जारीदेही और अलगाव सराव Exercise 05
विवरण का hi संस्करण क्या है: ## प्रश्न: f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का विभाजक खोजें और फिर से f′ (1) खोजें।
उत्तर:
f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)
f’(x)= (1+x)(2x+2x^3+4x^5+8x^7) + (1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) + (1+x)(1+x^2)(4x^3+8x^7) + (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(8x^6)
f’(1)= (1+1)(2+2+4+8) + (1+1)(1+1)(1+1) + (1+1)(1+1)(4+8) + (1+1)(1+1)(1+1)(8)
f’(1)= 24 + 8 + 16 + 8
f’(1)= 56
प्रश्न:
विभाजनीय के साथ फ़ंक्शन का विभाजिता निकालें। x ^(xcosx) + x ^2 + 1 / x^2-1
उत्तर:
चरण 1: घातों की शरारत में लिखें: f (x) = x ^ (xcosx + 2) + 1 / x^2 - 1
चरण 2: x के साथ फ़ंक्शन का विभेदन लें: f’ (x) = (xcosx + 2) x ^(xcosx + 1) + (-2) / x^3
प्रश्न:
विभाजित कार्य को x के साथ विभाजित करें। (logx)^x+x^(logx)
उत्तर:
चरण 1: बरज़ी परमीय के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लोग लें।।
log ((logx)^x + x^(logx))
चरण 2: समीकरण को विभाजकीय विभाजन प्रचलित कार्य का उपयोग करके विभाजित करें।
(1 / x) (x ^(logx) * log (logx) + (logx) ^ x * (1 / logx))
चरण 3: समीकरण को सरल करें।
(1 / x) (x ^(logx) * log (logx) + (logx) ^ x * (1 / logx)) = (logx) ^ x * (log (logx) + 1 / logx)
प्रश्न:
निर्दिष्ट तीन तरीकों से (x^2−5x+8)(x^3+7x+9) का विभाज्य खोजें, (i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके (ii) एकल बहुपद प्राप्त करने के लिए विभाजन का विस्तार करके (iii) लघु जगतीय बहुपद से क्या वे सभी एक ही उत्तर देते हैं?
उत्तर:
(i) गुणनफल नियम का उपयोग करके:
d / dx [(x^2−5x+8)(x^3+7x+9)] = (x^2−5x+8) d / dx (x^3+7x+9) + (x^3+7x+9) d / dx (x^2−5x+8)
= (x^2−5x+8)(3x^2+7) + (x^3+7x+9)(2x−5)
= 3x^4+14x^3+53x^2−35x+72
(ii) विभाजन का विस्तार करके एकल बहुपद प्राप्त करने के लिए:
(x^2−5x+8)(x^3+7x+9)
= x^5 +7x^4−35x^3+53x^2−35x+72
(iii) लघुतम जागतिकीय बहुपद से:
d / dx [(x^2−5x+8)(x^3+7x+9)]
= (x^2−5x+8)(x^3+7x+9) * (d/dx[ln(x^2−5x+8)] + d/dx[ln(x^3+7x+9)])
= (x^2−5x+8)(x^3+7x+9) * (2x−5 + 3x^2+7)
= 3x^4+14x^3+53x^2−35x+72
हाँ, सभी तीन तरीकों से एक ही उत्तर मिलता है।
प्रश्न:
x^y+y^x =1 फ़ंक्शन का dy / dx ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लोग लें:
ln (x^y + y^x) = ln (1)
चरण 2: समीकरण की दोनों पक्षों को x के साथ पृथक करें:
y (ln (x)) (x^y)’ + x (ln (y)) (y^x)’ = 0
चरण 3: समीकरण को सरल करें:
y (ln (x)) y’ x^(y-1) + x (ln (y)) x’ y^(x-1) = 0
चरण 4: dy / dx के लिए समीकरण को व्यवस्थित करें:
dy / dx = - (y (ln (x)) x^(y-1)) / (x (ln (y)) y^(x-1))
प्रश्न:
(cosx)^y=(cosy)^x का dy / dx खोजें
उत्तर:
- दोनों पक्षों का प्राकृतिक लोग लें:
ln (cosx)^y = ln (cosy)^x
- x के साथ दोनों पक्षों को व्यवस्थित करें:
y * (cosx)^y * (-sinx) = x * (cosy)^x * (-siny)
- (cosx)^y से बाँटें:
y * (-sinx) / (cosx)^y = x * (-siny) / (cosy)^x
- (cosy)^x से गुणें:
y * (-sinx) * (cosy)^x / (cosx)^y = x * (-siny)
- (cosy)^x से भांगो:
y * (-sinx) / (cosx)^y = x * (-siny) / (cosy)^x
- दोनों पक्षों को सरल करें:
dy / dx = -siny * y / (cosx)^y + sinx * x / (cosy)^x
प्रश्न:
xy=e^x-y का dy / dx खोजें
उत्तर:
चरण 1: समीकरण को y = e^x - xy के रूप में बदलें
ln[(xcosx)^x+(xsinx)^1/x]*[d/dx((xcosx)^x+(xsinx)^1/x)]
Step 3: Differentiate the first term using the product rule. = [(x^x)(-sinx)(cosx)+(x^x)(cosx)(-sinx)]/(xcosx) + (1/x)[(xsinx)^(1/x-1)]*(sinx+xcosx)
Step 4: Simplify the expression. = [-2x^xsinxcosx]/(xcosx) + (1/x)[(xsinx)^(1/x-1)]*(sinx+xcosx)
कोण(x)कोण(2x)कोण(3x) - 2कोण(x)कोण(2x)कोण(3x)सिन(x) - 3कोण(x)सिन(2x)कोण(3x)कोण(x)
