क्रम और श्रृंखला अभ्यास २
सवाल:
एक गणनीय अंक समूह (A.P) के m और n संख्या के योगों का अनुपात m2 : n2 है। दिखाएं कि mवें और nवें संख्या का अनुपात (2m−1):(2n−1) है।
उत्तर:
दिया हुआ: m और n संख्या के योगों का अनुपात m2 : n2 है।
प्रमाणित करें: mवें और nवें संख्या का अनुपात (2m−1):(2n−1) है।
सिद्धांत:
आइए A.P की mवीं और nवीं संख्या को a_m और a_n कहें।
A.P के पहले m अंकों का योग S_m हो और A.P के पहले n अंकों का योग S_n हो।
तो, S_m = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_m
और S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n
अब,
एक A.P के m और n तक के योगों का अनुपात m2 : n2 है
⇒ S_m : S_n = m2 : n2
⇒ (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_m) : (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) = m2 : n2
⇒ (a_m + a_1 + a_2 + a_3 + … + a_m−1) : (a_n + a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n−1) = m2 : n2
⇒ (a_m + (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_m−1)) : (a_n + (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n−1)) = m2 : n2
⇒ (a_m + S_m−1) : (a_n + S_n−1) = m2 : n2
⇒ (a_m + (m−1)d) : (a_n + (n−1)d) = m2 : n2 [यहां, d A.P का सामान्य अंतर है।]
⇒ (a_m + md − d) : (a_n + nd − d) = m2 : n2
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = m2 : n2
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m)2 : (2n)2
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m)(2m) : (2n)(2n)
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m)2 : (2n)2
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m)2 − (2m) : (2n)2 − (2n)
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m − 1)(2m) : (2n − 1)(2n)
⇒ (a_m + md) : (a_n + nd) = (2m − 1) : (2n − 1)
⇒ a_m : a_n = (2m − 1) : (2n − 1)
इसलिए, सिद्ध हुआ।
प्रश्न:
एक आदमी 100 रुपये की पहली किस्त से एक ऋण का चुकता करना शुरू करता है। यदि उसने प्रतिमाह 5 रुपये बढ़ा दिए हैं, तो कितनी राशि वह 30वीं किस्त में भुगतान करेगा?
उत्तर:
जवाब:
पहली किस्त = 100 रुपये
प्रति माह वृद्धि = 5 रुपये
30वीं किस्त = 100 + (29×5)
30वीं किस्त = 100 + 145
30वीं किस्त = 245
प्रश्न:
अगर एक A.P के सभी संख्याओं के n अंश के योग Pn+Qn2 होते हैं, जहां P, Q मान्यताएँ हैं, तो उसका सामान्य अंतर क्या होगा? ए : 2Q बी : P+Q सी : 2करण डी : PQ
उत्तर:
उत्तर: ए : 2Q
प्रश्न:
100 से 1000 के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग का योग तलाशें, जो 5 के गुणक हैं।
उत्तर:
चरण 1: 100 और 1000 के बीच ऐसी पहली संख्या का पता लगाएं जो 5 का गुणक है।
उत्तर:100 और 1000 के बीच पहला 5 का गुणक 100 है।
चरण 2: 100 और 1000 के बीच ऐसा अंतिम 5 का गुणक पता लगाएं।
उत्तर: 100 और 1000 के बीच अंतिम 5 का गुणक 995 है।
चरण 3: 100 और 995 के बीच सभी संख्याओं का योग निर्धारित करें।
उत्तर: 100 और 995 के बीच सभी संख्याओं का योग 49350 है।
प्रश्न:
A.P -6,−11/2,−5……. के n अंश का योग -25 देता है? तो सामान्य अंतर कितना है?
उत्तर:
चरण 1: हमें सोचना चाहिए कि दिया गया A.P का पहला अंश ‘a’ है और सामान्य अंतर ’d’ है।
चरण 2: इसलिए, दिए गए A.P को -6, -11/2, -5, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d, … लिखा जा सकता है।
चरण 3: A.P के ’n’ अंशों का योग निर्धारित करने के लिए, हम फ़ॉर्मूला का उपयोग करेंगे: Sn = n/2 [2a + (n - 1)d]
चरण 4: यहां, ‘a’ = -6 और ’d’ = -11/2
चरण 5: ऊपरी सूत्र में मान दिए गए अंकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है
समाधान:
-
पहला नंबर 8 होना चाहिए।
-
A.P. में सामान्य अंतर का अंतर संबंधीय पदों के बीच का अंतर होता है। इसलिए, दूसरा नंबर 8 + d होना चाहिए, यहां d सामान्य अंतर है।
-
तीसरा नंबर 8 + 2d होना चाहिए।
-
चौथा नंबर 8 + 3d होना चाहिए।
-
पांचवां नंबर 8 + 4d होना चाहिए।
इसलिए, आवश्यक अनुक्रम है 8, 8 + d, 8 + 2d, 8 + 3d, 8 + 4d.
प्रश्न:
यदि (a^n+b^n)/(a^(n−1)+b^(n−1)) a और b के बीच का एवरेज है, तो n की मान ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: ए.एम. आर्थिक मीन के लिए स्टैंड्स.
चरण 2: आर्थिक मीन के लिए सूत्र का प्रयोग करें: ए.एम. = (a + b)/2
चरण 3: सूत्र में दिए गए समीकरण के लिए ए.एम. का स्थान लें:
(a^n+b^n)/(a^(n−1)+b^(n−1)) = (a + b)/2
चरण 4: n के लिए हल करें:
2(a^n+b^n) = (a^(n−1)+b^(n−1))(a + b)
2a^n + 2b^n = a^(n−1)a + a^(n−1)b + b^(n−1)a + b^(n−1)b
2a^n + 2b^n = a^n + ab + ba + b^n
2a^n + 2b^n = a^n + 2ab + b^n
2a^n - a^n + 2b^n - b^n = 2ab
a^n + b^n = 2ab
n = log(2ab)/log(a+b)
इसलिए, n की मान log(2ab)/log(a+b) है।
प्रश्न:
पॉलिगन के किसी दो पड़ों के बीच का अंतर 5 अंक है। यदि सबसे छोटे कोण 120 अंक है, तो पॉलिगन के साइड्स की संख्या ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: सबसे छोटे कोण 120 अंक है।
चरण 2: पॉलिगन के किसी दो पड़ों के बीच का अंतर 5 अंक है।
चरण 3: 120 अंक + 5 अंक = 125 अंक
चरण 4: 125 अंक + 5 अंक = 130 अंक
चरण 5: 130 अंक + 5 अंक = 135 अंक
चरण 6: 135 अंक + 5 अंक = 140 अंक
चरण 7: 140 अंक + 5 अंक = 145 अंक
चरण 8: 145 अंक + 5 अंक = 150 अंक
चरण 9: इसलिए, पॉलिगन के साइड्स की संख्या 6 है।
प्रश्न:
1 और 2001 के बीच विषम संख्या का योगफल ज्ञात करें।
उत्तर:
चरण 1: पहली विषम संख्या का पता लगाएं: 1
चरण 2: अंतिम विषम संख्या का पता लगाएं: 2001
चरण 3: 1 और 2001 के बीच सभी विषम संख्याओं का योगफल गणना करें: 1001 x 1002 = 1003002
प्रश्न:
यदि ए.पी. 25,22,19,… के n टर्म्स का योगफल 116 है। अंतिम टर्म ढूंढें।
उत्तर:
दिया हुआ: ए.पी. के n टर्म्स का योगफल = 116
चरण 1: हम जानते हैं कि ए.पी. के टर्म्स का योगफल पहले और अंतिम टर्म का औसत होता है, जिसे टर्म्स की संख्या से गुणित किया जाता है।
इसलिए, 116 = (a + l)/2 * n
चरण 2: हम बारीकी से समीकरण को बदलकर अंतिम टर्म l ढूंढें।
l = 2 * 116/n - a
चरण 3: अब, हमें a की मान निर्धारित करनी होगी। हम जानते हैं कि ए.पी. का पहला टर्म 25 है। इसलिए, a = 25।
चरण 4: समीकरण में a की मान को बदलकर, हमें
l = 2 * 116/n - 25
चरण 5: अब, हमें n की मान निर्धारित करनी होगी। हम जानते हैं कि ए.पी. के निश्चित टर्म्स का योगफल 116 है। इसलिए, n टर्म्स की संख्या होती है।
चरण 6: समीकरण में n की मान को बदलकर, हमें
l = 2 * 116/n - 25
l = 2 * 116/n - 25
l = 2 * 116/n - 25
l = 116/n - 25
चरण 7: समीकरण को हल करके, हमें
l = 116/n - 25
l = 116 - 25n
इसलिए, ए.पी. का अंतिम टर्म 116 - 25n है।
प्रश्न:
दो ए.पी. के n टर्म्स के योगफल का अनुपात 5n+4 : 9n+6 है। उनके 18वें टर्म्स का अनुपात ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: दो ए.पी. के n टर्म्स के योगफल का अनुपात लिखा जा सकता है
(a1 + a2 + a3 + … + an) : (b1 + b2 + b3 + … + bn) = 5n + 4 : 9n + 6
चरण 2: ऊपरी समीकरण में n = 18 का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित प्राप्त करें
दिए गए, एक A.P के पहले p, q और r पदों का योग a, b और c हैं।
साबित करें कि, a/P(q−r)+b/q(r−p)+c/r(p−q)=0
साबित: A.P को a, a + d, a + 2d, …. ले,
तब,
पहले p पदों का योग = a + a + d + a + 2d + … + a + (p-1)d = pa + (p(p-1)d)/2 = ap + (p(p-1)d)/2
इसी तरह, पहले q पदों का योग = b = aq + (q(q-1)d)/2
पहले r पदों का योग = c = ar + (r(r-1)d)/2
दिए गए समीकरण में a, b, c के मान को स्थानांतरित करके, हमें मिलता है
a/P(q−r)+b/q(r−p)+c/r(p−q)
= ap/P(q−r) + aq/q(r−p) + ar/r(p−q) + (p(p−1)d)/2P(q−r) + (q(q−1)d)/2q(r−p) + (r(r−1)d)/2r(p−q)
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + [(p(p−1)d)/2P(q−r) + (q(q−1)d)/2q(r−p) + (r(r−1)d)/2r(p−q)]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + [(p(p−1)d)/2P(q−r) + (q(q−1)d)/2q(r−p) + (r(r−1)d)/2r(p−q)]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + [(p(p−1)d)/2P(q−r) + (q(q−1)d)/2q(r−p) + (r(r−1)d)/2r(p−q)]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + [d/2(p(p−1)/P(q−r) + q(q−1)/q(r−p) + r(r−1)/r(p−q))]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + d/2[(p(p−1)/P − q(q−1)/q) + (q(q−1)/q − r(r−1)/r) + (r(r−1)/r − p(p−1)/P)]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + d/2[(p − q)(p−1)/P(q−r) + (q − r)(q−1)/q(r−p) + (r − p)(r−1)/r(p−q)]
= a[p/P(q−r) + q/q(r−p) + r/r(p−q)] + d/2[(p − q)(p−1)/P(q−r) + (q − r)(q−1)/q(r−p) + (r − p)(r−1)/r(p−q)]
हरे कर दोस्तो, = a[p/P(q−r) + q
सवाल:
एक एक्यूम्युलेटिव प्रगति (A.P.) के न सदों का योग 3n^2+5n है और इसकी mवीं टर्म 164 है, m की मान्यता ढूंढें। A: 25 B: 27 C: 29 D: इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
उत्तर: B
पदानुक्रम: पदानुक्रम (A.P.) ऐसी एक संख्या श्रृंखला है जिसमें किसी भी दो सदों का अंतर स्थायी होता है।
एक एक्यूम्युलेटिव प्रगति (A.P.) के न सदों का योग 3n2 + 5n है।
mवीं टर्म 164 है, हम निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:
3m2 + 5m - 164 = 0
इस समीकरण को हल करके, हमें m = 27 मिलता है।
इसलिए, सही उत्तर B है।
सवाल:
1 और 31 के बीच, m नंबर्स निम्न प्रकार से स्थानांतरित किए गए हैं ताकि परिणामस्वरूप अनुक्रम एक A.P. हो और 7 वें और (m-1) वें नंबर का अनुपात 5:9 हो। m की मान्यता ढूंढें।
उत्तर:
दिया गया है: 7 वें नंबर = a (m-1) वें नंबर = b
अनुपात = 5:9
a/b = 5/9
a = (5/9)b
A.P. सूत्र में a को बदलते हैं,
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + … + (a + (m-2)d) + (a + (m-1)d) = (m/2)[2a + (m-1)d]
(5/9)b + (5/9)b + d + (5/9)b + 2d + (5/9)b + 3d + … + (5/9)b + (m-2)d + (5/9)b + (m-1)d = (m/2)[2(5/9)b + (m-1)d]
5b + 9d + 5b + 18d + 5b + 27d + … + 5b + (m-2)d + 5b + (m-1)d = (m/2)[10b + (m-1)d]
5b + 9d + 5b + 18d + 5b + 27d + … + 5b + (m-2)d + 5b + (m-1)d = (m/2)[10b + (m-1)d]
5b + 9d + 5b + 18d + 5b + 27d + … + 5b + (m-2)d + 5b + (m-1)d = 5m(2b + (m-1)d)/2
5b + 9d + 5b + 18d + 5b + 27d + … + 5b + (m-2)d + 5b + (m-1)d = 5m(2b + (m-1)d)
10b + 9d + 10b + 18d + 10b + 27d + … + 10b + (m-2)d + 10b + (m-1)d = 10m(2b + (m-1)d)
10b + 9d + 10b + 18d + 10b + 27d + … + 10b + (m-2)d + 10b + (m-1)d = 10m(2b + (m-1)d)
10b + 9d(1 + 2 + 3 + … + (m-1)) = 10m(2b + (m-1)d)
10b + 9d(m(m-1)/2) = 10m(2b + (m-1)d)
10b + 9d(m(m-1)/2) = 10m(2b + (m-1)d)
10b + 9dm(m-1) = 20mb + 10m(m-1)d
10b - 20mb = 10m(m-1)d - 9dm(m-1)
10b - 20mb = 10m(m-1)(d - 9d)
10b - 20mb = 10m(m-1)(d - 9d)
10b - 20mb = 10m(m-1)(d - 9d)
b(10 - 20m) = 10m(m-1)(d - 9d)
b = 10m(m-1)(d - 9d)/(10 - 20m)
अनुपात समीकरण में b को बदलते हैं,
a/b = 5/9
(5/9)b = a
(5/9)b = a
(5/9)10m(m-1)(d - 9d)/(10 - 20m) = a
5m(m-1)(d - 9d)/(10 - 20m) = a
5m(m-1)(d - 9d)/(10 - 20m) = a
5m(m-1)(d - 9d) = a(10 - 20m)
5m(m-1)(d - 9d) = a(10 - 20m)
5m(m-1)(d - 9d) = a(10 - 20m)
5m(m-1)(d - 9d) = a(10 - 20m)
5m(m-1)(d - 9d) = a(10 - 20m)
5m(m-1)
