सततता और अविशिष्टता अभ्यास ०८
Yes, Rolles theorem is applicable to the function f(x)=[x] for x∈[−2,2]. However, as the function has a jump discontinuity at x=0, where the derivative is not defined, Rolles theorem cannot be directly applied. The converse of Rolles theorem does not provide any information about the existence of local maximum or minimum in this case.
(iii) No, Rolles theorem is not applicable to the function f(x)=x^2−1 for x∈[1,2]. This is because the function is not differentiable at x=1 and x=2, and Rolles theorem requires the function to be differentiable on the open interval (1,2) in order to apply. The converse of Rolles theorem does not provide any information in this case.
हाँ, रोल्स का सिद्धांत f(x)=[x] के लिए उपयोगी है जहां x∈[−2,2]. रोल्स का सिद्धांत के प्रतिच्छेद का कारण यह कहता है कि यदि किसी फ़ंक्शन को एक बिंदु पर सतत है और उसी बिंदु पर उसका अवकलन है तो फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम उस बिंदु पर होता है. इस प्रकार, इस फ़ंक्शन के लिए, x=-2 या x=2 पर स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम हो सकता है.
(iii) नहीं, रोल्स का सिद्धांत f(x)=x^2−1 के लिए उपयोगी नहीं है क्योंकि फ़ंक्शन x=1 और x=2 पर सतत नहीं है. इसलिए, रोल्स के प्रतिच्छेद का प्रयोग नहीं होता है.
प्रश्न:
f(x)=x^2+2x−8,x∈[−4,2] के लिए Rolles का सिद्धांत सत्यता साबित कीजिए.
उत्तर:
चरण 1: पहले, हमें यह जांचनी होगी कि क्या फ़ंक्शन f(x) दिए गए सीमा [−4,2] में सतत है.
चरण 2: फिर, हमें देखना होगा कि क्या फंक्शन f(x) दिए गए सीमा में स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान रखता है.
चरण 3: उसके बाद, हमें अंतराल के अंतिम बिंदु पर f(x) की मान की गणना करनी होगी, अर्थात f(-4) और f(2).
चरण 4: अंत में, हमें अंतिम बिंदु पर f(x) की मान को स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान के साथ तुलना करनी होगी. यदि अंतिम बिंदु पर f(x) की मान स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान के बराबर है, तो Rolles का सिद्धांत सत्यापित हो जाता है.
प्रश्न:
रोल्स का सिद्धांत निम्नलिखित फ़ंक्शन पर लागू होता है। यदि यह कथन सत्य है तो 1 और अन्यथा 0 दर्ज करें. f(x)=x^2 −1, x ϵ [1,2]
उत्तर:
उत्तर: 1
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शन के लिए Rolles का सिद्धांत को जांचें। निम्नलिखित फ़ंक्शन में सतत नहीं होने वाले बिंदुओं की संख्या क्या है? f(x)=[x], x ϵ [2,2]
उत्तर:
चरण 1: Rolles का सिद्धांत कहता है कि यदि किसी फ़ंक्शन f(x) को एकजटिल मे [a,b] पर सत्त्वात्मक है और (a,b) पर अवकल्य है और f(a)=f(b) है, तो (a,b) के अधीन एक c होता है जिसके लिए f’(c)=0 होता है.
चरण 2: दिए गए समस्या में, फ़ंक्शन f(x)=[x] का परिभाषित है जो अंतराल [2,2] पर होता है. क्योंकि फ़ंक्शन अवकल्य नहीं है (2,2) अंतराल पर, इसलिए Rolles का सिद्धांत लागू नहीं होता है.
चरण 3: इसलिए, फ़ंक्शन में सतत नहीं होने वाले बिंदुओं की संख्या 0 होती है.
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शन के लिए माध्य अनुप्रयोगिता की जाँच करें। f(x)=[x], x ϵ [2,2]
उत्तर:
-
माध्य अनुप्रयोग यह कहता है कि यदि किसी फ़ंक्शन f एक सीमित मानक [a,b] पर सतत होता है और (a,b) पर विभेदय होता है, तो (a,b) अंतराल में कम से कम एक c ऐसा होता है जिसके लिए f’(c) = (f(b) - f(a))/(b-a) होता है।
-
दिए गए फ़ंक्शन को माध्य अनुप्रयोग के लिए लागू करने के लिए, हमें पहले यह निर्धारित करना होगा कि फ़ंक्शन (2,2) अंतराल पर सतत और विभेद्य है या नहीं।
-
चूँकि फंक्शन (2,2) अंतराल पर परिभाषित नहीं है, इसलिए माध्य अनुप्रयोग लागू नहीं किया जा सकता है।
