सरणी और श्रेणियों का अभ्यास ३
प्रश्न:
एक जी.पी. के पांचवें, आठवें और ग्यारहवें पद p, q और s हैं। दिखाएं कि q^2=ps
उत्तर:
दिया गया है: 5वें पद = p, 8वें पद = q, 11वें पद = s
चरण 1: हम जानते हैं कि जी.पी. एक संख्या श्रृंखला है जिसमें प्रथम पद के बाद हर एक पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करके पाया जाता है, जिसे साधारण अनुपात कहा जाता है।
चरण 2: हम जी.पी. को लिख सकते हैं p, pr, pr^2, pr^3, pr^4, pr^5, pr^6, pr^7, pr^8, pr^9, pr^10
चरण 3: दिए गए जानकारी से हम कह सकते हैं कि p = pr^4, q = pr^7, s = pr^10
चरण 4: मान लेने पर q^2 = ps, हमें
(pr^7)^2 = pr^4 * pr^10
मिलाने पर
चरण 5: समीकरण को सरल करते हुए, हमें मिलता है
pr^14 = pr^14
चरण 6: इसलिए, हम कह सकते हैं कि q^2 = ps.
प्रश्न:
जी.पी 3,3^2,3^3,… के कितने पद चाहिए ताकि उसका योग 120 हो?
उत्तर:
दिया गया है, प्रथम पद (a) = 3 साधारण अनुपात (r) = 3 योग (S) = 120
चरण 1: हमें जी.पी में पदों (n) की संख्या (n) ढूंढनी होगी। इसके लिए, हमें यह सूत्र प्रयोग करना होगा
Sn = a(r^n - 1)/(r - 1)
चरण 2: सूत्र में दिए गए मानों को बदलें
120 = 3(3^n - 1)/(3 - 1)
चरण 3: समीकरण को सरल करें
120 = 3(3^n - 1)/2
चरण 4: समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 3 से विभाजित करें
40 = 3^n - 1
चरण 5: समीकरण के प्रत्येक पक्ष में 1 जोड़ें
41 = 3^n
चरण 6: समीकरण के दोनों पक्षों का लॉग लें
log3 41 = n
चरण 7: n के लिए हल करें
n = log3 41
इसलिए, योग 120 देने के लिए आवश्यक पदों की संख्या है log3 41.
प्रश्न:
चरणों की संख्या 8,88,888,8888,… की श्रृंखला के n वें पद का मान खोजें।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: पहचानें कि श्रृंखला एक अंकगणितिक श्रृंखला है। चरण 2: श्रृंखला का साधारण अंतर गणना करके निकालें जिसमें दूसरे पद (88) को पहले पद (8) से घटाएं। साधारण अंतर = 8 - 88 = -80 चरण 3: श्रृंखला के n वें पद की गणना करें। n वें पद = a + (n - 1)d n वें पद = 8 + (n - 1)(-80) n वें पद = 8 - 80(n - 1) चरण 4: श्रृंखला के n वें पद का योग निकालें। योग = n/2 [2a + (n - 1)d] योग = n/2 [2(8) + (n - 1)(-80)] योग = n/2 [16 - 80(n - 1)] योग = 8n - 40(n - 1)
प्रश्न:
G.P.5/2,5/4,5/8 के 20वें और n वें पदों का मान ढूंढें।
उत्तर:
Samadhaan:
दिया गया है, प्रथम पद, a = 5/2 साधारण अनुपात, r = 5/4
n वें पद = a x r^(n-1)
20वें पद = a x r^(20-1) = 5/2 x (5/4)^19 = 5/2 x (625/524288) = 5/8192
प्रश्न:
G.P के 12वें पद का मान ढूंढें, जिसका 8वें पद 192 है और साधारण अनुपात 2 है।
उत्तर:
उत्तर:
दिया गया है: 8वें पद = 192 साधारण अनुपात = 2
चरण 1: साधारण अंतर (d) ढूंढें साधारण अंतर (d) = साधारण अनुपात (r) - 1
d = 2 - 1 = 1
चरण 2: 12वें पद ढूंढें 12वें पद = a₈ + (12 - 8)d
12वें पद = 192 + (12 - 8)1
12वें पद = 192 + 4(1)
12वें पद = 192 + 4
12वें पद = 196
प्रश्न:
श्रृंखला 0.15,0.015,0.0015,… के 20 पदों का योग निकालें।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: श्रृंखला के पहले 20 पद लिखें।
Translate the following sentence into hi: “I love learning new languages!”
Sum of first three terms of G.P: a + ar + ar^2 = 39/10
Product of first three terms of G.P: a × ar × ar^2 = 1
Step 5: Using the given values, we can write the equations: a + ar + ar^2 = 39/10 —-(1) a × ar × ar^2 = 1 —-(2)
Step 6: From equation (2), we can simplify and obtain: a^3 × r^3 = 1
Step 7: Taking cube root on both sides of the equation, we get: a × r = 1 —-(3)
Step 8: Substituting equation (3) into equation (1), we get: a + ar + ar^2 = 39/10 a + 1 + r = 39/10 a + r = 39/10 - 1 a + r = 29/10 —-(4)
Step 9: From equations (3) and (4), we can solve for the values of a and r.
Hence, the common ratio and the terms of the G.P. can be calculated using the above steps.
अब, दी गई जानकारी का उपयोग करके,
पहले तीन अंशों का योग = a + ar + ar2 = 39/10
चरण 5: दोनों ओरों को 10 से गुणा करने के बाद,
10a + 10ar + 10ar2 = 39
चरण 6: इसके अलावा, दी गई जानकारी का उपयोग करके,
पहले तीन अंशों का गुणांक = a × ar × ar2 = 1
चरण 7: सरल करते हुए,
a × ar2 = 1
चरण 8: सरल करके पाए गए समीकरण में ar2 का मान उपयोग करते हुए,
10a + 10ar + 10 = 39
चरण 9: तंत्रीबद्ध करने के बाद,
10a + 10ar - 10 = 39 - 10
चरण 10: सरल करते हुए,
10(a + ar - 1) = 29
चरण 11: दोनों ओरों को 10 से विभाजित करने के बाद,
a + ar - 1 = 29/10
चरण 12: चरण 11 में प्राप्त समीकरण में ar2 का मान उपयोग करते हुए,
a + ar - 1 = 29/10
ar2 = 1
चरण 13: चरण 12 में प्राप्त समीकरण को हल करते हुए,
r2 = 10/29
चरण 14: दोनों ओरों का वर्गमूल लेने के बाद,
r = √(10/29)
इसलिए, जर्मन शिक्षा प्रक्रिया का साधारण अनुपात √(10/29) है।
चरण 15: चरण 11 में प्राप्त समीकरण में r का मान उपयोग करते हुए,
a + √(10/29) - 1 = 29/10
चरण 16: चरण 15 में प्राप्त समीकरण को हल करते हुए,
a = (29/10) - √(10/29) + 1
इसलिए, जर्मन शिक्षा प्रक्रिया का पहला अंश (29/10) - √(10/29) + 1 है।
इसलिए, जर्मन शिक्षा प्रक्रिया का साधारण अनुपात √(10/29) है और पहले तीन अंश (29/10) - √(10/29) + 1, √(10/29) और 1 हैं।
प्रश्न:
पहले दो अंकों की जोड़ 4 के बराबर है और पांचवें अंक की तीसरे अंक के चार गुना है, उसके लिए एक जी.पी. खोजें
उत्तर:
चरण 1: दिया गया है, पहले दो अंकों की जोड़ = -4 पांचवा अंक = तीसरे अंक के चार गुना
चरण 2: पहले अंक को ‘ए’ और सामान्य अनुपात को ‘आर’ मानें।
चरण 3: दिए गए शर्त के अनुसार,
a + ar = -4 ………………………..(1)
a + ar + ar² + ar³ + 4ar³ = 4ar³ …………………(2)
चरण 4: समीकरण (1) और (2) को हल करके, हमें मिलता है
a = -4, r = -1
चरण 5: इसलिए, आवश्यक जी.पी. है -4, 4, -4, 4, -4, ….
प्रश्न:
यदि अ, बी, सी और डी जी.पी. में हैं तो इस मान्यता को दिखाएं कि (अ^2+बी^2+सी^2)(बी^2+सी^2+डी^2)=(अब+बीसी+सीडी)^2
उत्तर:
संदर्भ में दिया गया है कि अ, बी, सी और डी जी.पी. में हैं।
चरण 1: हम अ, बी, सी और डी को एक सामान्य अनुपात र के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जैसे अ = अर, बी = अर², सी = अर³ और डी = अर⁴।
चरण 2: दिए गए समीकरण में अ, बी, सी और डी के मान का उपयोग करें:
(अर² + अर⁴ + अर⁶)(अर⁴ + अर⁶ + अर⁸) = (अर² × अर³ + अर³ × अर⁴ + अर⁴ × अर⁵)²
चरण 3: समीकरण को सरल करें:
अर² + अर⁴ + अर⁶ + अर⁸ + 2अर²अर⁴ + 2अर²अर⁶ + 2अर⁴अर⁶ = (अर² × अर³ + अर³ × अर⁴ + अर⁴ × अर⁵)²
चरण 4: इसे और सरल करते हैं:
अर² + अर⁴ + अर⁶ + अर⁸ + 2अर²अर⁴ + 2अर²अर⁶ + 2अर⁴अर⁶ = अर⁴ + 2अर⁵ + 2अर⁶ + 2अर⁷ + अर⁸
चरण 5: समीकरण के प्रत्येक शक्ति के ‘र’ के समकोणों को तुलना करना:
अर² = अर²
अर⁴ = अर⁴
अर⁶ = अर⁶
अर⁸ = अर⁸
2अर²अर⁴ = 2अर⁵
2अर²अर⁶ = 2अर⁶
2अर⁴अर⁶ = 2अर⁷
इसलिए, समीकरण सत्य मानया जाता है।
प्रश्न:
दो अंकों की जोड़ 6 गुना है उनके ज्यामिति माध्यम के योग में दिखाएं कि नंबर (3 + 2√2) से (3-2√2) के अनुपात में हैं।
उत्तर:
- दो अंकों की जोड़ 6 गुना है उनके ज्यामिति माध्यम के बराबर है।
- ज्यामिति माध्यम = √(x*y), यहां x और y दो अंक हैं।
- 6*√(x*y) = x + y
- 6*√(x*y) = (3+2√2) + (3-2√2)
- 6*√(x*y) = 3 + 2√2 - 2√2 + 3
- 6*√(x*y) = 6
- √(x*y) = 1
- x*y = 1
- x/y = (3+2√2)/(3-2√2)
इसलिए, दो अंक 12±√(12+4)(12-4) हैं।
स्टेप 6: इसलिए, आवश्यक द्विघात समीकरण है x2 - 16x + 48 = 0
प्रश्न:
निम्नलिखित अनुक्रम का कौन सा अंक है: (a) 2,2√2,4,… जो 128 है? (b) √3,3,3√3,… जो 729 है? (c) 1/3,1/9,1/27,… जो 1/19683 है?
उत्तर:
(a) 8वां अंक 128 है। (b) 6वां अंक 729 है। (c) 9वां अंक 1/19683 है।
प्रश्न:
ऐसा x का मान ढूंढें जो कि −2/7,x,−7/2 एक ज्यामितिक प्रगति के तीन आपसी अनुक्रम हैं।
उत्तर:
दिया गया है कि तीनों संख्याओं की ज्यामितिक प्रगति में है।
यहां a = -2/7, r = x के बराबर है
इसलिए, तीसरा संख्या, b = -7/2 है
हम जानते हैं कि ज्यामितिक प्रगति में,
b = ar^2
इसलिए, -7/2 = (-2/7)x^2
दोनों पक्षों को 14 से गुणा करें
-14 = -2x^2
दोनों पक्षों को -2 से भाग करें
7 = x^2
दोनों पक्षों पर वर्गमूल लें
x = √7
प्रश्न:
निम्नलिखित ज्यामितिक प्रगति का योगफल ढूंढें: x3,x5,x7,… n अंकों तक, x>2 A: x3(x^(2n−1)−1)/(x^2−1) B: x3(x^2n−1)/(x^2−1) C: x^2(x^2n−1)/(x^2−1) D: x^2(x^(2n−1)−1)/(x^2−1)
उत्तर:
उत्तर: D
स्पष्टीकरण:
एक ज्यामितिक प्रगति (जीपी) का योगफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्णयित किया जा सकता है:
S = a(1-r^n)/(1-r), यहां a जीपी का पहला अंक है, r साधारण अनुपात है और n आवश्यक अंकों की संख्या है।
इस मामले में, जीपी का पहला अंक x3 है, साधारण अनुपात x2 है, और n आवश्यक अंकों की संख्या है।
इसलिए, जीपी का योगफल है:
S = x3(x^(2n−1)−1)/(x^2−1)
प्रश्न:
यदि एक ज्ञाताकार चार अंकों की एक ज्यामितिक प्रगति के चतुर्थ, दसवें और सोलहवें अंक हैं, तो x,y,z किसमे हैं: A : सापेक्ष वृद्धि B : ज्यामितिक प्रगति C : AGP D : हार्मोनिक प्रगति
उत्तर:
उत्तर: B: ज्यामितिक प्रगति
प्रश्न:
चौथा अंक पहले अंक से 9 अधिक होने और दूसरा अंक चौथे अंक से 18 अधिक होने वाले एक ज्ञातांक धुंधें। A : 2, -6, 12, -24 B : 3, 6, 12, 24 C : 3, -6, 12, -24 D : इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
उत्तर: C: 3, -6, 12, -24
प्रश्न:
एक निश्चित संख्या की कलचर कुछ प्रतिरोधकी सभ्यता प्रतिघाती रूप से दोगुना होती है। यदि प्रारंभिक रूप से संस्कृति में 30 संख्याएँ मौजूद थीं, तो द्वितीय घंटे और चौथे घंटे और एनवीं घंटे में कितनी संख्याएँ होंगी?
उत्तर:
द्वितीय घंटे: 60 बैक्टीरिया चौथे घंटे: 120 बैक्टीरिया एन्वीं घंटे: 30 x 2^n बैक्टीरिया
प्रश्न:
निम्नलिखित अनुक्रमों के संबंधित संख्याओं के गुणांक का योग ढूंढें:
(i) 2,4,8,16,32
(ii) 128,32,8,2,1/2.
उत्तर:
(i) 2 x 128 + 4 x 32 + 8 x 8 + 16 x 2 + 32 x 1/2
(ii) 128 + 128 + 64 + 32 + 16
उत्तर: 256 + 448 + 64 + 32 + 16 = 816
प्रश्न:
संख्याओं के द्वारा अनुक्रमिक प्रगतियों a,ar,ar^2,ar(n−1), और A,AR,AR2,ARn−1 के संबंधित गुणांकों का उत्पादन जीपी से होता है और सामान्य अनुपात ढूंढें।
उत्तर:
दिया गया है: अनुक्रम a,ar,ar2,ar(n−1) और A,AR,AR2,ARn−1
स्टेप 1: ज्ञात करें कि अनुक्रम a, ar, ar2, ar(n−1) का सामान्य अनुपात (r) क्या है।
स्टेप 2: ज्ञात करें कि अनुक्रम A, AR, AR2, ARn−1 का साधारण अनुपात (R) क्या है।
स्टेप 3: दिखाएं कि दो अनुक्रमों (a, ar, ar2, ar(n−1) और A, AR, AR2, ARn−1) के संबंधित गुणांकों का उत्पादन समान है।
स्टेप 4: दो अनुक्रमों (a और A) के पहले अंकों को गुणा करें और इसका परिणाम दूसरे अंकों (ar और AR), तीसरे अंकों (ar2 और AR2), और इत्यादि के उत्पाद के साथ तुलना करें।
कंटेंट का hi संस्करण क्या है: चरण 5: यदि संबंधित शब्दों के उत्पाद बराबर हैं, तो दो अनुक्रमों का सामान्य अनुपात समान होता है (r = R)।
प्रश्न: a^(n+1)+b^(n+1)/(a^n+b^n) का मान निकालें ताकि यह a और b के बीच ज्यामिति माध्यम हो सके।
उत्तर:
-
ज्ञात करें ज्यामिति माध्यम G a और b के बीच का है।
-
G को ab के वर्गमूल के रूप में लिखा जा सकता है।
-
G^2 = ab
-
a^(n+1)+b^(n+1)/(a^n+b^n) = G
-
a^(n+1)+b^(n+1)/(a^n+b^n) = √(ab)
-
a^(n+1)+b^(n+1) = √(ab)(a^n+b^n)
-
a^(2n+2)+b^(2n+2)=ab(a^n+b^n)
-
a^(2n+2)+b^(2n+2)=a^(n+2)b^(n+2)
-
a^(2n+2)-a^(n+2)b^(n+2) = 0
-
a^(n+2)(a^n-b^n) = 0
-
a^n = b^n
-
n = logb/loga
प्रश्न: GP की योग का पता लगाएं। 1−a+a^2−a^3+….. से n शब्दों तक (a≠1)।
उत्तर: समाधान: चरण 1: दिया गया GP यह है: 1−a+a^2−a^3+….. से n शब्दों तक (a≠1)।
चरण 2: GP का साधारण अनुपात (r) है a।
चरण 3: GP की योग निकालने के लिए हम इस सूत्र का उपयोग करेंगे: S_n = a^n-1/a-1
चरण 4: सूत्र में मान डालते हैं,
S_n = a^n-1/a-1
चरण 5: इसलिए, GP की योग S_n = a^n-1/a-1 है।
प्रश्न: यदि एक दिए गए GP के लिए a=729 है और 7वें शब्द 64 है, तो S7 निर्धारित करें।
उत्तर: दिया गया है, a = 729 7वें शब्द = 64
ढूंढ़ें, S7 (श्रृंखला का 7वें शब्द)
समाधान: चरण 1: हम जानते हैं कि एक जनरल आर्थिक प्रगति का प्रस्ताव यह है: a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7, …
चरण 2: सामान्य प्रस्ताव में दिए गए मानों को स्थानांतरित करें।
729, 729r, 729r2, 729r3, 729r4, 729r5, 729r6, 64, …
चरण 3: 729r6 = 64 को समान करो
729r6 = 64 r6 = 64/729
चरण 4: r की मान की गणना करें।
r = (64/729)1/6
चरण 5: श्रृंखला में r की मान को स्थानांतरित करें।
S7 = 729r7
= 729(64/729)7
चरण 6: S7 की मान की गणना करें।
S7 = 729(64/729)7
= 64
