चरोणीयता और विभिन्नीकरण अभ्यास ०१
फ़ंक्शन की अविच्छेद्यता की जांच करें। f(x)= x^2−25/x+5, x = 5
Answer:
-
फ़ंक्शन में x = 5 को स्थानांतरित करें: f(5) = 5^2 - 25/5 + 5 = 25 - 5 + 5 = 25
-
देखें कि x को 5 के पास आने पर फ़ंक्शन का सीमा f(5) के बराबर है: lim x→5 f(x) = lim x→5 x^2 - 25/x + 5 = lim x→5 (x+5)(x-5)/(x+5) = lim x→5 (x-5) = 5 - 5 = 0
-
क्योंकि f(5) = 25 और फ़ंक्शन की सीमा x के पास 5 को आने पर 0 है, इसलिए फ़ंक्शन x = 5 पर अविच्छेद्य नहीं है।
ए और बी के मान ढूंढें जिनके लिए फ़ंक्शन आगे दिया गया है एक सतत फ़ंक्शन है।
What is the hi version of the following content:
“Differentiate the function f(x) = x^3 - 2x + 1.”
विषय: x = π पर सतत सम्पूर्णता के लिए k के मान ढूंढेंगे।
उत्तर: f(x) = kx2 if x ≤ π f(x) = cos(x) if x > π
तो, k = cos(π) / π2 जब x = π पर सततता के लिए k के मान ढूंढें।
Find all points of discontinuity of f, where f is defined by f(x) = 1/x.
Answer:
The function f(x) = 1/x has a point of discontinuity at x = 0. This is because dividing by zero is undefined.
प्रमाण:
-
सबसे पहले, हमें दिखाना होगा कि जब x n के पास जाता है तो f(x) की सीमा f(n) के बराबर है।
-
हम इसको साबित करने के लिए एक सीमा की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं।
-
दिया गया हो, ε > 0 हो।
-
हमें एक ऐसा डेल्टा > 0 ढूंढ़ना होगा जिसके लिए |x−n| < δ, तब |f(x)−f(n)| < ε हो।
-
f(x)=x^n के कारण, हम इसे फिर से लिख सकते हैं |x^n−n^n| < ε।
-
हम त्रिकोणीय अनजमल का उपयोग करके इस व्यंजन को सरल रूप में लिख सकते हैं |x−n|·|x^(n−1)+x^(n−2)n+…+xn+n^(n−1)| < ε।
फ़ंक्शन f के निरंतरता के सभी बिंदुओं को ढूंढें, जहां f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: f(x) = |x|/x, अगर x = 0, f(x) = 0, अगर x = 0।
Answer: f का निरंतरता का बिंदु x = 0 है।
Find the derivative of the function f(x) = 3x^2 + 2x - 1.
Answer:
The derivative of f(x) is f’(x) = 6x + 2.
किस प्रकार का सामग्री है: निर्दिष्ट बिंदु में k के मान ढूंढें जिसके लिए फ़ंक्शन f निरंतर है: में x= 2π
उत्तर:
-
में x= 2π को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: f(2π) = {kcos(2π) -2(2π) x ≠ 2π/2 3x= 2π/2}
-
समीकरण को सरल बनाएँ: f(2π) = {k - 4π x ≠ 2π/2 3x= 2π/2}
-
समीकरण को 0 के बराबर रखें: 0 = k - 4π x ≠ 2π/2 3x= 2π/2
-
k के लिए समीकरण को हल करें: k = 4π
प्रश्न:
f(x)=2x^2−1 के x=3 पर क्षेत्रीय होने की जांच करें।
उत्तर: चरण 1: f(x) के प्रतिस्थापन के रूप में x की ओर जब आवे तब f(x) की सीमा 3 की ओर गणना करें:
lim x→3 f(x) = lim x→3 (2x2 − 1)
चरण 2: x = 3 को f(x) में प्रतिस्थापित करें:
f(3) = 2(3)2 − 1
चरण 3: सीमा और f(3) की मान को गणित करें:
lim x→3 f(x) = lim x→3 (2x2 − 1) = 17 f(3) = 2(3)2 − 1 = 17
चरण 4: सीमा और f(3) की मान को तुलना करें:
चरण और f(3) की मान के बराबर होने के कारण, f(x) को x = 3 पर सतत माना जाता है।
प्रश्न:
f(x)=5x−3 को x=0, x=−3 और x=5 पर सतत सिद्ध करें।
उत्तर: x=0 पर: f(0) = 5(0) - 3 = -3
x=0 पर बाएं हाथ सीमा -3 है और x=0 पर दाएं हाथ सीमा -3 है, जिससे यह सिद्ध होता है कि f(x) x=0 पर सतत है।
x=-3 पर: f(-3) = 5(-3) - 3 = -18
x=-3 पर बाएं हाथ सीमा -18 है और x=-3 पर दाएं हाथ सीमा -18 है, जिससे यह सिद्ध होता है कि f(x) x=-3 पर सतत है।
x=5 पर: f(5) = 5(5) - 3 = 22
x=5 पर बाएं हाथ सीमा 22 है और x=5 पर दाएं हाथ सीमा 22 है, जिससे यह सिद्ध होता है कि f(x) x=5 पर सतत है।
प्रश्न:
ढांचा में विफलता के सभी बिंदु ढूंढें, जहां f की परिभाषा है
उत्तर: उत्तर: f का असततता बिंदु x = 2 है।
उत्तर:
-
पहले, जांचें कि क्या समयावद्ध बिना समयावद्ध है। समयावद्ध बिना एक ऐसी होती है जहां परिणामी मान इनपुट मान के साथ चिकनी तरह बदलता है, किसी भी आकस्मिक छलांग या ब्रेक के बिना।
-
फिर, जांचें कि फ़ंक्शन sin | x | कैसी है। यह फ़ंक्शन x के बराबर का लेख लेता है, इसका मतलब है कि उत्पाद सदैव अद्यतित होगा, चाहे x का संकेतांक हो या न हो।
-
यह फ़ंक्शन हमेशा बढ़ता है, इसलिए यह समयावद्ध है और इसलिए समयावद्ध फ़ंक्शन की परिभाषा को पूरा करता है।
-
अंत में, सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि अनंतपन बिंदु वास्तव में अनंतपन बिंदु है। इसके लिए, अपेक्षाकृत x को दाएं से और बाएं से 0 की ओर अजगर करें। यदि दो अजगर समान नहीं हैं, तो अनंतपन बिंदु सत्यापित होता है। इस मामले में, बाईं अजगर 0 है, और दाईं अजगर -1 है, जिसका मतलब है कि अनंतपन बिंदु को पुष्टि की गई है।
इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन का अनंतपन बिंदु x=0 है।
प्रश्न:
दिखाएं कि g(x)=x−[x] द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के सभी पूर्णांक बिंदुओं में अनंतपन है। यहां [x] से परे या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक को दिखाता है।
उत्तर:
चरण 1: सबसे पहले, हम फ़ंक्शन g(x) को परिभाषित करेंगे। यह एक फ़ंक्शन है जो एक वास्तविक संख्या x को इनपुट के रूप में लेता है और x से परे या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक के अंतर को वापस करता है।
चरण 2: g(x) फ़ंक्शन को सभी पूर्णांक बिंदुओं में अनंतपन है दिखाने के लिए, आइए मान लें कि x एक पूर्णांक बिंदु है। फिर, x से परे या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक x खुद है।
चरण 3: इसलिए, फ़ंक्शन g(x) g(x) = x - x = 0 हो जाता है।
चरण 4: अब, फ़ंक्शन g(x) का अनंतपन जैसे x पूर्णांक बिंदु के पास जाता है, इसे वांगचल की ओर से लेते हैं। क्योंकि x से परे या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक x खुद है, इसलिए फ़ंक्शन g(x) का अनंतपन जैसे x पूर्णांक बिंदु के पास जाता है, वह भी 0 है।
चरण 6: चरण के अनंतपन फ़ंक्शन g(x) का अनंतपन जैसे x पूर्णांक बिंदु के पास जाता है, इसके वांगचल के अनंतपन से समान नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन g(x) सभी पूर्णांक बिंदुओं में अनंतपन है।
प्रश्न:
f द्वारा परिभाषित, jahan f है।
उत्तर:
-
सबसे पहले, f की परिभाषा के दो भागों में जहां स्मान नहीं होता है, उन जगहों की पहचान करें। यही है अनंतपन बिंदु। इस मामले में, f की परिभाषा के दो भाग जब x = 2 हैं तो समान होते हैं।
-
अगले, तय करें कि अवरोध का बिंदु हटाया जा सकता है या नहीं। इसके लिए, हमें f(x) की सीमा का मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है, जब x बाईं और दाईं दोनों ओर से 2 के पास जाता है। यदि दो सीमाएँ समान हों, तो अवरोध हटाया जा सकता है। अन्यथा, नहीं।
इस मामले में, बाएं हाथ की सीमा 3 है और दाएं हाथ की सीमा 1 है। इसलिए, अवरोध हटाया नहीं जा सकता है, और अवरोध का बिंदु x = 2 है।
