गणकों अभ्यास 01
सवाल:
यदि A = है, तो |A| निकालें।
उत्तर:
|A| = || है।
चरण 1: 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें।
|A| = (11-9) + (1*-3*-2) + (-21-3) = -14
चरण 2: निर्धारक की वास्तविक मान उत्तर है।
|A| = |-14| = 14
सवाल:
x के मान बताएं, यदि (i) = (ii) =
उत्तर:
(i) =
चरण 1: पहले मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 2 से गुणा करें: =
चरण 2: दूसरे मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति से पहले मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति को कम करें:
हम = के hi संस्करण को देखें।
चरण 3: x के लिए समाधान करें: x = 5
(ii) हम = के hi संस्करण को देखें।
चरण 1: दूसरे मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 2 से विभाजित करें:
प्रश्न:
यदि A= हो, तो दिखाएं कि ∣2A∣=4∣A∣
उत्तर:
चरण 1: A का निर्धारक गणना करें, जो है |A| = (1)(2) - (4)(2) = -4।
चरण 2: 2A का निर्धारक गणना करें, जो है |2A| = (2)(4) - (8)(2) = -16।
चरण 3: |2A| को |A| से विभाजित करें, जो है -16/-4 = 4।
इसलिए, ∣2A∣=4∣A∣।
प्रश्न:
A= हो, जहां 0≤θ≤2π। तो A Det(A)=0 B Det(A)∈(2,∞) C Det(A)∈(2,4) D Det(A)∈[2,4]
उत्तर:
A Det(A)=0
प्रश्न:
सिद्ध करें कि =1
उत्तर:
- निर्धारक को विस्तृत करें:
जवाब: π अर्थात 180° के बराबर एक आयतन ABCD, BC पर बसी γ त्रिज्या को परिधि में बाहरी रखता है। यदि AB = AC = CD = a; AD = 2a;और BC = a √ 3 है, तो AD की लंबाई(ऊचाई) क्या है?
उत्तर:
If a,b,c are in A.P, then the determinant is A 0 B 1 C x D 2x
Answer:
C. x
उत्तर: (i)
चरण 1: पहचानकारी की विधि का उपयोग करें और निर्धारितक को मूल्यांकन करें।
चरण 2: पहली पंक्ति के साथ निर्धारितक को विस्तृत करें।
चरण 3: पहली पंक्ति में प्रत्येक तत्व को उसके संबंधित निर्धारणकारी से गुणा करें और उन्हें जोड़ें।
चरण 4: निश्चित को मूल्यांकन करने के लिए निर्देशांक इफेक्ट के साथ प्रत्येक तत्व को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।
चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए अभिव्यक्ति को सरलीकृत करें: 3 × (0 × (-1) - 0 × (-1)) + (-1) × (3 × (-0) - 0 × (-5)) + (-2) × (0 × (-5) - 3 × (-1))
(ii)
चरण 1: पहचानकारी की विधि का उपयोग करें और निर्धारितक को मूल्यांकन करें।
चरण 2: पहली पंक्ति के साथ निर्धारितक को विस्तृत करें।
चरण 3: पहली पंक्ति में प्रत्येक तत्व को उसके संबंधित निर्धारणकारी से गुणा करें और उन्हें जोड़ें।
चरण 4: निश्चित को मूल्यांकन करने के लिए निर्देशांक इफ़ेक्ट के साथ प्रत्येक तत्व को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।
चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए अभिव्यक्ति को सरलीकृत करें: 3 × (1 × (-2) - 2 × (-2)) + (-4) × (1 × (1) - 2 × (3)) + (5) × (1 × (3) - 2 × (1)) = -20.
(iii)
चरण 1: संलग्नकों की विधि का उपयोग करके निर्धारित करें।
चरण 2: प्रथम पंक्ति के साथ निर्धारित को समविस्तृत करें।
चरण 3: प्रथम पद को अपनी संबंधित संलग्नक के साथ गुणा करें और उन्हें मिलाएं।
चरण 4: निर्धारित सम के बराबर होते हैं: 0 × (-3 × 3 - 0 × (-2)) + 1 × (-3 × (-2) - 0 × 0) + 2 × (-3 × 0 - 0 × 3)
चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए समीकरण को सरल करें: 0 + (-3) + 0 = -3।
(iv) =(1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)
प्रश्न:
निर्धारितों की गुणांकों के गुणाकारी के गुणपट का उपयोग करके सिद्ध करें: =(1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)
= (1+px)(1+py)(1+pz)(x−y)(y−z)(z−x)
- अब, हर पंक्ति से सामान्य शर्तों को बाहर निकाल सकते हैं:
(1+px)(1+py)(1+pz)(x−y)(y−z)(z−x)
= (1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)
- इस प्रकार, दिए गए संख्याओं का मान (1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x) के बराबर है।
प्रश्न:
यदि सही है, तो ‘1’ इंटर करें अन्यथा ‘0’। =−2(x+y)(x2+y2−xy)
उत्तर: उत्तर: 0
प्रश्न:
निर्धारित की मान का पता लगाएं
उत्तर: समाधान:
कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या है:
चरण 1: दिए गए 2x2 मैट्रिक्स का व्यतिक्रमन (determinant) की गणना करें।
= 2 x (-1) - 4 x (-5)
= 2 + 20
= 22
चरण 2: इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान 22 है।
प्रश्न:
यदि A= हो, तो दिखाएं कि |3A|=27|A|
उत्तर:
दिया हुआ, A=
प्रमाणित करने के लिए, |A|=114-020=4
चरण 2: |3A| की गणना करें
|3A|=314-020=12
चरण 3: 27|A| की गणना करें
27|A|=27*4=108
चरण 4: |3A| और 27|A| को तुलना करें
|3A|=12 और 27|A|=108
इसलिए, |3A|≠27|A|
प्रश्न:
व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढें। (i) (ii)
उत्तर:
(i) व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढने के लिए, हमें पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करके एक दूसरे से कम करना होगा। हमारे पास हैं:
cosθ × sinθ - (-sinθ) × cosθ
= cosθ × sinθ + sinθ × cosθ
= (cosθ)² + (sinθ)²
= 1
इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान 1 है।
(ii) व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढने के लिए, हमें पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करके एक दूसरे से कम करना होगा। हमारे पास हैं:
(x² - x + 1) × (x + 1) - (x - 1) × (x + 1)
= x³ + x² - x² - x + 1 - x² + x - x - 1
= x³ - 2x + 1
इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान x³ - 2x + 1 है।
प्रश्न:
उत्तर: (A)
सवाल:
यदि =, तो x का मान क्या होगा? ए 6 बी ±6 सी −6 डी 0
उत्तर:
चरण 1: समीपवर्ती मान की मान्यता की गणना करें।
विवरण: = |x| + |2| + |18| + |x| = |x| + 2 + 18 + |x|
चरण 2: समीकरण के दाहिने ओर परमर्श का मान निकालें।
= |6| + |2| + |3x| + |6| = 6 + 2 + |3x| + 6
चरण 3: दो समीकरणों को एक दूसरे के समान सेट करें।
|x| + 2 + 18 + |x| = 6 + 2 + |3x| + 6
चरण 4: समीकरण को सरल बनाएं।
|x| + 20 = |3x| + 8
चरण 5: दोनों ओर को 3 से भाग करें।
|x|/3 + 20/3 = |3x|/3 + 8/3
चरण 6: समीकरण को सरल बनाएं।
|x|/3 = |3x|/3 + 8/3 - 20/3
चरण 7: x के लिए समाधान निकालें।
|x|/3 = -12/3
चरण 8: दोनों ओर की वर्णमाला का मान लें।
|x| = 12
इसलिए, x 6 के बराबर है।
प्रश्न:
मूल्यांकन करें
उत्तर:
प्रतिक्रिया : चरण 1: मैट्रिक्स को एक 3x3 मैट्रिक्स के रूप में लिखें
|1 x y | |1 x+y y| |x+y x y|
चरण 2: मैट्रिक्स का निर्णायक गणक का मान निकालें
|1 x y | |1 x+y y| |x+y x y|
= (1*(x+y)y) - (xy1) - (y1x+y) + (x1x) + (yx+yy) - (x+yx*y)
= y^2 - xy - y^2 + x^2 + xy - x^2y
= y^2 - xy - x^2y
= y(y - x)(1 - x)
प्रश्न:
निर्णायक के गुणों का उपयोग करके सिद्ध करें कि: =3(a+b+c)(ab+bc+ca)
उत्तर:
सिद्धि: चरण 1: गुणों के गुणों का उपयोग करके, दिया गया निर्णायक इस प्रकार लिखा जा सकता है = 3a(-a+b)(-a+c) + 3b(-b+a)(-b+c) + 3c(-c+a)(-c+b)
चरण 2: = 3a(-a)(-a+b)(-a+c) + 3b(-b)(-b+a)(-b+c) + 3c(-c)(-c+a)(-c+b)
चरण 3: = 3a(-a)(b-a)(c-a) + 3b(-b)(a-b)(c-b) + 3c(-c)(a-c)(b-c)
चरण 4: = 3(a+b+c)(ab+bc+ca)
इस प्रकार सिद्ध हुआ।