सीधी रेखाएँ विविध अभ्यास
प्रश्न:
ऐसी रेखा की महाभेदिति पर चलती है जिसके समांतर अंतराल हैं 4x−7y−3=0 और 2x−3y+1=0, जो दोनों अक्षों पर बराबर महबेन परिक्षेपों के साथ चलते हैं।
उत्तर:
चरण 1: दो रेखाओं के महाभेदिति का अंक ढूँढें।
4x − 7y − 3 = 0 2x − 3y + 1 = 0
इन दो समीकरणों को घटाने पर, हमें मिलता है: 2x − 4y − 4 = 0
y के लिए समाधान करते हैं, हमें मिलता है: y = 2x − 4
इसे पहले समीकरण में स्थानांतरित करके, हमें मिलता है: 4x − 7(2x − 4) − 3 = 0
सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है: 8x − 28 − 3 = 0
समाधान करते हैं, हमें मिलता है: 8x = 31
इसलिए, x = 3.875
x को समीकरण y = 2x − 4 में प्रतिस्थापित करके, हमें मिलता है: y = 2(3.875) − 4 = 4.75
इसलिए, महाभेदिति का बिंदु है (3.875, 4.75)।
चरण 2: दोनों अक्षों पर बराबर महबेनों के साथ महाभेदिति से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ढूँढें।
हमें यह ज्ञात है कि एक बिंदु (x1, y1) से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण दिया जाता है: y − y1 = m(x − x1)
यहां m रेखा का ढाल है।
क्योंकि रेखा का x-और y-अक्ष पर बराबर महबेन होना आवश्यक है, इसलिए यह -1 की ढाल वाली रेखा होगी।
इसलिए, रेखा का समीकरण है: y − 4.75 = −1(x − 3.875)
सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है: y − 4.75 = −x + 3.875
दोनों ओरों में 4.75 जोड़कर, हमें मिलता है: y = −x + 8.625
प्रश्न:
यदि एकीकृत होने वाले तीन रेखाओं के समीकरण हैं y = m1x + c1,y = m2x + c2 और y = m3+c3, तो दिखाएं कि m1(c2−c3)+m2(c3−c1)+m3(c1−c2)=0
उत्तर:
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दी गई तीन रेखाओं के समीकरण हैं y = m1x + c1, y = m2x + c2 और y = m3x + c3
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क्योंकि ये तीनों रेखाएं समीकरण में एक बिन्दु पर समांतर बराबरता हैं, ये एक ही बिन्दु पर मिलती हैं
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इसलिए, तीनों रेखाओं के एक बिन्दु को (x, y) रूप में लिखा जा सकता है
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तीनों रेखाओं के समीकरण में x और y की मानों को स्थानांतरित करते हुए, हमें मिलता है
m1x + c1 = m2x + c2 m2x + c2 = m3x + c3
- समीकरणों को आवागमन करने पर, हमें मिलता है
m1x - m2x = c2 - c1 m2x - m3x = c3 - c2
- दो समीकरणों को जोड़ने पर, हमें मिलता है
m1x - m2x + m2x - m3x = c2 - c1 + c3 - c2
- समीकरण को सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है
m1x - m3x = c1 - c2 + c3 - c2
- समीकरण को पुनः व्यवस्थित करते हुए, हमें मिलता है
m1x - m3x = c1 - c2
- समीकरण के दोनों ओरों को -1 से गुणा करने पर, हमें मिलता है
-1(m1x - m3x) = -1(c1 - c2)
- समीकरण को सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है
m3x - m1x = c2 - c1
- दो समीकरणों को जोड़ने पर, हमें मिलता है
m1x - m2x + m2x - m3x + m3x - m1x = c2 - c1 + c3 - c2 + c2 - c1
- समीकरण को सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है
m1(c2 - c3) + m2(c3 - c1) + m3(c1 - c2) = 0
प्रश्न:
ऐसी रेखाओं के समीकरण ढूँढें, जो अक्षों को काटती हैं, जिनका योग और गुणन 1 और -6 हैं, क्रमिक रूप से।
उत्तर:
चरण 1: x-अक्ष और y-अक्ष पर काटने वाले बिन्दु x और y हैं।
चरण 2: यानी कि योग अक्षों का 1 है, तो x + y = 1।
चरण 3: यानी कि गुणन अक्षों की -6 है, तो xy = -6।
चरण 4: xy = -6 में x + y = 1 की जगह डालें, हमें x(1 - x) = -6 मिलता है।
चरण 5: उपरोंक्त समीकरण को सरलीकरण करके, हमें x^2 - x - 6 = 0 मिलता है।
चरण 6: x^2 - x - 6 = 0 को द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करें, हमें x = 3 या x = -2 मिलता है।
चरण 7: x = 3 या x = -2 को x + y = 1 में डालें, हमें y = -4 या y = 1 मिलता है।
Step 8: अब, रेखाओं की समीकरण हैं:
जब x = 3, y = -4: y = -4x + 1
जब x = -2, y = 1: y = 1x - 1
प्रश्न:
(1,2) बिंदु से एक सीधी रेखा किस दिशा में खींची जानी चाहिए, ताकि इसका छुट्टी हुआ बिंदु x+y = 4 वाली रेखा से 3 इकाई तक दूरी पर हो।
उत्तर:
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(1,2) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण लिखें: y = -x + 3
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उस रेखा की समीकरण लिखें जिसका छुट्टी हुआ बिंदु (1,2) से x+y = 4 वाली रेखा से 3 इकाई दूर पर हो।: y = -x + 6
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इन दोनों रेखाओं का संदर्भबिंदु ढूंढें: इन दोनों रेखाओं का संदर्भबिंदु (3,1) है।
प्रश्न:
(1, 2) बिंदु से जो रोशनी की किरणे होती है, वह बिना फ़िसलाये अक्ष पर बिंदु A पर प्रतिबिंबित होती है और प्रतिबिंबित किरण (5, 3) बिंदु से गुजरती है। A के निर्देशांक ढूँढें।
उत्तर:
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स्थिति की विवरण करने के लिए एक आरेख बनाएं।
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प्रदत्त बिंदुओं को अल्पवचकृत करें।
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A बिंदु x-अक्ष पर है, इसके लिए उसका y-निर्देशांक 0 होना चाहिए।
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बिंदुओं (1, 2) और (5, 3) को जोड़ने वाली रेखा खींचें।
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बिंदु A से बनी लंब रेखा को (1, 2) और (5, 3) को जोड़ने वाली रेखा से खींचें।
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पाइथागोरस के सिद्धांत का उपयोग करके, (1, 2) से A तक रेखा की लंबाई की गणना करें।
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दो रेखा सेगमेंट की लंबाई के अनुपात का उपयोग करके A का x-निर्देशांक गणना करें।
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A के निर्देशांक (x, 0) हैं, जहां x गणना किया गया x-निर्देशांक है।
प्रश्न:
यदि रेखाएं y = 3x+1 और 2y = x+3 लाइन y = mx+4 के समान दिशात्मक हैं। m का मान ढूंढें।
उत्तर:
दिया गया है: y = 3x+1 2y = x+3
समान दिशात्मक है: y = mx+4
ढूंढें: m
चरण 1: चरण 2 रेखाओं y = mx+4 के समान दिशात्मक होने के कारण, दिए गए रेखाओं की ढलाई बराबर होनी चाहिए।
चरण 2: दिए गए रेखाओं की ढलाई गणना करें।
y = 3x+1 की ढलाई: m1 = 3
2y = x+3 की ढलाई: m2 = 1
चरण 3: m1 = m2 सेट करें और m के लिए समाधान करें।
3 = 1
m = 3
प्रश्न:
यदि P(x, y) एक वेरिएबल बिंदु से लाइनें x+y−5 = 0 और 3x−2y+7 = 0 के ऊपरी दूरी के योग का हमेशा 10 होता है, तो दिखाएं कि P एक रेखा पर चलने होना चाहिए।
उत्तर:
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x+y−5 = 0 को 3x−2y+7 = 0 में प्रतिस्थापित करें: 3x−2(x+5)+7 = 0
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सरलीकरण करें: 3x−2x−10+7 = 0
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x के लिए समाधान करें: x = 7
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x = 7 को x+y−5 = 0 में प्रतिस्थापित करें: 7+y−5 = 0
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y के लिए समाधान करें: y = 12
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इसलिए, P(x, y) लाइन x = 7 और y = 12 पर चलने चाहिए।
प्रश्न:
लाइन y = mx+4 से समान दूर स्थित परालल रेखाओं 9x+6y−7 = 0 और 3x+2y+6 = 0 की समीकरण ढूंढें।
उत्तर:
- दिए गए रेखाओं की ढलाई ढुंढें।
9x+6y−7 = 0 की ढलाई m1 = -6/9
3x+2y+6 = 0 की ढलाई m2 = -2/3
- दिए गए रेखाओं से अगली рेखा की ढलाई ढूंढें.
दिए गए रेखाओं से अगयी रेखा की ढलाई दो दिए गए रेखाओं के ढलाई का औसत होता है।
m = (-6/9 + -2/3) / 2 = -4/6
- दिए गए ढलाई और रेखा पर बिंदु प्रयोग करके रेखा की समीकरण ढूंढें।
(x1, y1) को उस बिंदु के रूप में चुनें जिस पर रेखा पर स्थित होता है।
समीकरण में मान बदलने पर,
y1 - y2 = m (x1 - x2)
=> y1 - y2 = -4/6 (x1 - x2)
ज्वालामुखी कैसे बनती है?
उत्तर:
ज्वालामुखी वे स्थान होते हैं जहां धरातल के नीचे मग्मा (कच्चा लावा), गैस और रॉक का एक समूह होता है जो पृथ्वी की मंदलीय परतों में जब जहाज हमारी सबसे निकटता प्रवेश करते है, अपनी गतिशीलता बढ़ा सकता है। ज्वालामुखी उच्च जटिल विमान हैं, जो मग्मा और अन्य विषाणुओं को निर्गत करते हैं। जब यह मग्मा पृथ्वी की सतह पर पहुंचता है, तो यह ठंडा हो जाता है और लावा और अन्य तत्वों का एक विशाल ढेर बनता है, जिसे ज्वालामुखी कहा जाता है। ज्वालामुखी आम तौर पर पतों, लावा धाराओं, विषाणुओं, रॉक फ्रैगमेंट्स, हवा और गैस का मिश्रण, गर्म ग्रहों और इंग्लेशियों के बगीचों का निर्गत करते हैं।
उत्तर:
-
पहले, हमें उस रेखा की समीकरण ढूंढनी होगी जो दी गई रेखा के लिए लंबवत होती है और बिंदु (3,8) से होती है। इस रेखा का समीकरण है: y = -(1/3)x + 8।
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अब, हमें इस रेखा और दी गई रेखा के छोर के बीच के बिंदु का व्युत्पन्न करना होगा। x+3y = 7 में y = -(1/3)x + 8 को प्रतिस्थापित करने से हमें x = 7 मिलता है। इसलिए, छोर का बिंदु (7, -1) है।
-
अब, हमें बिंदु (3, 8) और बिंदु (7, -1) के बीच रेखांतरित संख्यांक का माध्यम ढूंढ़ना होगा। माध्य बिंदु (5, 3.5) है।
-
अंत में, हमें रेखा x+3y = 7 के हिसाब से बिंदु (3, 8) का प्रतिबिंब ढूंढ़ना होगा। बिंदु (3, 8) का प्रतिबिंब वह बिंदु है जो (3, 8) का माध्यम (5, 3.5) के चारोंओर संगती है। इसलिए, बिंदु (3, 8) का प्रतिबिंब (7, 4.5) है।
अब हम हिस्सा करते हैं:
ही परीक्षा क्रम hadfhvö ds }kjk u"V gS D;ksafd //, tks }kjk lodi dh fxjtk dh xbZ xokg D;ksafd 2x−3y+4 = 0 ls lEcfU/ gksrs gSaA /, u"V gS vkSj ftls eq> dks feyrs gSa }kjk tc = #l# , dkVksaZ dks feysxh tks Jh ys rks fVdYe xk;ksa] 6x−7y+8= 0 ds jksxksa }kjk ljdkj ugha gks jgh gSA /, tc = #l# dk = #dk# loe~ o le; & = #=#
To find the equation of a line perpendicular to the line x/4 + y/6 = 1, we need to find the slope of the given line and then find the negative reciprocal of that slope.
Step 1: Rewrite the given equation in slope-intercept form (y = mx + b), where m is the slope and b is the y-intercept.
Putting the equation x/4 + y/6 = 1 in slope-intercept form, we get:
y/6 = -x/4 + 1 y = -3x/2 + 6
Step 2: Find the slope of the given line.
In the equation y = -3x/2 + 6, the coefficient of x (-3/2) represents the slope. Therefore, the slope of the given line is -3/2.
Step 3: Find the negative reciprocal of the slope.
The negative reciprocal of -3/2 is 2/3.
Step 4: Use the point-slope form (y - y1 = m(x - x1)) to find the equation of the line passing through the point where it meets the y-axis.
Let’s denote the point where the line meets the y-axis as (0, b), where b is the y-intercept.
Using the point-slope form, we have:
y - b = (2/3)(x - 0) y - b = 2/3x
Simplifying, we get:
y = 2/3x + b
Therefore, the equation of the line drawn perpendicular to the line x/4 + y/6 = 1 through the point where it meets the y-axis is y = 2/3x + b.
कदम 1: x/4 + y/6 = 1 के लाइन के ऊपरी सीधे का समीकरण ढूंढ़ने के लिए, हम लाइन की ढाल-प्रतिक्रियावादी रूप में उपयोग कर सकते हैं: y = mx + b।
कदम 2: x/4 + y/6 = 1 के ऊपरी सीधे की ढाल, x/4 + y/6 = 1 की ढाल के ऋणात्मक प्रतिसंयुक्त है। x/4 + y/6 = 1 की ढाल 6/4 = 3/2 है, इसलिए x/4 + y/6 = 1 के ऊपरी सीधे की ढाल -2/3 है।
कदम 3: y-अंतरल का पता लगाने के लिए, हम उन बिंदुओं का उपयोग कर सकते हैं जहां लाइन y-अक्ष के साथ कटती है। क्योंकि यह बिंदु (0, y) है, हम x को दिए गए समीकरण में 0 के बदलाव के लिए स्थानांतरित कर सकते हैं: x/4 + y/6 = 1। इसके अनुसार, हमें y/6 = 1 प्राप्त होता है, इसलिए y = 6 होता है।
कदम 4: अब हमारे पास x/4 + y/6 = 1 के ऊपरी सीधे की अधिसूचित सीढ़ी के ऊपरी सीधे के लिए ढाल और y-अंतरल है। m के लिए -2/3 और b के लिए 6 को अद्यतित करने के बाद हमें समीकरण y = -2/3x + 6 मिलता है।
सवाल:
जिस लाइन(k−3)x−(4−k^2)y+k^2−7k+6=0 के लिए k के मान ढूंढ़े जाएंगे, वह: (a) x-अक्ष के लिए समांतर हो। (b) y-अक्ष के लिए समांतर हो। (c) मुख्यधारा से गुजरता हो।
उत्तर:
(a) लाइन एक्स-अक्ष के लिए समांतर होने के लिए, लाइन की ढाल 0 होनी चाहिए। ढाल ढौंढ़ने के लिए, हम म्यू = (y2-y1)/(x2-x1) समीकरण का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि लाइन Ax + By + C = 0 के रूप में है, इसलिए हम x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0 और y2 = 0 के मान दाखिल कर सकते हैं। इससे हमें म्यू = 0 मिलता है।
k की मान ढूंढ़ने के लिए, हम समीकरण को क्रमबद्ध करके k = 3 + (4 - k^2)/k^2 - 7k + 6 प्राप्त कर सकते हैं।
म्यू = 0 को इस समीकरण में डालने से हमें k = 3 मिलता है।
(b) लाइन y-अक्ष के लिए समांतर होने के लिए, लाइन की ढाल अनंत होनी चाहिए। ढाल ढौंढ़ने के लिए, हम म्यू = (y2-y1)/(x2-x1) समीकरण का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि लाइन Ax + By + C = 0 के रूप में है, इसलिए हम x1 = 0, x2 = 0, y1 = 0 और y2 = 1 के मान दाखिल कर सकते हैं। इससे हमें म्यू = ∞ मिलता है।
k की मान ढूंढ़ने के लिए, हम समीकरण को क्रमबद्ध करके k = 3 + (4 - k^2)/k^2 - 7k + 6 प्राप्त कर सकते हैं।
म्यू = ∞ को इस समीकरण में डालने से हमें k = -3 मिलता है।
(c) लाइन मुख्यधारा से गुजरने के लिए, बिंदु (0,0) को समीकरण को पूरा करना होगा। हम x = 0 और y = 0 को समीकरण में डालकर k^2 - 7k + 6 = 0 प्राप्त करते हैं।
इस समीकरण को k के लिए हल करने से हमें k = 3 या k = -2 मिलता है।
