प्रायिकता व्यायाम 03
प्रश्न:
निम्नलिखित में से कौन सी एक वैध प्रायोजकता का कार्य नहीं हो सकता है नमूना मंच S के परिणामों के लिए।
प्राधिकरण ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 (a) 0.1 0.01 0.05 0.03 0.01 0.2 0.6 (b) 71 71 71 71 71 71 71 (c) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 (d) -0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2 0.1 0.3 (e) 141 142 143 144 145 146 1415
उत्तर:
उत्तर: (b) 71 71 71 71 71 71 71
(d) -0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2 0.1 0.3
ये दो वैधताओं का कार्यमान नहीं हो सकता है नमूना मंच के परिणामों के लिए।
प्रश्न:
एक पासा फेंका गया है, निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता बताएं: (i) एक मुख्य संख्या दिखेगी (ii) 3 या इससे अधिक संख्या दिखेगी (iii) एक संख्या 1 या इससे कम दिखेगी (iv) 6 से ज्यादा संख्या दिखेगी (v) 6 से कम संख्या दिखेगी
उत्तर:
(i) एक मुख्य संख्या दिखेगी: क्योंकि पासा के 6 मुख हैं जिनमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं, तो मुख्य संख्या दिखने की प्रायिकता 2/6 या 1/3 है।
(ii) 3 या इससे अधिक संख्या दिखेगी: क्योंकि पासा के 6 मुख हैं जिनमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं, तो 3 या इससे अधिक संख्या दिखने की प्रायिकता 4/6 या 2/3 है।
(iii) एक संख्या 1 या इससे कम दिखेगी: क्योंकि पासा के 6 मुख हैं जिनमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं, तो एक संख्या 1 या इससे कम दिखने की प्रायिकता 1/6 है।
(iv) 6 से ज्यादा संख्या दिखेगी: क्योंकि पासा के 6 मुख हैं जिनमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं, तो 6 से ज्यादा संख्या दिखने की प्रायिकता 0/6 या 0 है।
(v) 6 से कम संख्या दिखेगी: क्योंकि पासा के 6 मुख हैं जिनमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं, तो 6 से कम संख्या दिखने की प्रायिकता 5/6 है।
प्रश्न:
नगर परिषद में चार पुरुष और छ: महिलाएं हैं। यदि एक परिषद सदस्य का चयन यादृच्छिक रूप से एक समिति के लिए किया जाता है, तो यह कितना संभावित है कि यह एक महिला होगी?
उत्तर:
-
कुल मिलाकर 10 परिषद सदस्य हैं (4 पुरुष और 6 महिलाएं)।
-
महिला चुनने की संभावना 6/10 या 3/5 है।
प्रश्न:
E और F ऐसी घटनाएं हैं जिनके लिए P(not E या not F) = 0.25 है, स्थिति बताएं कि E और F सद्भावी हैं या नहीं हैं
उत्तर:
-
पहले, P(E और F) की गणना करें। इसका उपयोग करके सूत्र P(not E या not F) = 1 - P(E और F) की जा सकती है।
-
P(not E या not F) = 0.25
-
इसलिए, P(E और F) = 1 - 0.25 = 0.75
-
क्योंकि P(E और F) 0 के बराबर नहीं है, इसका अर्थ है कि E और F सद्भावी नहीं हैं।
प्रश्न:
एक प्रवेश परीक्षा का मूल्यांकन दो परीक्षाओं के आधार पर होता है, एक यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र को पहली परीक्षा में पास करने की संभावना 0.8 है और दूसरी परीक्षा में पास करने की संभावना 0.7 है। इनमें से कम से कम एक परीक्षा में पास होने की संभावना 0.95 है। दोनों परीक्षाओं में पास होने की संभावना क्या है।
उत्तर:
P(दोनों पास हों) = P(पहली पास) * P(दूसरी पास)
P(दोनों पास हों) = 0.8 * 0.7
P(दोनों पास हों) = 0.56
प्रश्न:
(ii) P(sum = 12) = P(Coin = 6, Die = 6) = (1/2)(1/6) = 1/12
यदि 2/11 एक घटना की संभावना है। तो घटना ‘नॉट ए’ की संभावना क्या है।
जवाब:
- ‘नॉट ए’ की संभावना 1 - 2/11 है।
- इसलिए, घटना ‘नॉट ए’ की संभावना 9/11 है।
एक लॉटरी में, एक व्यक्ति 1 से 20 तक 6 अलग-अलग प्राकृतिक संख्याओं को यादृच्छिक रूप से चुनता है और अगर इन 6 संख्याओं की चयनित संख्याओं की तुलना पहले ही लॉटरी समिति द्वारा निर्धारित 6 संख्याओं के साथ होती है तो वह इनाम जीतता है। खेल में इनाम जीतने की संभावना क्या है? [हिंट: संख्याओं की क्रमबद्धता महत्वपूर्ण नहीं है]
उत्तर:
चरण 1: 1 से 20 तक चुनी जा सकने वाली 6 संख्याओं के कुल संभावित संयोगों की कुल संख्या की गणना करें। इसके लिए संयोग सूत्र, nCr, का उपयोग किया जा सकता है, जहां n = 20 और r = 6 हैं।
चरण 2: लॉटरी समिति द्वारा पहले से निर्धारित संख्याओं के संयोगों की कुल संख्या की गणना करें। इसके लिए संख्याओं की संख्या की संख्या का गणना करके की जा सकती है।
चरण 3: इनाम जीतने की संभावना की गणना करके इनाम जीतने की संभावना को कुल संभावित संयोगों से विभाजित करें।
इनाम जीतने की संभावना = संख्याओं के संयोगों की संख्या / कुल संभावित संयोगों की संख्या
प्रश्न:
निम्नलिखित सारणी में खाली जगहें भरें: P(A) P(B) P(A∩B) P(A∪B) (i) 1/3 1/5 1/15 …… (ii) 0.35 ….. 0.25 0.6 (iii) 0.5 0.35 …. 0.7
उत्तर:
(i) 1/3 1/5 1/15 2/15 (ii) 0.35 0.2 0.25 0.6 (iii) 0.5 0.35 0.35 0.7
प्रश्न:
E और F ऐसी घटनाएं हैं जिसमें P(E)= 1/4, P(F)= 1/2 और P(EandF)= 1/8 है, इसका पता लगाएँ: (i) P(E या F) (ii) P(not E और not F)
उत्तर:
(i) P(E या F) = P(E) + P(F) - P(EandF) = 1/4 + 1/2 - 1/8 = 7/8
(ii) P(not E और not F) = 1 - P(E या F) = 1 - 7/8 = 1/8
प्रश्न:
A और B ऐसी घटनाएं हैं जिसमें P(A)=0.42,P(B)=0.48 और P(A and B) =0.16 है, निर्धारित करें: (i) P(not A), (ii) P(not B) और (iii) P(A या B)
उत्तर:
(i) P(not A) = 1 - P(A) = 1 - 0.42 = 0.58
(ii) P(not B) = 1 - P(B) = 1 - 0.48 = 0.52
(iii) P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A and B) = 0.42 + 0.48 - 0.16 = 0.74
