ऐन्टीग्रेशन का अनुप्रयोग विविध अभ्यास
सवाल:
एलिप्स x^2/a^2+y^2/b^2=1 और रेखा ax+by=1 द्वारा सीमित छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: एलिप्स की समीकरण निर्धारित करें।
एलिप्स की समीकरण है x^2/a^2+y^2/b^2=1।
चरण 2: रेखा की समीकरण निर्धारित करें।
रेखा की समीकरण है ax+by=1।
चरण 3: एलिप्स और रेखा के संबंध में साझेदारी बिंदुओं की पहचान करें।
साझेदारी बिंदुओं की पहचान करने के लिए, एलिप्स की समीकरण और रेखा की समीकरण को समधीर रूप से हल करें।
चरण 4: एलिप्स और रेखा द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल गणना करें।
क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, सूत्र A = 1/2 ∫y dx का उपयोग किया जा सकता है, जहां इंटीग्रल को क्षेत्र तक की सीमा से लिया जाता है।
सवाल:
y^2=4ax और y=mx के बीच विलेयक की क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: विलेयक और रेखा की समीकरण पहचानें।
विलेयक: y^2 = 4ax रेखा: y = mx
चरण 2: सहित बिंदुओं की x-संयोजित मानों का पता लगाएं।
y = mx को y^2 = 4ax में प्रतिस्थापित करने से हमें मिलता है: x^2 = 4ax/m^2
x के लिए हल करने तक, हमें मिलता है: x = ±√(4ax/m^2)
चरण 3: विलेयक और रेखा के बीच विलेयक द्वारा सीमित क्षेत्रफल ढूंढें।
विलेयक और रेखा के बीच विलेयक द्वारा सीमित क्षेत्रफल इस सूत्र का उपयोग करके ढूंढा जा सकता है: क्षेत्रफल = ∫y1-y2dx
यहां y1 विलेयक की समीकरण है और y2 रेखा की समीकरण है।
विलेयक और रेखा की समीकरणों को प्रतिस्थापित करके हमें मिलता है: क्षेत्रफल = ∫(4ax-mx^2)dx
x के संबंध में ध्यान से इंटीग्रेट करते हुए, हमें मिलता है: क्षेत्रफल = (2ax^2/2) - (mx^3/3)
चरण 2 में प्राप्त x की मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: क्षेत्रफल = (2ax^2/2) - (mx^3/3) = (2a(4ax/m^2)/2) - (m(4ax/m^2)^3/3) = 8a^2/m^2 - (16a^3/3m^3)
इसलिए, विलेयक और रेखा के बीच विलेयक द्वारा सीमित क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 8a^2/m^2 - (16a^3/3m^3)
सवाल:
4y=3x^2 और 2y=3x+12 द्वारा सीमित क्षेत्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: विलेयक की समीकरण पहचानें।
विलेयक की समीकरण है 4y=3x^2।
चरण 2: रेखा की समीकरण पहचानें।
रेखा की समीकरण है 2y=3x+12।
चरण 3: दोनों कर्वों के संबंध में साझेदारी बिंदुओं का पता लगाएं। इसके लिए, समीकरणों को एक दूसरे के बराबर सेट करें और x के लिए हल करें।
4y = 3x^2 2y = 3x + 12
3x^2 = 3x + 12
x^2 = x + 4
(x-4)(x+1) = 0
x = 4 या x = -1
चरण 4: x मानों को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके उसके उत्तरदाता y मान ढूंढें।
x = 4 के लिए, 4y = 3(4)^2 y = 12
x = -1 के लिए, 2y = 3(-1) + 12 y = 9
चरण 5: ग्राफ पर साझेदारी बिंदुओं को हल करें।
चरण 6: सीमित क्षेत्रफल की गणना करें। इसके लिए सूत्र A = 1/2 ∫[a,b] (f(x) - g(x))dx का उपयोग करें।
क्षेत्रफल = 1/2 ∫[-1,4] (4y - 2y - 3x - 12)dx
क्षेत्रफल = 1/2 ∫[-1,4] (2y - 3x - 12)dx
क्षेत्रफल = 1/2 ∫[-1,4] (2(3x + 12) - 3x - 12)dx
क्षेत्रफल = 1/2 ∫[-1,4] (6x + 12 - 3x - 12)dx
क्षेत्रफल = 1/2 ∫[-1,4] (3x)dx
क्षेत्रफल = 1/2 (3/2 x^2)|[-1,4]
क्षेत्रफल = 1/2 (3/2 (16 - 1))
क्षेत्रफल = 36.5
सवाल:
y-अक्ष के बीच, y=cosx और y=sinx,0≤x≤π/2 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल है: A 2(√2−1) B √2−1 C √2+1 D √2
उत्तर:
चरण 1: दिए गए समीकरण की पहचान करें।
दिए गए समीकरण है y = cosx और y = sinx, 0 ≤ x ≤ π/2।
स्टेप 2: क्षेत्र का क्षेत्रफल निर्णय करें।
क्षेत्र क्षेत्रफल को सूत्र A = ∫0π/2 (sinx - cosx)dx का उपयोग करके निर्णय किया जा सकता है।
स्टेप 3: यौगिक का हल करें।
यौगिक को यौग से हल किया जा सकता है।
A = ∫0π/2 (sinx - cosx)dx = [sinxcosx]0π/2 - ∫0π/2 (cos²x)dx = (sinπ/2cosπ/2) - ∫0π/2 (1-sinx²)dx = (sinπ/2cosπ/2) - [x - (1/3)sin³x]0π/2 = (√2 - 1) - [(π/2) - (1/3)(1-cos³π/2)] = (√2 - 1) - [(π/2) - (1/3)(3/2)] = (√2 - 1) - (π/2 - 1) = (√2 - 1) - (π/2 - 1)
स्टेप 4: प्रश्न का उत्तर दें।
y-अक्ष, y = cosx और y = sinx, 0≤x≤π/2 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल B √2−1 है।
प्रश्न: मैथमेटिक्स की परिभाषा क्या है हफीज़ कॉन्ट्रैक्टर की?
उत्तर:
-
हफीज़ कॉन्ट्रैक्टर एक भारतीय वास्तुकार, शहरी नियोजक और संरचनात्मक अभियंता हैं।
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उन्होंने वास्तुकारी, शहरी नियोजन और गणित पर कई पुस्तकें लिखी हैं।
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उनकी पुस्तक ‘वास्तुकारों और निर्माताओं के लिए गणित’ में, कॉन्ट्रैक्टर गणित को “संख्याओं और उनके कार्यों, आपसी संबंधों, समान्यीकरणों, संयोजनों, सामान्यीकरणों और अंशव्यवस्थाओं और अनुमानों का विज्ञान और स्थानीय गठनों और उनके संरचना, मापन, परिवर्तनों और सामान्यीकरणों को” परिभाषित करते हैं।
प्रश्न: योग का उपयोग करके सीमित क्षेत्र के क्षेत्रफल का निर्णय करें जिसे लकीरों से सीमित किया गया है: 2x + y = 4, 3x - 2y = 6 और x - 3y + 5 = 0
उत्तर: स्टेप 1: मानक रूप में समीकरणों को पुनः लिखें 2x + y = 4 => y = -2x + 4
3x - 2y = 6 => y = (3/2)x - 3
x - 3y + 5 = 0 => y = (1/3)x - (5/3)
स्टेप 2: रेखाओं के संशोधन बिंदुओं का पता लगाएं
समीकरण (1) और (2) से: -2x + 4 = (3/2)x - 3 => 5x = 7 => x = 7/5
समीकरण (1) में x = 7/5 को प्रतिस्थापित करना: 2(7/5) + y = 4 => y = 4 - (14/5) => y = 6/5
स्टेप 3: योग्यताओं को लिमिट्स के लिए खोजें लिमिट्स को (a,b) और (c,d) की तरह मान लें। स्टेप 2 से हम मिलते हैं (a,b) = (7/5, 6/5) और (c,d) = (7/5, 6/5)
स्टेप 4: योग का गणना करें रेखाओं द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल योग का उपयोग करके निकाला जा सकता है।
क्षेत्रफल = ∫c a (1/3)x - (5/3) dx = [(1/3)x2 - (5/3)x]c a = [(1/3)(7/5)2 - (5/3)(7/5)] - [(1/3)(7/5)2 - (5/3)(7/5)] = 0
इसलिए, रेखाओं द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल 0 है।
प्रश्न: y^2≤4x, 4x^2+4y^2=9 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।
उत्तर: स्टेप 1: क्षेत्र को चित्रित करें।
स्टेप 2: क्षेत्र की सीमाओं का निर्धारण करें।
स्टेप 3: क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए योग को सेट अप करें।
स्टेप 4: क्षेत्र के क्षेत्रफल की मान्यांकन के लिए योग का मूल्यांकन करें।
क्षेत्रफल = $\frac{9\pi}{2}$
प्रश्न: x^2=y और y=x+2 रेखा द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।
उत्तर: स्टेप 1: पराबोला के समीकरण की पहचान करें: x2 = y
स्टेप 2: रेखा के समीकरण की पहचान करें: y = x + 2
स्टेप 3: समीकरणों को एक दूसरे के बराबर सेट करें: x2 = y = x + 2
स्टेप 4: x के लिए हल करें: x2 - x - 2 = 0
स्टेप 5: समीकरण को फैक्टर करें: (x - 2)(x + 1) = 0
स्टेप 6: x के लिए हल करें: x = 2 या x = -1
स्टेप 7: प्रत्येक x-मान के लिए y-मान ढूंढें: x = 2 के लिए y = 4 और x = -1 के लिए y = -1
Step 1: Plot the points (-3, 0) and (0, 3) on the coordinate plane.
Step 2: Draw a straight line segment connecting these two points.
Step 3: Extend the line segment to the left and right to create a V-shape graph.
The graph of y = |x+3| will have a V-shape, with the vertex at (-3, 0) and the arms extending to the left and right.
- Evaluation of ∫−60∣x+3∣dx:
To evaluate the integral of |x+3| from -6 to 0, we need to split the interval at x = -3, where the absolute value function changes sign.
∫−60∣x+3∣dx = ∫−6−30−(x+3)dx + ∫−3^00(x+3)dx
Evaluating each integral separately:
For the first integral: ∫−6−30−(x+3)dx = -∫−6−30(x+3)dx = -[(-1/2)x^2 - 3x]∣−6−30 = -[(-1/2)(-3)^2 - 3(-3) - ((-1/2)(-6)^2 - 3(-6))] = -[(-9/2) + 9 - (18 - 18)] = -[(-9/2) + 9 - 0] = -(-9/2) = 9/2
For the second integral: ∫−3^00(x+3)dx = (∫−3^00xdx) + (∫−3^003dx) = [(1/2)x^2]∣−3^00 + [3x]∣−3^00 = [0 - (1/2)(-3)^2] + [3(0) - 3(-3)] = [0 - 9/2] + [0 + 9] = -9/2 + 9 = 9/2
Adding the values of the two integrals: 9/2 + 9/2 = 18/2 = 9
Therefore, the value of ∫−60∣x+3∣dx is 9.
पराभास्त्र y = x^2 का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हमारे पास निम्नलिखित सीमाओं द्वारा परिभाषित किया गया है: x = 1, x = 2 और x-अक्ष
Step 2: Evaluate the integral to find the area.
The integral evaluates to:
क्षेत्रफल = ∫(1 to 2) x^2 dx
Step 3: Simplify the integral.
क्षेत्रफल = [((x^3)/3)] from 1 to 2
क्षेत्रफल = ((2^3)/3) - ((1^3)/3)
क्षेत्रफल = (8/3) - (1/3)
क्षेत्रफल = 7/3
(ii) Step 1: Find the area of the curve y=x^4 between x=1 and x=5, and the x-axis.
परिपथ की शीर्षक = 1 और 5 द्वारा परिभाषित यावर्ती y = x^4 का क्षेत्रफल निकालने के लिए:
Step 2: Evaluate the integral to find the area.
The integral evaluates to:
क्षेत्रफल = ∫(1 to 5) x^4 dx
Step 3: Simplify the integral.
क्षेत्रफल = [((x^5)/5)] from 1 to 5
क्षेत्रफल = ((5^5)/5) - ((1^5)/5)
क्षेत्रफल = (3125/5) - (1/5)
क्षेत्रफल = 3124/5
पदावली 2: x=1, x=2 और x-अक्ष के द्वारा बने आयत का क्षेत्रफल निर्णय करें।
पदावली 3: पाराबोला और आयत के क्षेत्रफलों को जोड़कर कुल क्षेत्र निर्णय करें।
(ii) पदावली 1: x=1 और x=5 के बीच x^4 के पाराबोला का क्षेत्रफल ढूंढ़ें।
पदावली 2: x=1, x=5 और x-अक्ष के द्वारा बने आयत का क्षेत्रफल निर्णय करें।
पदावली 3: पाराबोला और आयत के क्षेत्रफलों को जोड़कर कुल क्षेत्र निर्णय करें।
