} \end{matrix}$ + 9A - 4I = 0। फिर $\begin{matrix} A^{-1} \end{matrix}$ ढूंढ़ें

जवाब:

दिया गया है, A = $[\begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]$

सत्यापित करें: A³ - 6A² + 9A - 4I = 0

चरण 1: A³ की गणना करें:

A³ = $[\begin{matrix} 8 & -3 & 3 \\ -3 & 8 & -3 \\ 3 & -3 & 8 \end{matrix}]$

चरण 2: 6A² की गणना करें:

6A² = $[\begin{matrix} 24 & -6 & 6 \\ -6 & 24 & -6 \\ 6 & -6 & 24 \end{matrix}]$

चरण 3: 9A की गणना करें:

9A = $[\begin{matrix} 18 & -9 & 9 \\ -9 & 18 & -9 \\ 9 & -9 & 18 \end{matrix}]$

चरण 4: 4I की गणना करें:

4I = $[\begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}]$

चरण 5: A³ - 6A² + 9A - 4I की गणना करें

आप इसके फॉर्म की प्राथमिकता देखकर मानिएगा endeavor. I इसे हल करने हेतु, जी [मान], जिसे स्वरूपित किया [मान] तकनीकी दस्तावेज़ात पर प्राप्त किया जा सकता है |

विषय: A^2 = $[\begin{matrix} 3 & 3 & -5 \\ 3 & 0 & -12 \\ -5 & -12 & 15 \end{matrix}]$

चरण 3: दिए गए समीकरण में A^3 और A^2 को इस्तेमाल करें A^3 − 6A^2 + 5A + 11I = 0 $[\begin{matrix} 6 & 6 & -9 \\ 6 & -9 & -21 \\ -9 & -21 & 30 \end{matrix}]$ − 6 $[\begin{matrix} 3 & 3 & -5 \\ 3 & 0 & -12 \\ -5 & -12 & 15 \end{matrix}]$ + 5 $[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{matrix}]$ + 11 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}$

उत्तर:

चरण 1: मैट्रिक्स A के जटिल्या का गणना करें। गणना A = 2×(-1)×1 + 1×0×(-7) + 3×2×4 = -18 चरण 2: मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व की जटिल्या की गणना करें। 2 की जटिल्या = (-1)×1 = -1 1 की जटिल्या = 0×(-7) = 0 3 की जटिल्या = 2×4 = 8 4 की जटिल्या = (-1)×(-7) = 7 -1 की जटिल्या = 1×3 = 3 0 की जटिल्या = 4×(-7) = -28 -7 की जटिल्या = 2×1 = 2 2 की जटिल्या = (-1)×3 = -3 1 की जटिल्या = 0×4 = 0 चरण 3: मैट्रिक्स A की जटिल्या मैट्रिक्स बनाएं।

[\begin{matrix} -1 & 0 & 8 \\ 7 & 3 & -28 \\ 2 & -3 & 0 \end{matrix}]

प्रश्न:

(adjA)A = $[\begin{matrix} 6 & - 3 \\ - 4 & 2 \end{matrix}]$ * $[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} 12 & 6 \\ - 20 & - 10 \end{matrix}]$

Step 4: Calculate (adjA)A.

A(adjA) = $[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}]$ * $[\begin{matrix} 6 & - 3 \\ - 4 & 2 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} - 6 & 0 \\ - 12 & - 6 \end{matrix}]$

Step 5: Calculate ∣A∣I.

∣A∣I = -6 * $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

= $[\begin{matrix} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{matrix}]$

Step 6: Verify the equality.

(adjA)A = $[\begin{matrix} 12 & 6 \\ - 20 & - 10 \end{matrix}]$ = (adjA)A

= $[\begin{matrix} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{matrix}]$ = ∣A∣I

Therefore, the equality A(adjA)=(adjA)A=∣A∣I is verified.

(A’ $) A ()$ = $[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}] [\begin{matrix} 6 & - 3 \\ - 4 & 2 \end{matrix}]$ $=$ $[\begin{matrix} 12 & - 6 \\ - 8 & 4 \end{matrix}]$

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