अवकलज के अनुप्रयोग अभ्यास 01
प्रश्न:
एक पाइप से रेत 12 सेमी^3/सेकंड की दर से डाली जा रही है। गिरती हुई रेत धरती पर एक शंकु बनाती है जिसका ऊचाई सदैव आधा होता है पुर्ण क्षेत्र के। जब ऊचाई 4 सेमी हो तो रेत के शंकु की ऊचाई कितनी तेजी से बढ़ रही है।
उत्तर:
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दिया गया: रेत की बहाव की दर = 12 सेमी^3/सेकंड, शंकु की ऊचाई = 4 सेमी, ऊचाई से त्रिज्या का अनुपात = 1/6
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ढूँढें: रेत के शंकु की ऊचाई में वृद्धि की दर
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सूत्र: ऊचाई में वृद्धि की दर = (रेत की बहाव की दर) / (शंकु का आयतन)
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शंकु का त्रिज्या की गणना करें: त्रिज्या = 6 × ऊचाई = 6 × 4 = 24 सेमी
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शंकु का आयतन की गणना करें: शंकु का आयतन = (1/3) × पाई × (त्रिज्या)^2 × ऊचाई = (1/3) × पाई × (24)^2 × 4 = 809.6 सेमी^3
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रेत के शंकु की ऊचाई में वृद्धि की दर की गणना करें: ऊचाई में वृद्धि की दर = (रेत की बहाव की दर) / (शंकु का आयतन) = 12 सेमी^3/सेकंड / 809.6 सेमी^3 = 0.0148 सेमी/सेकंड
प्रश्न:
एक गुब्बारा, जो सदैव गोल रहता है, एक चरणीय त्रिज्या है। जब इसकी त्रिज्या (रेडियस) 10 सेमी होता है, तो उसके आयतन की बढ़ती दर क्या है?
उत्तर:
चरण 1: गोल का आयतन का सूत्र निश्चित करें: V = (4/3)पाईr3
चरण 2: दिए गए त्रिज्या (10 सेमी) को सूत्र में बदलें: V = (4/3)पाई(10 सेमी)3
चरण 3: गोल का आयतन की गणना करें: V = 4,189.79 सेमी^3
चरण 4: त्रिज्या के संबंध में आयतन की परिवर्तन दर की गणना करें: dV/dr = (4/3)पाईr2
चरण 5: दिए गए त्रिज्या (10 सेमी) को सूत्र में बदलें: dV/dr = (4/3)पाई(10 सेमी)2
चरण 6: त्रिज्या के संबंध में आयतन की परिवर्तन दर की गणना करें: dV/dr = 4,188.79 सेमी^3/सेमी
प्रश्न:
वृत्त के क्षेत्र की दर की प्रतिरोध क्षेत्र की रेडियस के संबंध में ढलान कितनी है जब (i) r=3 सेमी होता है (ii) r=4 सेमी होता है
उत्तर:
(i) जब r=3 सेमी होता है, तो वृत्त के क्षेत्र का आयतन A=पाईr² होता है
A = पाई(3)² A = 9पाई सेमी²
वृत्त के क्षेत्र की प्रतिरोध क्षेत्र की रेडियस के संबंध में ढलान की दर dA/dr = 2पाईr
dA/dr = 2पाई(3) dA/dr = 6पाई सेमी/सेमी
(ii) जब r=4 सेमी होता है, तो वृत्त के क्षेत्र का आयतन A=पाईr² होता है
A = पाई(4)² A = 16पाई सेमी²
वृत्त के क्षेत्र की प्रतिरोध क्षेत्र की रेडियस के संबंध में ढलान की दर dA/dr = 2पाईr
dA/dr = 2पाई(4) dA/dr = 8पाई सेमी/सेमी
प्रश्न:
एक पत्थर को एक शांत झील में छोड़ दिया जाता है और लहरें गोलाउंड में 5 सेमी/सेकंड की गति से चक्रवृत्ति में चलती हैं। जब चक्रवृत्ति की त्रिज्या 8 सेमी होती है, तो एंकलित क्षेत्र की वृद्धि कितनी तेजी से हो रही है?
उत्तर:
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चक्रवृत्ति का परिधि निर्णय करें: 2पाईr = 2पाई(8 सेमी) = 16पाई सेमी
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लहर की गति निर्णय करें: 5 सेमी/सेकंड
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एंकलित क्षेत्र की प्रतिरोध क्षेत्र की वृद्धि की दर निर्णय करें: (लहर की गति) × (चक्रवृत्ति का परिधि) = (5 सेमी/सेकंड) × (16पाई सेमी) = 80पाई सेमी²/सेकंड
प्रश्न:
एक गुब्बारा जो सदैव गोल रहता है एक परिवर्तनशील त्रिज्या है। जब उसकी त्रिज्या 10 सेमी होती है, तो उसके आयतन में वृद्धि होने की दर mपाई सेमी² होती है। m को जानें
उत्तर:
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समष्टि का आयतन दिया गया होता है V = 4/3पाईr^3
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समष्टि के समय के साथ वृद्धि की दर को प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को अलग करें
dV/dt = 4पाईr^2 dr/dt
- दिए गए त्रिज्या (10 सेमी) को समय के साथ वृद्धि की दर में बदलें
dV/dt = 4पाई(10 सेमी)^2 dr/dt
- त्रिज्या के संबंध में वृद्धि की दर की गणना करें
10mपाई cm³/s = 4(100)π dr/dt
5mपाई = 400π dr/dt
m = 400/5
m = 80
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Calculate the volume of the cube when the edge is 10 cm long: Volume = (10 cm)^3 = 1000 cm^3
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Calculate the rate at which the volume is increasing: Rate of change in volume = 5 cm/s
Therefore, the volume of the cube is increasing at a rate of 5 cm^3/s when the edge is 10 cm long.
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उत्तर: सूत्र V = (4/3)πr^3 का प्रयोग करके गुब्बारे के आयाम का फ़ासला अनुकरण करें।
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गुब्बारे के व्यास को सूत्र के अनुसार r = (3/2)(2x+1) के प्रतिस्थान पर बदलें।
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गुब्बारे के आयाम को व्यास के आधार पर व्यास r के साथ व्यास्थापन सूत्र V = (4/3)πr^3 का प्रयोग करके पाएं।
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x के आधार पर आयाम की प्रतिस्थान की दिशा को बदलें।
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x के अनुसार आयाम के अनुप्रयोग (व्यास की प्रतिस्थान के अनुसार परिवर्तन लक्ष्य (dr/dx) में बदलें।
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f(x) = (4/3)π((3/2)(2x+1))^3 का विपरीत शतपथी प्रयोग करें और य अक्षर के आधार पर dr/dx की प्रतिस्थिति का हल करें।
जब गुब्बारे के व्यास का प्रतिस्थान x है, तो उसके आयाम की प्रतिस्थान x के स्रोत के साथ dr/dx है।
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एक गोला का आयाम (V) = (4/3)πr³
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एक गोला का व्यास (d) = 2r
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V के लिए सूत्र में d = 3/2(2x+1) की जगह प्रतिस्थापित करें:
V = (4/3)π[(3/2(2x+1))/2]³
- सरलीकृत करें:
V = (1/2)π(3x+1)³
- x के साथ V का अवकलन लें:
dV/dx = (3π)(3x+1)²
- x के साथ गुब्बारे के आयाम की रेट ऑफ़ चेंज dV/dx = (3π)(3x+1)² होती है।
