आंकड़े अन्य अभ्यास (Aankade Anya Abhyas)
प्रश्न:
आठ अवलोकन का औसत और विस्तार 9 और 9.25 हैं, यदि छह अवलोकन 6, 7, 10, 12, 12 और 13 हैं, तो शेष दो अवलोकन ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: छह अवलोकनों की योगफल ढूंढें। 6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 = 60
चरण 2: सभी आठ अवलोकनों की योगफल ढूंढें। छह अवलोकनों की योगफल (60) + शेष दो अवलोकनों की योगफल = 8 × औसत (8 × 9)
चरण 3: शेष दो अवलोकनों की योगफल ढूंढें। 8 × 9 - 60 = 24
चरण 4: आठ अवलोकनों का विस्तार ढूंढें। विस्तार = 9.25
चरण 5: छह अवलोकनों का विस्तार ढूंढें। छह अवलोकनों का विस्तार = (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13)2 / 6 - (60)2 / 6 = (780) / 6 - (3600) / 6 = 130 - 600 = 470
चरण 6: शेष दो अवलोकनों का विस्तार ढूंढें। आठ अवलोकनों का विस्तार (9.25) - छह अवलोकनों का विस्तार (470) = शेष दो अवलोकनों का विस्तार (455.25)
चरण 7: शेष दो अवलोकनों का औसत ढूंढें। शेष दो अवलोकनों का औसत = √(शेष दो अवलोकनों का विस्तार / 2) = √(455.25 / 2) = 21.25
चरण 8: शेष दो अवलोकनों को ढूंढें। शेष दो अवलोकन = शेष दो अवलोकनों का औसत (21.25) ± √(शेष दो अवलोकनों का विस्तार / 2) = 21.25 ± √(455.25 / 2) = 21.25 ± 12.5 = 8.75 और 33.75
प्रश्न:
गणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान के तीन विषयों में एक कक्षा के 50 छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत और मानक विचलन निम्नानुसार दिए गए हैं: विषय गणित भौतिकी रसायन विज्ञान औसत 42 32 40.9 मानक विचलन 12 15 20 तीनों विषयों में अंकों में सबसे अधिक परिवर्तनशीलता और सबसे कम परिवर्तनशीलता कौन है?
उत्तर:
चरण 1: दिए गए डेटा की जांच करें। गणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान के तीन विषयों में एक कक्षा के 50 छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत और मानक विचलन दिए गए हैं।
चरण 2: प्रतिस्पर्धीता की गणना करें। प्रतिस्पर्धीता को मानक विचलन को औसत के अनुपात में लेकर गणित किया जा सकता है।
चरण 3: गणित में अंकों में परिवर्तनशीलता = 12/42 = 0.2857, भौतिकी में = 15/32 = 0.46875 और रसायन विज्ञान में = 20/40.9 = 0.4912।
चरण 4: परिवर्तनशीलता की तुलना करें। अंकों में सबसे अधिक परिवर्तनशीलता वाला विषय रसायन विज्ञान है और सबसे कम परिवर्तनशीलता वाला विषय गणित है।
प्रश्न:
सात अवलोकन का औसत और विस्तार क्रमशः 8 और 16 हैं। यदि पांच अवलोकन 2, 4, 10, 12 और 14 हैं। तो शेष दो अवलोकन कौनसे होंगे।
उत्तर:
चरण 1: पांच दिए गए अवलोकनों की योगफल की गणना करें। उत्तर: 2 + 4 + 10 + 12 + 14 = 42
चरण 2: सात अवलोकनों की कुल योगफल की गणना करें। उत्तर: सात अवलोकनों की योगफल = औसत × अवलोकनों की संख्या = 8 × 7 = 56
चरण 3: शेष दो अवलोकनों की योगफल की गणना करें। उत्तर: शेष दो अवलोकनों की योगफल = सात अवलोकनों की योगफल - पांच दिए गए अवलोकनों की योगफल = 56 - 42 = 14
चरण 4: शेष दो अवलोकनों की गणना करें। उत्तर: 14 / 2 = 7
इसलिए, शेष दो अवलोकनों का आँकड़ा 7 और 7 है।
प्रश्न:
100 अवलोकनों के एक समूह की औसत और मानक विचलन मिले हैं, जो कि प्रत्येकता 20 और 3 हैं। बाद में पता चला कि तीन अवलोकन ग़लत थे जो 21, 21 और 18 के रूप में दर्ज किए गए थे। इस स्थिति में यदि ग़लत अवलोकन निकाल दी जाएं तो औसत और मानक विचलन की क्या होगी?
उत्तर:
चरण 1: 100 अवलोकनों की औसत की गणना करें। औसत = 20
चरण 2: 100 अवलोकनों की मानक विचलन की गणना करें। मानक विचलन = 3
चरण 3: तीन ग़लत अवलोकनों का योगफल निकालें। योग = 21 + 21 + 18 = 60
चरण 4: नया औसत निकालकर, ग़लत अवलोकनों के योगफल को 100 अवलोकनों के कुल योगफल से कम करें। नया औसत = (100 × 20) - 60 = 1400 - 60 = 1340
चरण 5: नया मानक विचलन निकालकर, ग़लत अवलोकनों के योगफल को 100 अवलोकनों के कुल योगफल से कम करें। नया मानक विचलन = (100 × 3) - 60 = 300 - 60 = 240
चरण 6: नये औसत और मानक विचलन को नये अवलोकनों की संख्या से भाग करके नयी गणना करें। नया औसत = 1340 / 97 = 13.8 नया मानक विचलन = 240 / 97 = 2.5
प्रश्न:
Xˉ दिए गए avळ औसत होता है और σ2 निपट्ति द्वारा n अवलोकनों X1,X2…Xn की उलझनी दी गई है। सिद्ध करें कि अवलोकनों aX1,aX2,aX3….aXn की औसत और विनियमक विचलन अलग-अलग रूप में axˉ और a2σ2 क्रमशः होते हैं (a≠0)।
उत्तर:
प्रमाण: चरण 1: अवलोकनों X1, X2, X3, …, Xn को n अवलोकनों की औसत X̄ और विनियमक विचलन σ2 के साथ दी गयी हो,| h1= aX1’, aX2, aX3, …, aXn, जहां a एक स्थिर कोण है।
चरण 2: aX1’, aX2, aX3, …, aXn के अवलोकनों की औसत दी गई है
औसत = (aX1’ + aX2 + aX3 + … + aXn) / n
चरण 4: aX1’, aX2, aX3, …, aXn, के अवलोकनों की विनियमक विचलन दी गई है
विनियमक विचलन = (a2X1'2 + a2X2'2 + a2X3'2 + … + a2Xn'2) / n - (aX¯)2
चरण 8: इस प्रकार, aX1’, aX2, aX3, …, aXn के अवलोकनों की विनियमक विचलन a2σ2 होती है।
चरण 9: इसलिए, अवलोकनों aX1’, aX2, aX3, …, aXn की औसत और विनियमक विचलन ax¯ और a2σ2 होते हैं (a ≠ 0)।
प्रश्न:
20 अवलोकनों की औसत और मानक विचलन प्राप्त हुए हैं, जो 10 और 2 हैं। दुबारा जांच करने पर पाया गया कि एक अवलोकन 8 ग़लत था। निम्न मामलों में सही औसत और मानक विचलन की गणना करें: (i) यदि ग़लत आइटम को छोड़ा जाए (ii) यदि इसे 12 के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए
उत्तर:
(i) यदि ग़लत आइटम को छोड़ा जाए
औसत = (10 + 11 + 10 + 10 + 11 + 10 + 11 + 11 + 10 + 11 + 10 + 10 + 11 + 10 + 11 + 11 + 10 + 11 + 10 + 11) / 19
कन्टेंट का हाई संस्करण क्या होगा: = 10.53
मानक विचलन = √[( (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 + (10 - 10.53)2 + (11 - 10.53)2 ) / 18 ] = 0.9
(ii) यदि इसे 12 से प्रतिस्थापित किया जाता है
औसत = (12 + 11 + 10 + 10 + 11 + 10 + 11 + 11 + 10 + 11 + 10 + 10 + 11 + 10 + 11 + 11 + 10 + 11 + 10 + 11) / 20 = 10.6
मानक विचलन = √[( (12 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 + (10 - 10.6)2 + (11 - 10.6)2 ) / 19 ] = 0.8
प्रश्न:
छः अवलोकन का औसत और मानक विचलन 8 और 4 हैं, यदि प्रत्येक अवलोकन को 3 से गुणा किया जाता है, बने हुए अवलोकनों का नया औसत और नया मानक विचलन क्या होगा।
जवाब:
- छः अवलोकनों का औसत = 8
- छः अवलोकनों का मानक विचलन = 4
- प्रत्येक अवलोकन को 3 से गुणा किया जाता है
- नए अवलोकनों का नया औसत = 8 x 3 = 24
- नए अवलोकनों का नया मानक विचलन = 4 x 3 = 12
