संबंध और फलन से संबंधित अभ्यास 1
प्रश्न:
प्रत्येक वाक्यांश का सत्य या असत्य होने का दर्शाएं। यदि वाक्य प्रत्येक को महिमा का केवल अवलोकन की जाएं तो वाक्य को संशोधित रूप में दोबारा लिखें (i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m} है तो P × Q = {(m, n), (n, m)} होता है (ii) यदि A और B गैर-खाली समूह हैं, तो A × B ऐसा गैर-खाली समूह होता है जिसमें क्रमबद्ध जोड़ी (x, y) होती है, जहां x A का होता है और y B का होता है (iii) यदि A = {1,2}, B = {3,4} है तो A × (B ∩ ϕ) = ϕ होता है
उत्तर:
(i) सत्य (ii) सत्य (iii) असत्य; A × (B ∩ ϕ) = ϕ एक खाली समूह है
प्रश्न:
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} है, तो A और B ढूँढें।
उत्तर:
A = {a, b} B = {x, y}
प्रश्न:
कार्टेशियन गुणाकार A × A में 9 तत्व होते हैं, जिनमें से (-1, 0) और (0, 1) पाए जाते हैं। सेट A और A × A के शेष तत्व ढूँढें।
उत्तर:
सेट A = {-1, 0, 1}
A × A के शेष तत्व हैं: (1, -1), (1, 0), (1, 1), (0, -1), (0, 0), (-1, 1), (-1, -1), (-1, 0)
प्रश्न:
यदि (3x + 1, y - 32) = (35, 31) है, तो x और y के मान ढूँढें।
उत्तर:
-
समीकरण को अलग करने के लिए समीकरण को व्यावसायिक बनाएँ: 3x + 1 = 35
-
दोनों पक्षों से 1 घटाएं: 3x = 34
-
दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: x = 11
-
x = 11 को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3(11) + 1 = 35
-
सरलीकृत करें: 32 = 35
-
दोनों पक्षों से 32 घटाएँ: y = 31
प्रश्न:
A = {1, 2}, B = {3, 4} हों। सत्यापित करें कि (i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (ii) A × C B × D का एक उपसमूह है
उत्तर:
(i) A × (B ∩ C) = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) } (A × B) ∩ (A × C) = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) }
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C = { (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6) } B × D = { (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8) }
A × C B × D का एक उपसमूह है
प्रश्न:
सेट A में 3 तत्व हैं और सेट B = {3, 4, 5} है, तो (A × B) में तत्वों की संख्या क्या होगी?
उत्तर:
उत्तर:
-
सेट A में 3 तत्व होते हैं, इसलिए A = {a1, a2, a3} होता है।
-
सेट B = {3, 4, 5} होता है, इसलिए B = {b1, b2, b3} होता है।
-
(A × B) में तत्वों की संख्या = 3 × 3 = 9 होती है।
प्रश्न:
यदि A = {-1, 1} है, तो A × A × A की संख्या ढूँढें।
उत्तर:
A × A × A = {(-1) × (-1) × (-1), (-1) × (-1) × 1, (-1) × 1 × (-1), (-1) × 1 × 1, 1 × (-1) × (-1), 1 × (-1) × 1, 1 × 1 × (-1), 1 × 1 × 1}
= {-1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}
प्रश्न:
यदि A = {-1, 1} है, तो A × A × A की संख्या ढूँढें।
उत्तर:
A × A × A = {(-1) × (-1) × (-1), (-1) × (-1) × 1, (-1) × 1 × (-1), (-1) × 1 × 1, 1 × (-1) × (-1), 1 × (-1) × 1, 1 × 1 × (-1), 1 × 1 × 1}
= {-1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}
प्रश्न:
यदि A = {-1, 1} है, तो A × A × A की संख्या ढूँढें।
उत्तर:
A × A × A = {(-1) × (-1) × (-1), (-1) × (-1) × 1, (-1) × 1 × (-1), (-1) × 1 × 1, 1 × (-1) × (-1), 1 × (-1) × 1, 1 × 1 × (-1), 1 × 1 × 1}
= {-1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}
प्रश्न:
A = {1, 2} और B = {3, 4} हैं। A × B लिखें। A × B की संख्या कितनी होगी?
उत्तर:
A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A × B की संख्या 4 होगी।
प्रश्न:
G = {7, 8} और H = {5, 4, 2} हैं। G × H और H × G ढूँढें।
उत्तर:
G × H = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
H × G = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
प्रश्न:
आपूर्ण तत्त्वों से (x, 1), (y, 2), (z, 1) A × B में हैं। यहाँ x, y और z पृथक् तत्त्व हैं। ए और ब ढूँढें।
उत्तर:
A = {x, y, z} B = {1, 2}
