अभिलेखों का अनुप्रयोग अभ्यास (Abhilekhon ka Anuprayog Abhyas)
प्रश्न:
पहले चतुर्थांश में पाए जाने वाले विस्तार को जो कि वृत्त x^2+y^2=4 और रेखा x=0 और x=2 द्वारा बाधित है, क्या है? ए. पाई बी. 2पाई सी. 3पाई डी. 4पाई
उत्तर:
उत्तर: बी 2पाई
प्रश्न:
दिए गए कर्वों y=x^2+2,y=x,x=0 और x=3 द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
कदम 1: दिए गए कर्वों को ग्राफण करें।
कदम 2: कर्वों द्वारा बाधित क्षेत्र का पता लगाएं।
कदम 3: फ़ॉर्मूला का उपयोग करके क्षेत्र का पता लगाएं: क्षेत्र = ∫ y₂ - y₁ dx
कदम 4: मानों को सबस्टिट्यूट करने पर, क्षेत्र = ∫ (x2 + 2) - x dx
कदम 5: 0 से 3 के बीच अंकित मान का पता लगाएं, क्षेत्र = ∫ 3x² + 6x dx
कदम 6: अंकित मान को हल करें, क्षेत्र = x³ + 3x² | 0 से 3 तक
कदम 7: मर्यादाओं को सबस्टिट्यूट करें, क्षेत्र = 27 + 27 = 54
प्रश्न:
x^2/4+y^2/9=1 द्वारा बाधित घेरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।
उत्तर:
कदम 1: दिए गए उत्तेजक की समीकरण निश्चित करें। उत्तेजक की समीकरण है x^2/4+y^2/9=1।
कदम 2: उत्तेजक की प्रमुख और उप-अक्षों को खोजें। उत्तेजक की प्रमुख अक्ष है 4 और उप-अक्ष है 9।
कदम 3: फ़ॉर्मूला A = πab का उपयोग करके क्षेत्र का पता लगाएं, जहाँ एक प्रमुख अक्ष और एक उप-अक्ष हैं। उत्तेजक का क्षेत्र है A = π(4)(9) = 36π।
प्रश्न:
y^2=x और रेखा x=1,x=4 और x-प्रायमध्य पर चतुर्थांश में बाधित घेरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।
उत्तर:
कदम 1: दिए गए समीकरण के ग्राफ बनाएं ताकि क्षेत्र को देख सकें।
कदम 2: इंटीग्रेशन का उपयोग करके क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें। क्षेत्र = ∫y1−y2dx
कदम 3: सूत्र में दिए गए समीकरण के लिए y1 और y2 को सब्स्टिट्यूट करें: क्षेत्र = ∫√x−0dx
कदम 4: सूत्र को समान्तर करें ताकि क्षेत्र को प्राप्त करें: क्षेत्र = [x^(3/2)]/3
कदम 5: इंटीग्रेशन का निचला और ऊपरी सीमाओं को सब्स्टिट करें: क्षेत्र = [4^(3/2)−1^(3/2)]/3
कदम 6: क्षेत्र की मान्यता का आकलन करें: क्षेत्र = (16−1)/3 = 5
प्रश्न:
बिंदु (-1,0), (1,3) और (3,2) है जिनके बिच अंकुर है उनके द्वारा बाधित त्रिभुज के क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
कदम 1: एक त्रिभुज का डायग्राम बनाएं।
कदम 2: त्रिभुज के बिंदुओं को A(-1,0), B(1,3), और C(3,2) के रूप में पहचानें।
कदम 3: हीरो के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्र का पता लगाएं।
A = √s(s-a)(s-b)(s-c)
जहां a, b और c त्रिभुज के सिरे हैं और s = (a+b+c) / 2
s = (1-3+2)/2 = 2
A = √2(2-1)(2-3)(2-2)
A = √2
कदम 4: इंटीग्रेशन का उपयोग करके त्रिभुज द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।
A = ∫[x1, x2] ∫[y1, y2] dxdy
A = ∫[-1, 3] ∫[0, 3x-2] dxdy
A = ∫[-1, 3] (3x-2)dx
A = [3x2/2 - 2x]|[-1, 3]
A = 9/2 -2 - (-3/2 -2)
A = 9/2 +3/2
A = 6
इसलिए, त्रिभुज द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल 6 है।
प्रश्न:
क्षेत्र x^2/16+y^2/9=1 द्वारा बाधित घेरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
कदम 1: उत्तेजक की समीकरण x2/16 + y2/9 = 1 को पहचानें।
कदम 2: उत्तेजक के अर्धमहाद्वितीय और उप-अर्धमहाद्वितीय को खोजें।
कदम 3: उत्तेजक द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें। उत्तेजक की प्रमुख अक्ष और प्रमुख नापीय अक्ष नामित करें, जहां a प्रमुख अक्ष है और b प्रमुख नापीय अक्ष है। घेरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल है A = πab, यहाँ प्रमुख अक्ष a = 4 है और प्रमुख नापीय अक्ष b = 3 है।
कदम 4: उत्तेजक द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें। उत्तेजक का क्षेत्र है A = π43 = 36π।
प्रश्न:
प्रथम चतुर्थी में y^2 = 9x, x = 2, x = 4 और x-अक्ष के बीच में सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।
उत्तर:
चरण 1: दिए गए वक्रों के संपर्क बिंदुओं को ढूंढें।
संपर्क बिंदु (2,0) और (4,0) हैं।
चरण 2: संपर्क बिंदुओं के x-निर्देशांक को संकेत वक्र के समीपवर्ती y-निर्देशांक ढूँढें।
संबंधित y-निर्देशांक (2, 0) और (4, 0) हैं।
चरण 3: सूत्र A = 1/2 (x2 - x1) (y2 - y1) का उपयोग करके क्षेत्र का क्षेत्रफल गणना करें।
क्षेत्र का क्षेत्रफल A = 1/2 (4 - 2) (0 - 0) = 0 है।
प्रश्न:
x^2 = 4y और y = ∣x∣ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।
उत्तर:
चरण 1: दो समीकरणों x^2 = 4y और y = |x| को एक ही समन्वयी समन्वयखण्ड पर ग्राफण करें।
चरण 2: दो समीकरणों द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्र निर्धारित करें।
चरण 3: क्रमिकता का उपयोग करके क्षेत्र का क्षेत्रफल बटोरें।
चरण 4: ∫y = x^2 से y = |x| dx का ढांचा स्थापित करें।
चरण 5: ढांचा के सीमाअंकों का उपयोग करके ढांचा की मान्यता का मूल्यांकन करें।
चरण 6: ∫ के माध्यम से ढांचा का क्षेत्रफल निर्धारित करके क्षेत्र का क्षेत्रफल बटोरें।
उत्तर: x^2 = 4y और y = |x| द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल 4/3 है।
प्रश्न:
x^2 + y^2 = 9 के अंदरी सर्वधारा द्वारा सीमित वृत्त का क्षेत्र ढूँढें जिसके अंदरी सर्वधारा x^2 = 4y है।
उत्तर:
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पहले, हमें मानक रूप में वृत्त की समीकरण ढूँढनी होगी। इसके लिए, हमें x और y के शब्दों के लिए पूरा बनाने की आवश्यकता होगी।
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मानक रूप में वृत्त की समानांतर प्रारूप है (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4।
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अगले, हमें वृत्त और सर्वधारा के बीच के संपर्क बिंदुओं को ढूँढना होगा। इसके लिए, हम समानांतर प्रारूपों को एक-दूसरे के बराबर सेट करके x और y के लिए हल कर सकते हैं।
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हमें (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 और x^2 + y^2 = 9 को बराबर सेट करके x और y के लिए हल करने पर प्राप्त होते हैं x = 1 ± √2/2 और y = ± √2/2।
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अंत में, हमें सर्वधारा द्वारा सीमित वृत्त का क्षेत्र ढूँढना होगा। इसके लिए, हमें वृत्त के क्षेत्र के लिए सूत्र A = पाई * r^2 का उपयोग कर सकते हैं, जहां r वृत्त का त्रिज्या है।
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वृत्त का त्रिज्या 2 है, इसलिए सर्वधारा द्वारा सीमित वृत्त का क्षेत्र A = पाई * 2^2 = 4पाई है।
प्रश्न:
y^2 = 4x, y-अक्ष और y = 3 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें A 2 B 9/4 C 9/3 D 9/2
उत्तर:
उत्तर: B
चरण 1: दिए गए वक्र का समीकरण y2 = 4x रखें।
चरण 2: वक्र, y-अक्ष और y = 3 द्वारा सीमित क्षेत्र का निर्धारण करें।
चरण 3: क्षेत्रफल की गणना के लिए ढांचा स्थापित करें, यहां y2 = 4x को y = 0 से y = 3 तक इंटीग्रेट करें।
चरण 4: क्षेत्र की मान्यता को हल करके प्राप्त करें।
चरण 5: इंटीग्रेशन के माध्यम से क्षेत्र की गणना करें।
चरण 6: इंटीग्रेशन के माध्यम से क्षेत्र की गणना होते ही क्षेत्र की गणना करें।
उत्तर: y^2 = 4x, y-अक्ष और y = 3 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल 9/4 है।
प्रश्न:
(एक्स-1)^2 + y^2 = 1 और x^2 + y^2 = 1 द्वारा सीमित घुटन में क्षेत्र ढूँढें।
उत्तर:
चरण 1: दो कर्वों के संपर्क बिंदुओं को ढूँढें।
बिंदुओं के संपर्क पर (x-1)^2+y^2=1 और x^2+y^2=1।
x के लिए समाधान करने पर हमें x = 1 ± √2/2 और y = ± √2/2 मिलते हैं।
इसलिए, संपर्क बिंदुओं के हैं (1 + √2/2, √2/2) और (1 - √2/2, -√2/2)।
चरण 2: कर्वों द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्र ढूँढें।
क्षेत्र का क्षेत्र एक वृत्त के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
A = πr^2
उत्तर: सबसे पहले हमें दिए गए विभाजन रेखा और वृत्त की सम्पर्क बिंदु का पता लगाना होगा। इसके लिए हमें निम्नलिखित समीकरणों को हल करना होगा: x^2 + y^2 = a^2 x = a/√2
उसके बाद हमें दिए गए रेखा और वृत्त द्वारा प्रतिभागित किए गए भूमि का क्षेत्रमिति निकालनी होगी।
प्रतिभागित किए गए भूमि का क्षेत्रमिति के लिए हमें उसे दो भागों में बांटना होगा। पहला भाग वृत्त की उपरोक्त भूमि होगा और दूसरा भाग वृत्त के नीचे का भूमि होगा।
इसके लिए हमने पहले भाग के क्षेत्रमिति को ज्ञात करना होगा। इसके लिए हम दिए गए वृत्त के क्षेत्रमिति को पहले खोजेंगे। क्षेत्रमिति फार्मूला A = πr^2 का प्रयोग करके और r = a होने पर हम इसे संगठित कर सकते हैं जैसा कि निम्न रूप में दिखाया गया है: A = πa^2
तो, वृत्त के पहले भाग की क्षेत्रमिति A/2 होगी। इस तरह हमें प्रतिभागित किए गए भूमि का क्षेत्रमिति प्राप्त करने के लिए इसे दोहराना होगा।
इस तरह हम निम्नलिखित उत्तर प्राप्त करते हैं: A/2 = (πa^2)/2 = (1/2)πa^2
तो छोटा भाग वृत्त द्वारा कटा हुआ क्षेत्रमिति होगा: A/2 = (1/2)πa^2
यहां दिया गया है: A/2 = (1/2)πa^2
स्टेप 1: वृत्त और रेखा का एक आरेख बनाएं।
स्टेप 2: रेखा की समीकरण निर्धारित करें। रेखा की समीकरण है x = a/√2
स्टेप 3: रेखा और वृत्त के छेदन बिंदुओं की संयोजनाओं के संयोजनांक खोजें। वृत्त की समीकरण में x = a/√2 को स्थानांतरित करने के लिए: y^2 = a^2 - (a/√2)^2 y^2 = a^2 - a^2/2 y^2 = a^2/2 y = ±a/√2
इसलिए, छेदन बिंदुओं के संयोजनांक हैं (a/√2, a/√2) और (a/√2, -a/√2)।
स्टेप 4: वृत्त के छोटे भाग की क्षेत्रफल की गणना करें। वृत्त के छोटे भाग का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से बड़े भाग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। वृत्त का क्षेत्रफल है πa^2। बड़े भाग का क्षेत्रफल वृत्त के संयोजनांक और वृत्त के केंद्र द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है। त्रिभुज की ऊंचाई a है और आधार a/√2 है, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है (1/2)a(a/√2) = a^2/2√2। इसलिए, वृत्त के छोटे भाग का क्षेत्रफल है πa^2 - a^2/2√2।
प्रश्न:
पहले चतुर्थांश में x-अक्ष, रेखा x=√3y और वृत्त x^2+y^2=4 द्वारा संकीर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
स्टेप 1: पहले चतुर्थांश में x-अक्ष, रेखा x=√3y और वृत्त x^2+y^2=4 द्वारा संकीर्ण क्षेत्र को आरेखित करें।
स्टेप 2: वृत्त के क्षेत्रफल के लिए फ़ॉर्मूला उपयोग करें: A = πr^2, जहां r वृत्त का त्रिज्या है।
स्टेप 3: x-अक्ष, रेखा x=√3y और वृत्त x^2+y^2=4 द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करें। त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए फ़ॉर्मूला उपयोग करें: A = 1/2bh, जहां b त्रिज्या है और h त्रिभुज की ऊँचाई है।
स्टेप 4: वृत्त के क्षेत्रफल और त्रिभुज के क्षेत्रफल को जोड़ें और क्षेत्र के कुल क्षेत्रफल को प्राप्त करें।
प्रश्न:
x^2=4y, y=2, y=4 और y-अक्ष के द्वारा पहले चतुर्थांश में बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।
उत्तर:
स्टेप 1: दिए गए समीकरण और रेखाओं y = 2 और y = 4 का ग्राफ बनाएं।
स्टेप 2: पहले चतुर्थांश में x^2=4y, y=2, y=4 और y-अक्ष द्वारा बाधित क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।
स्टेप 3: क्षेत्र का क्षेत्रफल इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है
A = ∫2^4x^2dy
स्टेप 4: वृत्त में y = 4 के लिए x^2=4y को स्थानांतरित करें ताकि x=2√y
स्टेप 5: इंटीग्रल में x = 2√y को स्थानांतरित करें और A के लिए हल करें
A=∫2^4(2√y)^2dy
स्टेप 6: इंटीग्रल को हल करें
A=2[y^(3/2)]2^4−2[y^(3/2)]2^2
स्टेप 7: उपरोक्त समीकरण में y=2 और y=4 को स्थानांतरित करें
A=2[4^(3/2)]2^4−2[2^(3/2)]2^2
स्टेप 8: समीकरण को सरल करें
A=256−32=224
प्रश्न:
वह कौन से नियम तोड़ता था जब वह एक छात्र था?
उत्तर:
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प्रश्न की पहचान करें: यह एक सीमित उत्तर वाला प्रश्न है जिसका एक विशेष उत्तर होता है।
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जानकारी इकट्ठा करें: इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको जानना होगा कि छात्र ने कौन से नियम तोड़े थे।
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जानकारी का विश्लेषण करें: एक बार जब आप जानकारी को प्राप्त कर लेते हैं, तब आपको जांचना होगा कि छात्र ने कौन से नियम तोड़े थे।
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एक निष्कर्ष निकालें: जानकारी के विश्लेषण के आधार पर, आप छात्र ने कौन से नियम तोड़े थे के बारे में एक निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
