तत्विकता और विभिन्नीकरण अभ्यास 04
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। log(logx), x>1
उत्तर:
चर स्वतंत्रता का उपयोग करें,
d/dx(log(logx)) = (1/logx) * (1/x)
सरलीकृत करें,
d/dx(log(logx)) = (1/xlogx)
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। cos(logx+e^x), x>0
उत्तर:
दिए गए फ़ंक्शन को अलग करने के लिए चेन नियम का उपयोग करें।
logx को x के साथ अलग करें।
e^x को x के साथ अलग करें।
चर संख्याओं को गुण करें और उन्हें जोड़ें।
तुलना के लिए cos(logx+e^x) को x के साथ अलग करें के परिणाम का उपयोग करें।
उत्तर: -sin(logx+e^x)*(1/x + e^x)
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। esin^−1x
उत्तर:
गुणेंय को y में परिभाषित करें, जहां y = sin^−1 x
फ़ंक्शन को y के साथ अलग करें
चेन नियम का उपयोग करें
w.r.t के लिए विभेदित करें: e^y
चेन नियम का उपयोग करें: e^y * (1/√(1-x^2))
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। e^x^3
उत्तर:
फ़ंक्शन को (e^x)^3 के रूप में पुनर्लेखित करें
चेन नियम का उपयोग करें: (e^x)^3 = (3e^x)(e^x)^2
प्रत्येक शारीरिक को विभेदित करें: (3e^x)’ = 3e^x; (e^x)^2 = 2e^x(e^x)'
शारीरिक को एक साथ जोड़ें: (3e^x)’ + (e^x)^2 = 3e^x + 2e^x(e^x)'
अंतिम शारीरिक को विभेदित करें: 2e^x(e^x)’ = 2e^xe^x = 2*e^2x
शारीरिक को एक साथ जोड़ें: 3e^x + 2e^2x = 3e^x + 2e^2x
उत्तर: e^x^3 के साथ w.r.t x की अवकलन है 3e^x + 2e^2x।
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। y=log(cose^x)
उत्तर:
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक ले लो।
लघुगणक (y) = laghuganak(cose^x)
सारणिक के दाहिने पक्ष पर चर नियम लागू करें।
लघुगणक (y) = x*laghuganak(cose)
x के साथ लघुगणक ले लो
(d/dx)लघुगणक (y) = (d/dx)(x*laghuganak(cose))
समीकरण के दाहिने पक्ष को सरलीकृत करें।
(d/dx)लघुगणक (y) = laghuganak(cose) + x*(d/dx)(laghuganak(cose))
दाहिने पक्ष पर चर नियम लागू करें।
(d/dx)लघुगणक (y) = laghuganak(cose) + x*(1/cose)*(d/dx)(cose)
समीकरण के दाहिने पक्ष को सरलीकृत करें।
(d/dx)लघुगणक (y) = laghuganak(cose) - x*(1/cose^2)
अंतिम उत्तर है:
(d/dx)लघुगणक (y) = laghuganak(cose) - x*(1/cose^2)
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। y=e^x+e^x^2+…+e^x^5
उत्तर:
दिए गए फ़ंक्शन को e^x के घनों के जोड़ के रूप में पुनर्लेखित करें: y=e^x + e^2x + e^3x + e^4x + e^5x
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करने के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें: dy/dx = (1e^x) + (2e^2x) + (3e^3x) + (4e^4x) + (5*e^5x)
समीकरण को सरलीकृत करें ताकि मिले अंतिम उत्तर: dy/dx = e^x + 2e^2x + 3e^3x + 4e^4x + 5e^5x
प्रश्न:
फ़ंक्शन को x के साथ अलग करें। y=sin(tan^−1e^−x)
उत्तर:
फ़ंक्शन को अलग करने के लिए चेन नियम का उपयोग करें।
तन^−1e^−x को x के साथ अलग करें।
sin(tan^−1e^−x) को x के साथ अलग करें।
स्टेप 4: दो अंशों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें।
उत्तर: -ई^−एक्सकॉस (टैन^-१ई^−एक्स)
सवाल:
x के साथ दिए गए कार्य में अंतरक किसके साथ भिन्न करें। cosx/logx, x>0
उत्तर:
दिया गया है: f(x) = cosx/logx, x > 0
स्टेप 1: फ़ंक्शन को f(x) = (cosx) (1/logx) के रूप में पुनर्लेखित करें
स्टेप 2: f(x) को अंतःस्तुतिकरण के नियम का उपयोग करें:
f’(x) = (cosx) (1/logx)’ + (1/logx) (cosx)'
स्टेप 3: पहले शब्द (cosx) (1/logx)’ को भिन्न करें:
(cosx) (1/logx)’ = (cosx) (-1/logx^2)
स्टेप 4: दूसरे शब्द (1/logx) (cosx)’ को भिन्न करें:
(1/logx) (cosx)’ = (-1/logx^2) (cosx)'
स्टेप 5: तीसरे शब्द (cosx)’ को भिन्न करें:
(cosx)’ = -sinx
स्टेप 6: f’(x) के लिए तीन शब्दों की अंतरक एकक में सबस्टिट्यूट करें:
f’(x) = (cosx) (-1/logx^2) + (-1/logx^2) (-sinx)
स्टेप 7: समीकरण को सरल करें:
f’(x) = -(cosx + sinx)/logx^2
सवाल:
x के साथ दिए गए कार्य में अंतरक किसके साथ भिन्न करें। y = √e^√x,x > 0
उत्तर:
स्टेप 1: y को घनमान प्रारूप में पुनर्लेखित करें: y = e^(1/2√x)
स्टेप 2: x के साथ दोनों पक्षों का अंतरक लें: dy/dx = (1/2)e^(1/2√x) × (1/2)x^(-1/2)
स्टेप 3: अभिव्यक्ति को सरल करें: dy/dx = (1/4)e^(1/2√x) x^(-1/2)
सवाल:
x के साथ दिए गए कार्य में अंतरक किसके साथ भिन्न करें। e^x/sinx
उत्तर:
स्टेप 1: दिए गए कार्य को दो फ़ंक्शनों के गुणक के रूप में पुनर्लेखित करें: e^x और 1/sinx
स्टेप 2: दिए गए कार्य को अंतरक की दिशा में विभाजन के लिए उपयोग करें:
(e^x)(d/dx (1/sinx)) + (1/sinx)(d/dx (e^x))
स्टेप 3: पहले शब्द को भिन्न करें:
(e^x)(-cosx/sinx^2)
स्टेप 4: दूसरे शब्द को भिन्न करें:
(1/sinx)(e^x)
स्टेप 5: दोनों शब्दों को मिलाएं:
(e^x)(-cosx/sinx^2) + (1/sinx)(e^x)
स्टेप 6: अभिव्यक्ति को सरल करें:
e^x(-cosx/sinx^2 + 1/sinx)
