अवकलन के अनुप्रयोग अभ्यास 04
सवाल:
यदि एक गोला का त्रिज्या 9 मीटर के साथ मापा जाता है जिसमें त्रुटि 0.03 मीटर होती है, तो पृष्ठीय क्षेत्र की गणना में लगभग त्रुटि क्या होगी।
उत्तर:
चरण 1: दिए गए त्रिज्या का उपयोग करके गोला के पृष्ठीय क्षेत्र की गणना करें। पृष्ठीय क्षेत्र = 4πr2
चरण 2: सूत्र में दिए गए त्रिज्या को स्थानांतरित करें और पृष्ठीय क्षेत्र की गणना करें। पृष्ठीय क्षेत्र = 4π(9)2 = 4π(81) = 304π
चरण 3: पृष्ठीय क्षेत्र की गणना में लगभग त्रुटि ढूंढें। लगभग त्रुटि = 0.03 x 4π = 0.12π m2
सवाल:
अलग-अलगीयों का उपयोग करके, दशमलव के 3 स्थान दशमलव तक के प्रश्नों के अनुमानित मान के अंकों का योग ढूंढें। (0.999)^1/10
उत्तर:
चरण 1: (0.999) के 1/10 का मान निकालें। उत्तर: 0.9512
चरण 2: 0.9512 में अंकों की अनुमानित मान के लिए अलग-अलगीयों का उपयोग करें। उत्तर: 9 + 5 + 1 + 2 = 17
सवाल:
अलग-अलगीयों का उपयोग करके, दशमलव के 3 स्थान दशमलव तक के प्रश्नों के अनुमानित मान के अंकों का योग ढूंढें। (0.0037) के 1/2
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: 0.0037 के वर्गमूल की गणना करें।
चरण 2: दशमलव के 3 स्थान तक के वर्गमूल के मान को अनुमानित करने के लिए अलग-अलगीयों का उपयोग करें।
चरण 3: अनुमानित मान के अंकों को जोड़ें और योग निकालें।
उत्तर: (0.0037) के 1/2 का अंकों का अनुमानित मान 6 है।
सवाल:
यदि एक गोला का त्रिज्या 7 मीटर के साथ मापा जाता है जिसमें त्रुटि 0.02 मीटर होती है, तो उसके आयतन की गणना में लगभग त्रुटि क्या होगी।
उत्तर:
चरण 1: गोले का आयतन निकालें।
आयतन = (4/3)πr3
7मीटर के रूप में त्रिज्या को स्थानांतरित करके,
आयतन = (4/3) × 3.14 × (7)3
आयतन = 1436.76मीटर3
चरण 2: आयतन की गणना में लगभग त्रुटि निकालें।
त्रुटि = (त्रिज्या में त्रुटि) × (त्रिज्या के संबंध में आयतन का उपविभाजक)
त्रुटि = (0.02) × (4πr2)
त्रुटि = (0.02) × (4 × 3.14 × (7)2)
त्रुटि = 101.11 मीटर3
इसलिए, गोले के आयतन की गणना में लगभग त्रुटि 101.11 मीटर3 होती है।
सवाल:
x मीटर लम्बे एक वर्ग के आयतन के नए आयतन में हुए 3% के बढ़ते के कारण लागू होने वाले अंतर का उपयोग करके, x के हर आयतन के अंतर के संकेतिक मान को ढूंढें: ए 0.06x3m^3 ब 0.6x3m^3 सी 0.09x3m^3 डी 0.9x3m^3
उत्तर:
चरण 1: वर्ग के मूल आयतन निकालें। एक वर्ग का आयतन (V) x3 द्वारा दिया जाता है, जहां x वर्ग की ओर लंबाई होती है।
चरण 2: वर्ग के नए ओर की लंबाई ढूढ़ लें। वर्ग की नई ओर की लंबाई 3% बढ़ जाएगी। इसलिए, नई ओर की लंबाई 1.03x होगी।
चरण 3: वर्ग का नया आयतन निकालें। वर्ग के आयतन के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, वर्ग का नया आयतन (V) (1.03x)3 होगा।
चरण 4: वर्ग के आयतन में होने वाले अंतर का अनुमानित मान निकालें। वर्ग के आयतन में होने वाले अंतर को नये आयतन से घटा लें। इसलिए, वर्ग के आयतन में होने वाले अंतर को (1.03x)3 - x3 = 0.09x3m^3 कहा जाता है।
उत्तर: सी 0.09x3m^3
सवाल:
इलेक्ट्रिक कोषिका, पहल के 3 स्थान तक दशमलव के अंकों का उपयोग करके निम्नलिखित के अनुमानित मान का पता लगाएं: (i) √25.3 (ii) √49.5 (iii) √0.6 (iv) (0.009)^1/3 (v) (0.999)^1/10 (vi) (15)^1/4 (vii) (26)^1/3
(0.999)^1/3 Exact value = 0.999
Step 1: Calculate the differential of (0.999)^1/3 Differential = 0.333(0.999)^-2/3 * 0.001 = 0.000333
Step 2: Round the differential to 3 decimal places Differential = 0.000
Step 3: Calculate the sum of digits of the differential Sum of digits = 0
Therefore, the sum of digits approximate value of (0.999)^1/3 is 0.
पाठ्यांश: अंकों की जोड़ की अनुमानित मान = (0.999)^1/3 +0.333(0.999)^-2/3 * 0.001 = 0.999 + 0.000333 = 0.999333 (3 दशमलव स्थान तक रूपांतरित किया गया)
प्रश्न:
विभेद का उपयोग करके, निम्नलिखित के अंकों की जोड़ के अनुमानित मूल्य की खोज करें तक 3 दशमलव स्थान पर। (255)^1/4
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: (255)^1/4 का सटीक मूल्य गणना करें
सटीक मान = 5
चरण 2: (255)^1/4 के विभेद की गणना करें
विभेद = (1/4) * (255)^(-3/4)
चरण 3: (255)^1/4 का अनुमानित मान गणना करें
अनुमानित मान = 5.000
चरण 4: अनुमानित मूल्य के अंकों की जोड़ की गणना करें
अंकों की जोड़ = 5 + 0 + 0 + 0 = 5
प्रश्न:
विभेद का उपयोग करके, निम्नलिखित के अंकों की जोड़ के अनुमानित मूल्य की खोज करें तक 3 दशमलव स्थान पर। (26)^1/3
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: (26)^1/3 का मान गणना करें
(26)^1/3 = 3.717
चरण 2: 3.717 की अंकों की जोड़ की गणना करने के लिए विभेद का उपयोग करें
विभेद = 0.001
3.717 + 0.001 = 3.718
चरण 3: 3.718 की अंकों की जोड़ की गणना करें
अंकों की जोड़ = 3 + 7 + 1 + 8 = 19
चरण 4: परिणाम को 3 दशमलव स्थान पर गोल करें
19.000
प्रश्न:
f(x)=x^3−7x^2+15 जहां f(x) के लिए f(5.001) का अनुमानित मान खोजें।
उत्तर:
f(5.001) = (5.001)^3 - 7(5.001)^2 + 15
f(5.001) ≈ 141.926
प्रश्न:
विभेद का उपयोग करके, निम्नलिखित के अंकों की जोड़ के अनुमानित मूल्य की खोज करें तक 3 दशमलव स्थान पर। (15)^1/4
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: (15)^1/4 का मान गणना करें
(15)^1/4 = 2.902
चरण 2: मान के अंकों की जोड़ की गणना करने के लिए विभेद का उपयोग करें
मान के अंकों की जोड़ = 11 (2 + 9 + 0 + 2)
चरण 3: परिणाम को 3 दशमलव स्थान पर गोल करें
3 दशमलव स्थान तक गोली गई मान 11.000 है।
प्रश्न:
विभेद का उपयोग करके, √0.6 के अंकों की जोड़ का अनुमानित मूल्य खोजें तक 3 दशमलव स्थान पर।
उत्तर:
चरण 1: 0.6 के वर्गमूल का पता लगाएं।
उत्तर: 0.7745966692414834
चरण 2: वर्गमूल के अंकों की जोड़ की गणना करें।
उत्तर: 22 (0 + 7 + 7 + 4 + 5 + 9 + 6 + 6 + 6 + 9 + 2 + 4 + 1 + 4 + 8 + 3 + 4)
प्रश्न:
f(x)=4x^2+5x+2 जहां f(x) के लिए f(2.01) का अनुमानित मान खोजें।
उत्तर:
f(2.01) = 4(2.01)^2 + 5(2.01) + 2
f(2.01) = 16.0824 + 10.05 + 2
f(2.01) = 28.1324
प्रश्न:
विभेद का उपयोग करके, निम्नलिखित के अंकों की जोड़ के अनुमानित मूल्य की खोज करें तक 3 दशमलव स्थान पर। (401)^1/2
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: कैलक्यूलेटर का उपयोग करके 401 की वर्गमूल की गणना करें।
401 का वर्गमूल है 20.049875621।
चरण 2: विभेद का उपयोग करके 3 दशमलव स्थान तक अंकों की जोड़ की गणना करें।
अंकों की जोड़ के लगभगी मान 20.049 है।
प्रश्न:
एक x मीटर लंबे एक क्यूब के पृष्ठभूमि के आकार में बदलाव का आकारिक प्रभाव निकालें जिसके कारण वर्ग 1 प्रतिशत कम है।
उत्तर:
चरण 1: क्यूब की मौलिक पृष्ठभूमि की गणना करें।
पृष्ठभूमि = 6x2 = 6x2xx = 6x2x2 = 24x2 = 48x
चरण 2: एक प्रतिशत के रूप में प्रतिशत कम होने के कारण संदर्भ की पकड़ में बदलाव की गणना करें।
पकड़ में बदलाव = 0.01x
स्टेप ३: क्यूब की नई सतह का क्षेत्रफल गणना करें।
सतह का क्षेत्रफल = 6(x-0.01x)2 = 6(x2 - 0.02x2) = 6x2 - 0.12x2 = 24x2 - 0.12x2 = 48x2 - 0.12x2
स्टेप ४: सतह के क्षेत्रफल में उम्मीदी बदलाव की गणना करें।
उम्मीदी बदलाव सतह के क्षेत्रफल = 48x2 - (48x2 - 0.12x2) = 0.12x2
