अवकल प्रयोग 02 का हिंदी रूपांतरण
प्रश्न:
सिद्ध करें कि फ़ंक्शन f जो f(x)=logsinx द्वारा दिया गया है, (0,π/2) पर सख्त रूप से बढ़ती है और (π/2,π) पर सख्त रूप से घटती है।
उत्तर:
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एक दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन को सख्त रूप से बढ़ने का सिद्ध करने के लिए, हमें दिखाना होगा कि फ़जीबिल का अवकलन उस अंतराल पर शून्य से ऊपर है।
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f(x) का विलोमी अवकलन f’(x)=cosx/sinx है।
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हमें दिखाना होगा कि (0,π/2) पर f’(x) शून्य से ऊपर है, इसके लिए हमें दिखाना होगा कि cosx (0,π/2) पर शून्य से ऊपर है।
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क्योंकि कोसाइन फ़ंक्शन (0,π/2) अंतराल पर सकारात्मक है, हम यह निर्णय निकाल सकते हैं कि f’(x) (0,π/2) पर शून्य से ऊपर है।
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इसलिए, फ़ंक्शन f(x)=logsinx (0,π/2) पर सख्त रूप से बढ़ती है।
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हमें दिखाना होगा कि फ़ंक्शन f(x) (π/2,π) पर सख्त रूप से घटती है, इसके लिए हमें दिखाना होगा कि फ़जीबिल का अवकलन उस अंतराल पर शून्य से कम है।
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क्योंकि कोसाइन फ़ंक्शन (π/2,π) अंतराल पर नकारात्मक है, हम यह निर्णय निकाल सकते हैं कि f’(x) (π/2,π) पर शून्य से कम है।
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इसलिए, फ़ंक्शन f(x)=logsinx (π/2,π) पर सख्त रूप से घटती है।
प्रश्न:
सिद्ध करें कि लघुगणकीय फ़ंक्शन (0,∞) पर सख्त रूप से बढ़ती है।
उत्तर:
प्रमाण:
चरण 1: मान लें f(x) = log(x), जहां x ∈ (0,∞).
चरण 2: दिखाएं कि f’(x) > 0 सभी x ∈ (0,∞) के लिए।
चरण 3: क्योंकि f’(x) > 0 सभी x ∈ (0,∞) के लिए, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन f(x) (0,∞) पर सख्त तरह से बढ़ने वाली है।
चरण 4: इसलिए, लघुगणकीय फ़ंक्शन (0,∞) पर सख्त रूप से बढ़ती है।
प्रश्न:
(0,π/2) पर कौन से फ़ंक्शन (0,π/2) पर सख्त रूप से घटते हैं? इस प्रश्न में कई सही विकल्प हैं A. cosx B. cos2x C. cos3x D. tanx
उत्तर:
चरण 1: फ़ंक्शनों का डोमेन निर्धारित करें। सभी फ़ंक्शनों का डोमेन (0,π/2) है।
चरण 2: प्रत्येक फ़ंक्शन की दायरा निर्धारित करें। A (cosx) की दायरा [-1,1] है, B (cos2x) की दायरा [-1,1] है, C (cos3x) की दायरा [-1,1] है, और D (tanx) की दायरा (-∞,∞) है।
चरण 3: निर्धारित करें कि दिए गए डोमेन पर फ़ंक्शन सख्त रूप से घट रहा है या नहीं। A (cosx) (0,π/2) पर सख्त रूप से घटता नहीं है। B (cos2x) (0,π/2) पर सख्त रूप से घटता नहीं है। C (cos3x) (0,π/2) पर सख्त रूप से घटता है। D (tanx) (0,π/2) पर सख्त रूप से घटता है।
इसलिए, सही उत्तर C (cos3x) और D (tanx) हैं।
प्रश्न:
ऐसा कम से कम कौन सा मान (a) है, जिस पर फ़ंक्शन f(x)=x^2+ax+1 (1,2) पर सख्त रूप से बढ़ता है।
उत्तर:
- पहले, हमें फ़ंक्शन f(x) = x^2 + ax + 1 का अवकलन ढूंढ़ना होगा।
f’(x) = 2x + a
- फिर, हमें अवकलन को 0 के बराबर रखना होगा और a के लिए हल करना होगा।
2x + a = 0 a = -2x
- हमें दिखाना होगा कि कम से कम कौन सा मान (a) है, जिस पर फ़ंक्शन (1,2) पर सख्त रूप से बढ़ता है, इसके लिए हमें इंटरवल के दो संकेतांक प्लग इन करने होंगे और a के लिए हल करने होंगे।
जब x = 1, a = -2
जब x = 2, a = -4
- इसलिए, (1,2) पर फ़ंक्शन सख्त रूप से बढ़ता है, जिसका कम से कम मान (a) है a = -4।
प्रश्न:
सिद्ध करें कि फ़ंक्शन f जो f(x)=logcosx द्वारा दिया गया है, (0,π/2) पर सख्त रूप से घटता है और (π/2,π) पर सख्त रूप से बढ़ता है।
उत्तर:
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Since f’(x) is negative at x=1/2, it means that the function is decreasing in the interval (-1, 1) up to x=1/2.
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To determine if the function is increasing or decreasing beyond x=1/2, we can evaluate the derivative at any point within the interval (-1, 1).
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For example, at x=0, f’(0)=-1.
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Since f’(0) is negative, it means that the function is still decreasing beyond x=1/2.
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Therefore, the function f(x)=x^2−x+1 is neither strictly increasing nor strictly decreasing on the interval (-1, 1).
Step 2: Let’s find the derivative of f(x). The derivative of f(x)=3x+17 is f’(x)=3.
Step 3: Since the derivative is a constant (3), and it is greater than 0, this means that the function f(x)=3x+17 is strictly increasing on the entire real number line (R).
धारा 1: फ़ंक्शन f(x) को परिभाषित करने के लिए, हम इसे f(x)=x+1/x लिख सकते हैं।
धारा 2: अगला, हमें साबित करना होगा कि अवधि I में फ़ंक्शन सख्त बढ़ती है। इसके लिए, हम सख्त बढ़ती फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करेंगे। एक फ़ंक्शन सख्त बढ़ती है अगर और केवल तब जब सभी x और y फ़ंक्शन के डोमेन में होंगे, अगर x < y तो f(x) < f(y) होगा।
धारा 3: हमें सबित करने के लिए f I अवधि में सख्त बढ़ती है, हमें सिद्ध करना होगा कि सभी x और y I में हैं, अगर x < y तो f(x) < f(y) होगा।
धारा 4: इसे साबित करने के लिए, हमें सख्त बढ़ती फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करेंगे और सिद्धांत के द्वारा बयान को सिद्ध करेंगे। मान लीजिए कि कुछ x और y I में हैं, अगर x < y तो f(x) ≥ f(y) होगा।
धारा 5: हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके f(x) - f(y) ≥ 0 प्राप्त कर सकते हैं।
धारा 6: हम फिर से समीकरण को x - y + 1/x - 1/y ≥ 0 बना सकते हैं।
धारा 7: हम x - y + 1/y - 1/x ≥ 0 समीकरण को सरल कर सकते हैं।
धारा 8: हम समीकरण को x - y + (1/y - 1/x) ≥ 0रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
धारा 9: x और y पृथक हैं, जो [-1,1] से अलग है, हम जानते हैं कि x और y -1 या 1 के बराबर नहीं हैं। इसलिए, 1/y - 1/x > 0 होगा।
धारा 10: 1/y - 1/x > 0 होने के कारण, हम समीकरण को x - y > 0 रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
धारा 11: x - y > 0 होने के कारण, यह हमारे मान्यता के विपरीत है कि x < y है। इसलिए, हमारी मान्यता गलत है और f(x) < f(y) होता है।
(a) Strictly Increasing:
- मानवता को बेहतर करने के लिए हमें दूसरों का सम्मान करना चाहिए।
- दूरस्थ लोगों के साथ संवाद करने में हमें सतर्क रहना चाहिए।
- आपसी सहयोग के बिना, हम सभी कुछ हासिल नहीं कर सकते हैं।
(b) Strictly Decreasing:
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सद्भाव में रहने से हम आपसी सौहार्द बनाए रख सकते हैं।
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अधिगम संभावित है जब हम खुले दिमाग से सोचते हैं।
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हमेशा अपने काम को सुधारने का प्रयास करें, क्योंकि प्रगति में हमेशा कुछ नया सीखना होता है।
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फ़ंक्शन f(x) = 2x^2 - 3x की दूसरी व्युदान को ढूंढें f’’(x) = 4
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दूसरी व्युदान नकारात्मक होने के कारण, फ़ंक्शन (-∞, 3/4) और (3/4, ∞) अंतराल पर सख्त तरीके से घट रहा है।
प्रश्न:
निम्नलिखित में से किस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) = x^100 + sinx - 1 सख्तता से घट रहा होगा? A (0,1) B (π/2,π) C (0,π/2) D इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
चरण 1: फ़ंक्शन f(x) की तुलना के लिए मानक जानें।
f’(x) = 100x^99 + cosx
चरण 2: दिए गए प्रमाणों के प्रत्येक अंतराल पर व्युदान के चिह्न का निर्धारण करें।
A (0,1): व्युदान x = 0 पर धनात्मक है और x = 1 पर ऋणात्मक है, इसलिए फ़ंक्शन सख्तता से नहीं घट रहा है।
B (π/2,π): व्युदान x = π/2 पर ऋणात्मक है और x = π पर धनात्मक है, इसलिए फ़ंक्शन सख्तता से नहीं घट रहा है।
C (0,π/2): व्युदान x = 0 पर धनात्मक है और x = π/2 पर ऋणात्मक है, इसलिए फ़ंक्शन सख्तता से घट रहा है।
चरण 3: प्रश्न का उत्तर दें।
फ़ंक्शन f केवल (0,π/2) अंतराल पर सख्तता से घट रहा है।
