त्रिकोणमिति कार्य प्रश्न सामान्य
सवाल:
दिखाएँ कि: sin3x+sin2x−sinx=4sinxcos(x/2)cos(3x/2)
उत्तर:
- sin3x+sin2x−sinx
- sin3x+2sinxcosx−sinx (हम sin2x = 2sinxcosx की खुदाई का उपयोग कर रहे हैं)
- sin3x+2sinxcosx (समान भाग -sinx को रद्द करना।)
- 4sinxcosx/2 (हम sin3x = 3sinxcosx - sinx की खुदाई का उपयोग कर रहे हैं)
- 4sinxcosx/2cos3x/2 (दोनों पक्षों को cos3x/2 से भाग करना)
- सिद्ध कर दिया।
सवाल:
दिखाएँ कि: 2cosπ/13cos9π/13+cos3π/13+cos5π/13=0
उत्तर:
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समीकरण का विस्तार करें: 2cosπ/13 + cos3π/13 + cos5π/13 = 0
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साइन और कोसाइन के रूप में पुनः लिखें: 2sin7π/13cosπ/13 + sin11π/13cos3π/13 + sin15π/13cos5π/13 = 0
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सम को उपयोग करें: 2sin7π/13sin2π/13 + 2sin11π/13sin4π/13 + 2sin15π/13sin6π/13 = 0
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समीकरण को सरलीकृत करें: 2sin(7π/13 + 2π/13) + 2sin(11π/13 + 4π/13) + 2sin(15π/13 + 6π/13) = 0
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डबल-कोण तिद्दंत का उपयोग करें: 2sin(9π/13) + 2sin(15π/13) + 2sin(21π/13) = 0
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पुनः सम को उपयोग करें: 4sin9π/13cos6π/13 + 4sin15π/13cos12π/13 + 4sin21π/13cos18π/13 = 0
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समीकरण को सरलीकृत करें: 4sin(9π/13 + 6π/13) + 4sin(15π/13 + 12π/13) + 4sin(21π/13 + 18π/13) = 0
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डबल-कोण तिद्दंत का फिर से उपयोग करें: 4sin15π/13 + 4sin27π/13 + 4sin39π/13 = 0
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पुनः सम को उपयोग करें: 8sin15π/13cos12π/13 + 8sin27π/13cos24π/13 + 8sin39π/13cos36π/13 = 0
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समीकरण को सरलीकृत करें: 8sin(15π/13 + 12π/13) + 8sin(27π/13 + 24π/13) + 8sin(39π/13 + 36π/13) = 0
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डबल-कोण तिद्दंत का फिर से उपयोग करें: 8sin27π/13 + 8sin51π/13 + 8sin75π/13 = 0
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सिद्ध करें कि sin(π + स्रावण) = -sinस्रावण: 8sin27π/13 - 8sin3π/13 - 8sin9π/13 = 0
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सम को कोसाइन के रूप में पुनः लिखें: 2cosπ/13cos9π/13 + cos3π/13cos5π/13 - cos5π/13cos3π/13 = 0
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उत्पाद को सम करने के लिए लागू करें: 2cosπ/13cos9π/13 + cos3π/13cos5π/13 + cos3π/13cos5π/13 = 0
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समीकरण को सरलीकृत करें: 2cosπ/13cos9π/13 + 2cos3π/13cos5π/13 = 0
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उत्पाद को सम करने के लिए पुनः लागू करें: 2cos(π/13 + 9π/13)cos(3π/13 + 5π/13) = 0
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डबल-कोण तिद्दंत का फिर से उपयोग करें: 2cos14π/13cos8π/13 = 0
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कार्य को लागू करें कि cos(2स्रावण) = cos2स्रावण - 1: 2cos14π/13(cos8π/13 - 1) = 0
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समीकरण को सरलीकृत करें: 2cos14π/13(-1) = 0
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0 के लिए हल करें: 2cos14π/13 = 0
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कार्य को लागू करें कि cosस्रावण = 0 जब स्रावण = π/2 + kπ हो: 14π/13 = π/2 + kπ
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k के लिए हल करें: k = (14π/13 - π/2)/π = 13/6
इसलिए, 2cosπ/13cos9π/13 + cos3π/13cos5π/13 + cos5π/13cos3π/13 = 0.
सवाल:
दिखाएँ कि: (cosx+cosy)2+(sinx−siny)2=4cos2x+y/2
उत्तर:
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समीकरण के बाईं ओर का विस्तार करें: (cosx+cosy)2+(sinx−siny)2 = cos2x + 2cosxcosy + cos2y + sin2x - 2sinxsiny + sin2y
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बाईं ओर को सरलीकृत करें: cos2x + 2cosxcosy + cos2y + sin2x - 2sinxsiny + sin2y = cos2x + cos2y + 2cosxcosy + sin2x + sin2y - 2sinxsiny
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साइन-कोसाइन तिद्दंत का उपयोग करके बाईं ओर को पुनः लिखें:
Let’s start with the given equation: (cosx−cosy)2+(sinx−siny)2=4sin2x−y/2
Expanding the left side of the equation: cos2x - 2cosxcosy + cos2y + sin2x - 2sinxsiny + sin2y = 4sin2x−y/2
Simplifying the left side of the equation: 2 - 2(cosxcosy + sinxsiny) = 4sin2x−y/2
Now, let’s simplify the right side of the equation: 4sin2x−y/2 = 2sin2x - y
Setting the left side and the right side of the equation equal to each other: 2 - 2(cosxcosy + sinxsiny) = 2sin2x - y
Isolating the terms containing cosxcosy and sinxsiny: 2(cosxcosy + sinxsiny) = 2sin2x - y + 2
Dividing both sides by 2: cosxcosy + sinxsiny = sin2x - y/2 + 1
Therefore, we have proved that (cosx−cosy)2+(sinx−siny)2=4sin2x−y/2.
हम दिए गए मान के साथ शुरू करके समीकरण की बाईं ओर को विस्तृत करते हैं और इसे 2 - 2 (कॉसxकॉसy + सिनxसिनy) पर सरल बनाते हैं। फिर हम समीकरण की दाईं ओर को 2sin2x - y के रूप में पुनः लिखते हैं। हम बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर और कॉसxकॉसy और सिनxसिनy समान करने वाले होने वाले तत्वों को अलग रखते हैं। फिर हम दोनों ओर को 2 से विभाजित करके cosx cosy + sinx siny = sin2x - y/2 + 1 प्राप्त करते हैं। इसलिए, (cosx−cosy)2+(sinx−siny)2=4sin2x−y/2 सत्य है।
सवाल: सिद्ध करें: sinx+sin3x+sin5x+sin7x=4cosxcos2xsin4x
उत्तर:
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उपयोग करें: तात्कालिक संख्या समीकरण sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
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वाम ओर को दोहराएँ: 2sin(2x)cos(0) + 2sin(4x)cos(2x) + 2sin(6x)cos(4x) + 2sin(8x)cos(6x)
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सदियों का प्रयोग करें: cos2A = 2cos²A - 1
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दाईं ओर को पुनः लिखें: 4cosx(2cos2(2x) - 1)sin4x
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सदियों का प्रयोग करें: sin2A = 2sinAcosA
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दोनों ओर को पुनः लिखें: 2sin(2x)cos(0) + 2sin(4x)cos(2x) + 2sin(6x)cos(4x) + 2sin(8x)cos(6x) = 8cos2xsin4x
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उपयोग करें: तात्कालिक संख्या समीकरण sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
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दोनों ओर को पुनः लिखें: 2sin(4x)cos(2x) = 2sin(4x)cos(2x)
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इसलिए, sinx+sin3x+sin5x+sin7x=4cosxcos2xsin4x सत्य है।
सवाल: सिद्ध करें: (sin3x+sinx)sinx+(cos3x−cosx)cosx=0
उत्तर:
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समीकरण को बाईं ओर विस्तृत करें: (sin3x + sinx)sin x + (cos3x - cosx)cos x
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साइन और कोसाइन के लिए डबल त्रिकोणीय समीकरण का प्रयोग करें: (3sin²x - sinx)sin x + (3cos²x - cosx)cos x
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सरल बनाएँ: 3sin³x - sin²xcosx + 3cos²xcosx - cosxsin x
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पाइथागोरस सम्मिश्रण का प्रयोग करें: 3sin³x - sin²xcosx + 3cos³x - sin²xcosx
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सरल बनाएँ: 3sin³x + 3cos³x
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तात्कालिक संख्या sin³x + cos³x का प्रयोग करें: 3(sin³x + cos³x)
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सरल बनाएँ: 0
