सीधी रेखाएँ अभ्यास 03
सवाल:
यदि 2p सुचार की लंबाई है जो मूल से रेखा के वेध को पर पतों पर हैं 2a और b हैं, तो दिखाएं कि 1/p^2=1/a^2+1/b^2।
उत्तर:
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दिया गया है: 2p = मूल से रेखा के वेध की लंबाई जिनके पतों पर 2a और b हैं।
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हमें दिखाना है कि: 1/p2 = 1/a2 + 1/b2
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हम मौजूदा समीकरण को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं: p2 = a2 + b2
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समीकरण के दोनों पक्षों का प्रतिघातित लेते हुए: 1/p2 = 1/a2 + 1/b2
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इसलिए, 1/p2 = 1/a2 + 1/b2, जो चाहिए हुआ परिणाम है।
सवाल:
मूल से रेखा की पर्याप्ति का शीर्षक y = mx+c से खुदी उस पर उसकी पति (−1, 2) पर मिलती है। खो और c के मान पायें।
उत्तर:
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सबसे पहले, हमें m के लिए हल करना है। हम इसे (-1, 2) को सदिश y = mx + c में उत्पन्न करके और m के लिए हल करके कर सकते हैं।
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-1 = m(-1) + c
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2 = m(0) + c
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पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने से हमारे पास आता है:
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-1 = -m + c
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दोनों पक्षों में एम जोड़कर हमारे पास आता है:
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m = 1 + c
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इस समीकरण को दूसरे समीकरण में स्थानांतरित करने के द्वारा हमारे पास आता है:
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2 = (1 + c)(0) + c
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2 = c
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इसलिए, m = 1 + c और c = 2।
title: “03” name_multi: “सीधी रेखाएँ अभ्यास 03” parent: “10 Straight Lines Exercise” draft: false
सवाल:
निम्नलिखित समीकरणों को ढंग से घटाएं - लाभ - प्रतीयंत्र प्रपत्र में और उनके प्रतीयंत्र और पतीयंत्र ढंग जानें। (i)x+7y =0 (ii)6x+3y−5 =0 (iii)y =0
उत्तर:
(i) x + 7y = 0 प्रतीयंत्र: -7 पतीयंत्र: 0
(ii) 6x + 3y - 5 = 0 प्रतीयंत्र: -3/6 पतीयंत्र: 5/3
(iii) y = 0 प्रतीयंत्र: 0 पतीयंत्र: 0
सवाल:
यदि p और q मूल से रेखाओं की लंबाई हैं xcosθ−ysinθ=kcos2θ और xsecθ+ycscθ=k, तो साबित करें कि p^2+4q^2=k^2
उत्तर:
- xcosθ−ysinθ=kcos2θ
- xsecθ+ycscθ=k
- पहले समीकरण का वर्ग लें: (xcosθ−ysinθ)^2=k^2cos^22θ
- दूसरे समीकरण का वर्ग लें: (xsecθ+ycscθ)^2=k^2
- दोनों समीकरणों को गुणा करें: (xcosθ−ysinθ)(xsecθ+ycscθ) = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर का गुणनगणित प्रविष्ट करें: x^2cosθsecθ−xycosθcscθ−yxsecθsinθ+y^2sinθcscθ = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर का सरल करें: x^2cosθsecθ−xy(cosθcscθ+secθsinθ)+y^2sinθcscθ = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर से x^2 और y^2 निकालें: x^2(cosθsecθ−(cosθcscθ+secθsinθ))+y^2(sinθcscθ) = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर के ठोस कारकों को आसान बना दें: x^2(cosθ(secθ−cscθ−sinθsecθ))+y^2(sinθ(cscθ−sinθcscθ)) = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर के ठोस कारकों को और सरल बना दें: x^2(−sinθ)+y^2(−cosθ) = k^2cos^22θ
- समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग झूलें: √(x^2(−sinθ)+y^2(−cosθ)) = √(k^2cos^22θ)
- समीकरण के बाएं ओर के वर्ग को सरल करें: √(x^2)+√(y^2) = √(k^2cos^22θ)
- समीकरण के बाईं ओर के ठोस कारकों के लिए p और q के बदले में प्रयुक्त करें: p+q = √(k^2cos^22θ)
- समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग लें: (p+q)^2 = k^2cos^22θ
- समीकरण के बाईं ओर वर्ग का विस्तार:
उत्तर: प्रश्न: बिंदु (3,4) और (−1,2) को जोड़ने वाले रेखा सेगमेंट का दायीं धारक का समीकरण ढूंढें।
उत्तर: चरण 1: बिंदु (3,4) और (−1,2) के बीच रेखा की विचराल खींचें। चरण 2: रेखा के मध्यबिंदु की स्थिति ढूंढें। चरण 3: अपनी संख्या पत्रक का आवागमन खोजें। चरण 4: सेंटर प्वाइंट फ़ॉर्म के समीकरण का उपयोग करें, (3 + -1)/2 = 2, (4 + 2)/2 = 3, इसलिए सेंटर बिंदु (2,3) है। चरण 5: बिंदु (2,3) से जोड़ी गई रेखा सेगमेंट की विचराल खींचें। चरण 6: धारक के माध्यम समीकरण का उपयोग करें, (3 - 2)/(4 - 3) = 1/1 = 1, इसलिए धारक का समीकरण m = 1 है। चरण 7: तल पदार्थों का उपयोग करें, y - 3 = 1(x - 2) चरण 8: समीकरण को सरल रूप में लायें, y - 3 = x - 2 चरण 9: समीकरण का व्यवस्थापन करें, -x + y + 1 = 0
इसलिए, संचाल रेखा का समीकरण (3,4) और (−1,2) को जोड़ने वाले रेखा सेगमेंट का दायीं धारक का समीकरण -x + y + 1 = 0 है।
चरण १: (x/3) + (y/4) = 1 सरलीकरण की समीकरण ढूंढ़ें।
स्थानांतरण करते हैं, 4x + 3y = 12
चरण २: x-धुंधणीदार की दूरी 4 इकाइयों होती है वह बिंदुओं को ढूंढ़ें जो x-धुंधणीदार के दूरी 4 इकाइयों से समान होते हैं।
यहां हम x-धुंधणीदार की दूरी को यहां 4 इकाइयों के बराबर करते हैं, उसे 4x + 3y = 48 में रूपांतरित करते हैं।
चरण ३: x-धुंधणीदार की दूरी को ढूंढ़ने के लिए इस सरलीकृत समीकरण को मानक रूप में स्थानांतरित करें।
मानक रूप में, x = (48 - 3y)/4
चरण ४: इस समीकरण में x = 0 डालने से, हम x-धुंधणीदार के बिंदु पर प्राप्त होने वाले y-धुंधणीदार के बिंदु को प्राप्त करते हैं।
इसे समाधान करने से, y = 16/3
इसलिए, x-धुंधणीदार के बिंदु (0, 16/3) होता है।
चरण ५: इस समीकरण में y = 0 डालने से, हम y-धुंधणीदार के बिंदु पर प्राप्त होने वाले x-धुंधणीदार के बिंदु को प्राप्त करते हैं।
इसे समाधान करने से, x = 12
इसलिए, x-धुंधणीदार के बिंदु (12, 0) होता है।
इस प्रकार, x-धुंधणीदार से 4 इकाइयों की दूर परबोलिक होते हैं और उनके बिंदुओं को प्राप्त किया जाता है।
दो दीर्घरेखाओं के बीच के अंतर को ढ़ूंढें जो 15x + 8y - 34 = 0, 15x + 8y + 31 = 0 के समानांतर रेखाओं के हैं।
उत्तर:
स्टेप 1: समीकरणों को घटाएं ताकि मिलें: 15x + 8y - 34 = 0 -(15x + 8y + 31 = 0)
स्टेप 2: सरल करें ताकि मिलें: -65 = 0
स्टेप 3: -65 0 के बराबर नहीं है, इसलिए चारों कोनों की दीर्घा एक-दूसरे के साथ संपर्क नहीं करती हैं और उनके बीच में कोई दूरी नहीं है।
समतलिका के समकोण A(2,3),B(4,-1) और C(1,2) के वर्तमानों के साथ ABC में समकोण से ऊचाई का समीकरण और लंबाई ढूंढें।
उत्तर:
समकोण से ऊचाई का समीकरण: y-3 = (2-1)/(3-(-1))(x-2) y-3 = (1)/(4)(x-2) y-3 = (1/4)x - (2/4) 4y-12 = x-2 4y-x=14
समकोण से ऊचाई की लंबाई: दूरी के सूत्र का उपयोग करके: d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) d = √((2-1)^2 + (3-(-1))^2) d = √(1^2 + 4^2) d = √17 d = 4.12
